第9章平方根と根号

Key Concepts重要な概念

Product Property of Square Roots If a, b are nonnegative real numbers, then
英語のヒント
平方根の積の性質 a、bが非負の実数なら、次が成り立つ。

$\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} and \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b}$
$\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} および \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b}$
Special formulas for multiplying binomials and conjugates:
英語のヒント
二項式や共役な式を掛けるための特別な公式：

$\begin{matrix} {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} & (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} \\ {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} \end{matrix}$
The FOIL method can be used to multiply binomials containing radicals.
英語のヒント
根号を含む二項式の掛け算にはFOIL法を使える。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 233–263練習問題 233–263

Multiply Square Roots

英語のヒント

平方根の掛け算

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 233問題 233

ⓐ

\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}

ⓑ

(3 \sqrt{3}) (2 \sqrt{18})

Solution解き方

ⓐ

4

ⓑ

18 \sqrt{6}

Exercise 234問題 234

ⓐ

\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}

ⓑ

(3 \sqrt{2}) (2 \sqrt{32})

Exercise 235問題 235

ⓐ

\sqrt{7} \cdot \sqrt{14}

ⓑ

(4 \sqrt{8}) (5 \sqrt{8})

Solution解き方

ⓐ

7 \sqrt{2}

ⓑ 160

Exercise 236問題 236

ⓐ

\sqrt{6} \cdot \sqrt{12}

ⓑ

(2 \sqrt{5}) (2 \sqrt{10})

Exercise 237問題 237

(5 \sqrt{2}) (3 \sqrt{6})

Solution解き方

30 \sqrt{3}

Exercise 238問題 238

(2 \sqrt{3}) (4 \sqrt{6})

Exercise 239問題 239

(−2 \sqrt{3}) (3 \sqrt{18})

Solution解き方

−18 \sqrt{6}

Exercise 240問題 240

(−4 \sqrt{5}) (5 \sqrt{10})

Exercise 241問題 241

(5 \sqrt{6}) (− \sqrt{12})

Solution解き方

−30 \sqrt{2}

Exercise 242問題 242

(6 \sqrt{2}) (− \sqrt{10})

Exercise 243問題 243

(−2 \sqrt{7}) (−2 \sqrt{14})

Solution解き方

28 \sqrt{2}

Exercise 244問題 244

(−2 \sqrt{11}) (−4 \sqrt{22})

Exercise 245問題 245

ⓐ

(\sqrt{15 y}) (\sqrt{5 y^{3}})

ⓑ

(\sqrt{2 n^{2}}) (\sqrt{18 n^{3}})

Solution解き方

ⓐ

5 y^{2} \sqrt{3}

ⓑ

6 n^{2} \sqrt{n}

Exercise 246問題 246

ⓐ

(\sqrt{14 x^{3}}) (\sqrt{7 x^{3}})

ⓑ

(\sqrt{3 q^{2}}) (\sqrt{48 q^{3}})

Exercise 247問題 247

ⓐ

(\sqrt{16 y^{2}}) (\sqrt{8 y^{4}})

ⓑ

(\sqrt{11 s^{6}}) (\sqrt{11 s})

Solution解き方

ⓐ

8 y^{3} \sqrt{2}

ⓑ

11 s^{3} \sqrt{s}

Exercise 248問題 248

ⓐ

(\sqrt{8 x^{3}}) (\sqrt{3 x})

ⓑ

(\sqrt{7 r}) (\sqrt{7 r^{8}})

Exercise 249問題 249

(2 \sqrt{5 b^{3}}) (4 \sqrt{15 b})

Solution解き方

40 b^{2} \sqrt{3}

Exercise 250問題 250

(3 \sqrt{8 c^{5}}) (2 \sqrt{6 c^{3}})

Exercise 251問題 251

(5 \sqrt{2 d^{7}}) (3 \sqrt{50 d^{3}})

Solution解き方

150 d^{5}

Exercise 252問題 252

(4 \sqrt{6 t^{2}}) (3 \sqrt{3 t^{2}})

Exercise 253問題 253

(3 \sqrt{4 y^{4}}) (3 \sqrt{9 y^{5}})

Solution解き方

54 y^{4} \sqrt{y}

Exercise 254問題 254

(−2 \sqrt{7 z^{3}}) (3 \sqrt{14 z^{8}})

Exercise 255問題 255

(4 \sqrt{2 k^{5}}) (−3 \sqrt{32 k^{6}})

Solution解き方

−96 k^{5} \sqrt{k}

Exercise 256問題 256

ⓐ

{(\sqrt{7})}^{2}

ⓑ

{(− \sqrt{15})}^{2}

Exercise 257問題 257

ⓐ

{(\sqrt{11})}^{2}

ⓑ

{(− \sqrt{21})}^{2}

Solution解き方

ⓐ 11 ⓑ 21

Exercise 258問題 258

ⓐ

{(\sqrt{19})}^{2}

ⓑ

{(− \sqrt{5})}^{2}

Exercise 259問題 259

ⓐ

{(\sqrt{23})}^{2}

ⓑ

{(− \sqrt{3})}^{2}

Solution解き方

ⓐ 23 ⓑ 3

Exercise 260問題 260

ⓐ

(4 \sqrt{11}) (−3 \sqrt{11})

ⓑ

{(5 \sqrt{3})}^{2}

Exercise 261問題 261

ⓐ

(2 \sqrt{13}) (−9 \sqrt{13})

ⓑ

{(6 \sqrt{5})}^{2}

Solution解き方

ⓐ −234 ⓑ 180

Exercise 262問題 262

ⓐ

(−3 \sqrt{12}) (−2 \sqrt{6})

ⓑ

{(−4 \sqrt{10})}^{2}

Exercise 263問題 263

ⓐ

(−7 \sqrt{5}) (−3 \sqrt{10})

ⓑ

{(−2 \sqrt{14})}^{2}

Solution解き方

ⓐ

105 \sqrt{2}

ⓑ 56

Exercises 264–299練習問題 264–299

Use Polynomial Multiplication to Multiply Square Roots

英語のヒント

多項式の掛け算を使って平方根を掛ける

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 264問題 264

ⓐ

3 (4 - \sqrt{3})

ⓑ

\sqrt{2} (4 - \sqrt{6})

Exercise 265問題 265

ⓐ

4 (6 - \sqrt{11})

ⓑ

\sqrt{2} (5 - \sqrt{12})

Solution解き方

ⓐ

24 - 4 \sqrt{11}

ⓑ

5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}

Exercise 266問題 266

ⓐ

5 (3 - \sqrt{7})

ⓑ

\sqrt{3} (4 - \sqrt{15})

Exercise 267問題 267

ⓐ

7 (−2 - \sqrt{11})

ⓑ

\sqrt{7} (6 - \sqrt{14})

Solution解き方

ⓐ

−14 - 7 \sqrt{11}

ⓑ

6 \sqrt{7} - 7 \sqrt{2}

Exercise 268問題 268

ⓐ

\sqrt{7} (5 + 2 \sqrt{7})

ⓑ

\sqrt{5} (\sqrt{10} + \sqrt{18})

Exercise 269問題 269

ⓐ

\sqrt{11} (8 + 4 \sqrt{11})

ⓑ

\sqrt{3} (\sqrt{12} + \sqrt{27})

Solution解き方

ⓐ

44 + 8 \sqrt{11}

ⓑ

15

Exercise 270問題 270

ⓐ

\sqrt{11} (−3 + 4 \sqrt{11})

ⓑ

\sqrt{3} (\sqrt{15} - \sqrt{18})

Exercise 271問題 271

ⓐ

\sqrt{2} (−5 + 9 \sqrt{2})

ⓑ

\sqrt{7} (\sqrt{3} - \sqrt{21})

Solution解き方

ⓐ

18 - 5 \sqrt{2}

ⓑ

\sqrt{21} - 7 \sqrt{3}

Exercise 272問題 272

(8 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})

Exercise 273問題 273

(7 + \sqrt{3}) (9 - \sqrt{3})

Solution解き方

60 + 2 \sqrt{3}

Exercise 274問題 274

(8 - \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})

Exercise 275問題 275

(9 - \sqrt{2}) (6 + \sqrt{2})

Solution解き方

52 + 3 \sqrt{2}

Exercise 276問題 276

(3 - \sqrt{7}) (5 - \sqrt{7})

Exercise 277問題 277

(5 - \sqrt{7}) (4 - \sqrt{7})

Solution解き方

27 - 9 \sqrt{7}

Exercise 278問題 278

(1 + 3 \sqrt{10}) (5 - 2 \sqrt{10})

Exercise 279問題 279

(7 - 2 \sqrt{5}) (4 + 9 \sqrt{5})

Solution解き方

−62 + 55 \sqrt{5}

Exercise 280問題 280

(\sqrt{3} + \sqrt{10}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{10})

Exercise 281問題 281

(\sqrt{11} + \sqrt{5}) (\sqrt{11} + 6 \sqrt{5})

Solution解き方

41 + 7 \sqrt{55}

Exercise 282問題 282

(2 \sqrt{7} - 5 \sqrt{11}) (4 \sqrt{7} + 9 \sqrt{11})

Exercise 283問題 283

(4 \sqrt{6} + 7 \sqrt{13}) (8 \sqrt{6} - 3 \sqrt{13})

Solution解き方

−81 + 44 \sqrt{78}

Exercise 284問題 284

(5 - \sqrt{u}) (3 + \sqrt{u})

Exercise 285問題 285

(9 - \sqrt{w}) (2 + \sqrt{w})

Solution解き方

18 + 7 \sqrt{w} - w

Exercise 286問題 286

(7 + 2 \sqrt{m}) (4 + 9 \sqrt{m})

Exercise 287問題 287

(6 + 5 \sqrt{n}) (11 + 3 \sqrt{n})

Solution解き方

66 + 73 \sqrt{n} + 15 n

Exercise 288問題 288

ⓐ

{(3 + \sqrt{5})}^{2}

ⓑ

{(2 - 5 \sqrt{3})}^{2}

Exercise 289問題 289

ⓐ

{(4 + \sqrt{11})}^{2}

ⓑ

{(3 - 2 \sqrt{5})}^{2}

Solution解き方

ⓐ

27 + 8 \sqrt{11}

ⓑ

29 - 12 \sqrt{5}

Exercise 290問題 290

ⓐ

{(9 - \sqrt{6})}^{2}

ⓑ

{(10 + 3 \sqrt{7})}^{2}

Exercise 291問題 291

ⓐ

{(5 - \sqrt{10})}^{2}

ⓑ

{(8 + 3 \sqrt{2})}^{2}

Solution解き方

ⓐ

35 - 10 \sqrt{10}

ⓑ

82 + 48 \sqrt{2}

Exercise 292問題 292

(3 - \sqrt{5}) (3 + \sqrt{5})

Exercise 293問題 293

(10 - \sqrt{3}) (10 + \sqrt{3})

Solution解き方

Exercise 294問題 294

(4 + \sqrt{2}) (4 - \sqrt{2})

Exercise 295問題 295

(7 + \sqrt{10}) (7 - \sqrt{10})

Solution解き方

Exercise 296問題 296

(4 + 9 \sqrt{3}) (4 - 9 \sqrt{3})

Exercise 297問題 297

(1 + 8 \sqrt{2}) (1 - 8 \sqrt{2})

Solution解き方

−127

Exercise 298問題 298

(12 - 5 \sqrt{5}) (12 + 5 \sqrt{5})

Exercise 299問題 299

(9 - 4 \sqrt{3}) (9 + 4 \sqrt{3})

Solution解き方

Exercises 300–309練習問題 300–309

Mixed Practice

英語のヒント

総合練習

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 300問題 300

\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}

Exercise 301問題 301

(4 \sqrt{6}) (− \sqrt{18})

Solution解き方

−24 \sqrt{3}

Exercise 302問題 302

(−5 + \sqrt{7}) (6 + \sqrt{21})

Exercise 303問題 303

(−5 \sqrt{7}) (6 \sqrt{21})

Solution解き方

−210 \sqrt{3}

Exercise 304問題 304

(−4 \sqrt{2}) (2 \sqrt{18})

Exercise 305問題 305

(\sqrt{35 y^{3}}) (\sqrt{7 y^{3}})

Solution解き方

7 y^{3} \sqrt{5}

Exercise 306問題 306

(4 \sqrt{12 x^{5}}) (2 \sqrt{6 x^{3}})

Exercise 307問題 307

{(\sqrt{29})}^{2}

Solution解き方

29

Exercise 308問題 308

(−4 \sqrt{17}) (−3 \sqrt{17})

Exercise 309問題 309

(−4 + \sqrt{17}) (−3 + \sqrt{17})

Solution解き方

29 - 7 \sqrt{17}

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 310–314練習問題 310–314

Exercise 310問題 310

A landscaper wants to put a square reflecting pool next to a triangular deck, as shown below. The triangular deck is a right triangle, with legs of length 9 feet and 11 feet, and the pool will be adjacent to the hypotenuse.

英語のヒント

造園業者は、下の図のように三角形のデッキの隣に正方形の水鏡の池を設けたい。デッキは直角三角形で、脚の長さは9フィートと11フィートであり、池は斜辺に接する。

ⓐ Use the Pythagorean Theorem to find the length of a side of the pool. Round your answer to the nearest tenth of a foot.
英語のヒント
ⓐ ピタゴラスの定理を使い、池の1辺の長さを求めよ。フィート単位で小数第1位までに丸めよ。
ⓑ Find the exact area of the pool.
英語のヒント
ⓑ 池の正確な面積を求めよ。

この図は、直角三角形のデッキを備えた正方形の池を描いている。池の各辺はxインチ、デッキの斜辺はxインチ、脚は9インチと11インチである。

Exercise 311問題 311

An artist wants to make a small monument in the shape of a square base topped by a right triangle, as shown below. The square base will be adjacent to one leg of the triangle. The other leg of the triangle will measure 2 feet and the hypotenuse will be 5 feet.

英語のヒント

芸術家は、下の図のように正方形の土台の上に直角三角形を載せた形の小さな記念碑を作りたい。土台は三角形の一方の脚に接する。もう一方の脚は2フィート、斜辺は5フィートとなる。

ⓐ Use the Pythagorean Theorem to find the length of a side of the square base. Round your answer to the nearest tenth of a foot.
英語のヒント
ⓐ ピタゴラスの定理を使い、正方形の土台の1辺の長さを求めよ。フィート単位で小数第1位までに丸めよ。
ⓑ Find the exact area of the face of the square base.
英語のヒント
ⓑ 正方形の土台の面の正確な面積を求めよ。

Solution解き方

ⓐ

4.6 feet

ⓑ

21 sq. feet

ⓐ

4.6 フィート

ⓑ

21 平方フィート

Exercise 312問題 312

A square garden will be made with a stone border on one edge. If only

3 + \sqrt{10}

feet of stone are available, simplify

{(3 + \sqrt{10})}^{2}

to determine the area of the largest such garden. Round your answer to the nearest tenth of a foot.

英語のヒント

一つの辺に石の縁取りを持つ正方形の庭を作る。石が

3 + \sqrt{10}

フィート分しかない場合、

{(3 + \sqrt{10})}^{2}

を簡単にして、そのような庭の最大の面積を求めよ。フィート単位で小数第1位までに丸めよ。

Exercise 313問題 313

A garden will be made so as to contain two square sections, one section with side length

\sqrt{5} + \sqrt{6}

yards and one section with side length

\sqrt{2} + \sqrt{3}

yards. Simplify

{(\sqrt{5} + \sqrt{6})}^{2} + {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2}

to determine the total area of the garden. Round your answer to the nearest tenth.

英語のヒント

1辺

\sqrt{5} + \sqrt{6}

ヤードの正方形の区画と、1辺

\sqrt{2} + \sqrt{3}

ヤードの正方形の区画を含む庭を作る。

{(\sqrt{5} + \sqrt{6})}^{2} + {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2}

を簡単にして、庭の総面積を求めよ。小数第1位までに丸めよ。

Solution解き方

31.9 square yards

31.9 平方 ヤード

Exercise 314問題 314

Suppose a third section will be added to the garden in the previous exercise. The third section is to have a width of

\sqrt{432}

yards. Write an expression that gives the total area of the garden.

英語のヒント

前の問題の庭に3番目の区画を加えるとする。その幅は

\sqrt{432}

ヤードとする。庭の総面積を表す式を書け。

Writing Exercises記述問題

Exercises 315–316練習問題 315–316

Exercise 315問題 315

ⓐ Explain why ${(− \sqrt{n})}^{2}$ is always positive, for $n \geq 0$ .
英語のヒント
ⓐ $n \geq 0$ のとき、 ${(− \sqrt{n})}^{2}$ が常に正である理由を説明せよ。
ⓑ Explain why $- {(\sqrt{n})}^{2}$ is always negative, for $n \geq 0$ .
英語のヒント
ⓑ $n \geq 0$ のとき、 $- {(\sqrt{n})}^{2}$ が常に負である理由を説明せよ。

Solution解き方

ⓐ when squaring a negative, it becomes a positive ⓑ since the negative is not included in the parenthesis, it is not squared, and remains negative

英語のヒント

ⓐ 負の数を平方すると正になる。ⓑ 負号は括弧内にないため平方されず、負のままとなる。

Exercise 316問題 316

Use the binomial square pattern to simplify

{(3 + \sqrt{2})}^{2}

. Explain all your steps.

英語のヒント

二項式の平方の公式を使って

{(3 + \sqrt{2})}^{2}

を簡単にせよ。すべての手順を説明せよ。