第9章平方根と根号

Rationalize a Two-Term Denominator2項の分母を有理化する

When the denominator of a fraction is a sum or difference with square roots, we use the Product of Conjugates pattern to rationalize the denominator.

英語のヒント

分数の分母が平方根を含む和や差の場合は、共役な式の積の公式を使って分母を有理化する。

\begin{matrix} (a - b) (a + b) & (2 - \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}) \\ a^{2} - b^{2} & 2^{2} - {(\sqrt{5})}^{2} \\ 4 - 5 \\ −1 \end{matrix}

When we multiply a binomial that includes a square root by its conjugate, the product has no square roots.

英語のヒント

平方根を含む二項式にその共役な式を掛けると、積には平方根がなくなる。

Example 9.70例題 9.70

Simplify:

\frac{4}{4 + \sqrt{2}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{4}{4 + \sqrt{2}}

。

Solution解答


Multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator. 分子と分母に、分母の共役を掛ける。
Multiply the conjugates in the denominator. 分母の共役な式どうしを掛ける。
Simplify the denominator. 分母を簡単にする。
Simplify the denominator. 分母を簡単にする。
Remove common factors from the numerator and denominator. 分子と分母から共通因子を取り除く。
We leave the numerator in factored form to make it easier to look for common factors after we have simplified the denominator. 分母を簡単にした後で共通因子を探しやすいよう、分子は因数分解した形のままにする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.71例題 9.71

Simplify:

\frac{5}{2 - \sqrt{3}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{5}{2 - \sqrt{3}}

。

Solution解答


Multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator. 分子と分母に、分母の共役を掛ける。
Multiply the conjugates in the denominator. 分母の共役な式どうしを掛ける。
Simplify the denominator. 分母を簡単にする。
Simplify the denominator. 分母を簡単にする。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.72例題 9.72

Simplify:

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{u} - \sqrt{6}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{u} - \sqrt{6}}

。

Solution解答


Multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator. 分子と分母に、分母の共役を掛ける。
Multiply the conjugates in the denominator. 分母の共役な式どうしを掛ける。
Simplify the denominator. 分母を簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.73例題 9.73

Simplify:

\frac{\sqrt{x} + \sqrt{7}}{\sqrt{x} - \sqrt{7}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{\sqrt{x} + \sqrt{7}}{\sqrt{x} - \sqrt{7}}

。

Solution解答


Multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator. 分子と分母に、分母の共役を掛ける。
Multiply the conjugates in the denominator. 分母の共役な式どうしを掛ける。
Simplify the denominator. 分母を簡単にする。
We do not square the numerator. In factored form, we can see there are no common factors to remove from the numerator and denominator. 分子を平方しない。因数分解した形なら、分子と分母から取り除ける共通因子がないと分かる。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Quotient Property of Square Roots
英語のヒント
平方根の商の性質
- If a, b are non-negative real numbers and $b \neq 0$ , then
  英語のヒント
  a、bが非負の実数で $b \neq 0$ なら、次が成り立つ。
  
  $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} and \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
  $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} および \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
Simplified Square Roots
A square root is considered simplified if there are
英語のヒント
簡単な形の平方根平方根が簡単な形とみなされるのは、次の条件を満たす場合である。
- no perfect square factors in the radicand
  英語のヒント
  被開平数に平方数の因子がない
- no fractions in the radicand
  英語のヒント
  被開平数に分数がない
- no square roots in the denominator of a fraction
  英語のヒント
  分数の分母に平方根がない

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 317–344練習問題 317–344

Divide Square Roots

英語のヒント

平方根の割り算

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 317問題 317

\frac{\sqrt{27}}{6}

Solution解き方

\frac{\sqrt{3}}{2}

Exercise 318問題 318

\frac{\sqrt{50}}{10}

Exercise 319問題 319

\frac{\sqrt{72}}{9}

Solution解き方

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

Exercise 320問題 320

\frac{\sqrt{243}}{6}

Exercise 321問題 321

\frac{2 - \sqrt{32}}{8}

Solution解き方

\frac{1 - 2 \sqrt{2}}{4}

Exercise 322問題 322

\frac{3 + \sqrt{27}}{9}

Exercise 323問題 323

\frac{6 + \sqrt{45}}{6}

Solution解き方

\frac{2 + \sqrt{5}}{2}

Exercise 324問題 324

\frac{10 - \sqrt{200}}{20}

Exercise 325問題 325

\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{125}}

Solution解き方

\frac{4}{5}

Exercise 326問題 326

\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{200}}

Exercise 327問題 327

\frac{\sqrt{128}}{\sqrt{72}}

Solution解き方

\frac{4}{3}

Exercise 328問題 328

\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{75}}

Exercise 329問題 329

ⓐ

\frac{\sqrt{8 x^{6}}}{\sqrt{2 x^{2}}}

ⓑ

\frac{\sqrt{200 m^{5}}}{\sqrt{98 m}}

Solution解き方

ⓐ

2 x^{2}

ⓑ

\frac{10 m^{2}}{7}

Exercise 330問題 330

ⓐ

\frac{\sqrt{10 y^{3}}}{\sqrt{5 y}}

ⓑ

\frac{\sqrt{108 n^{7}}}{\sqrt{243 n^{3}}}

Exercise 331問題 331

\frac{\sqrt{75 r^{3}}}{\sqrt{108 r}}

Solution解き方

\frac{5 r}{6}

Exercise 332問題 332

\frac{\sqrt{196 q^{5}}}{\sqrt{484 q}}

Exercise 333問題 333

\frac{\sqrt{108 p^{5} q^{2}}}{\sqrt{3 p^{3} q^{6}}}

Solution解き方

\frac{3 p \sqrt{102}}{17 q^{2}}

Exercise 334問題 334

\frac{\sqrt{98 r s^{10}}}{\sqrt{2 r^{3} s^{4}}}

Exercise 335問題 335

\frac{\sqrt{320 m n^{5}}}{\sqrt{45 m^{7} n^{3}}}

Solution解き方

\frac{8 n}{3 m^{3}}

Exercise 336問題 336

\frac{\sqrt{810 c^{3} d^{7}}}{\sqrt{1000 c^{5} d}}

Exercise 337問題 337

\frac{\sqrt{98}}{14}

Solution解き方

\frac{\sqrt{2}}{2}

Exercise 338問題 338

\frac{\sqrt{72}}{18}

Exercise 339問題 339

\frac{5 + \sqrt{125}}{15}

Solution解き方

\frac{1 + \sqrt{5}}{3}

Exercise 340問題 340

\frac{6 - \sqrt{45}}{12}

Exercise 341問題 341

\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{150}}

Solution解き方

\frac{4}{5}

Exercise 342問題 342

\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{63}}

Exercise 343問題 343

\frac{\sqrt{26 y^{7}}}{\sqrt{2 y}}

Solution解き方

y^{3} \sqrt{13}

Exercise 344問題 344

\frac{\sqrt{15 x^{3}}}{\sqrt{3 x}}

Exercises 345–362練習問題 345–362

Rationalize a One-Term Denominator

英語のヒント

1項の分母を有理化する

In the following exercises, simplify and rationalize the denominator.

英語のヒント

次の各問で、簡単にして分母を有理化せよ。

Exercise 345問題 345

\frac{10}{\sqrt{6}}

Solution解き方

\frac{5 \sqrt{6}}{3}

Exercise 346問題 346

\frac{8}{\sqrt{3}}

Exercise 347問題 347

\frac{6}{\sqrt{7}}

Solution解き方

\frac{6 \sqrt{7}}{7}

Exercise 348問題 348

\frac{4}{\sqrt{5}}

Exercise 349問題 349

\frac{3}{\sqrt{13}}

Solution解き方

\frac{3 \sqrt{13}}{13}

Exercise 350問題 350

\frac{10}{\sqrt{11}}

Exercise 351問題 351

\frac{10}{3 \sqrt{10}}

Solution解き方

\frac{\sqrt{10}}{3}

Exercise 352問題 352

\frac{2}{5 \sqrt{2}}

Exercise 353問題 353

\frac{4}{9 \sqrt{5}}

Solution解き方

\frac{4 \sqrt{5}}{45}

Exercise 354問題 354

\frac{9}{2 \sqrt{7}}

Exercise 355問題 355

- \frac{9}{2 \sqrt{3}}

Solution解き方

- \frac{3 \sqrt{3}}{2}

Exercise 356問題 356

- \frac{8}{3 \sqrt{6}}

Exercise 357問題 357

\sqrt{\frac{3}{20}}

Solution解き方

\frac{\sqrt{15}}{10}

Exercise 358問題 358

\sqrt{\frac{4}{27}}

Exercise 359問題 359

\sqrt{\frac{7}{40}}

Solution解き方

\frac{\sqrt{70}}{20}

Exercise 360問題 360

\sqrt{\frac{8}{45}}

Exercise 361問題 361

\sqrt{\frac{19}{175}}

Solution解き方

\frac{\sqrt{133}}{35}

Exercise 362問題 362

\sqrt{\frac{17}{192}}

Exercises 363–384練習問題 363–384

Rationalize a Two-Term Denominator

英語のヒント

2項の分母を有理化する

In the following exercises, simplify by rationalizing the denominator.

英語のヒント

次の各問で、分母を有理化して簡単にせよ。

Exercise 363問題 363

ⓐ

\frac{3}{3 + \sqrt{11}}

ⓑ

\frac{8}{1 - \sqrt{5}}

Solution解き方

ⓐ

\frac{3 (3 - \sqrt{11})}{−2}

ⓑ

−2 (1 + \sqrt{5})

Exercise 364問題 364

ⓐ

\frac{4}{4 + \sqrt{7}}

ⓑ

\frac{7}{2 - \sqrt{6}}

Exercise 365問題 365

ⓐ

\frac{5}{5 + \sqrt{6}}

ⓑ

\frac{6}{3 - \sqrt{7}}

Solution解き方

ⓐ

\frac{5 (5 - \sqrt{6})}{19}

ⓑ

3 (3 + \sqrt{7})

Exercise 366問題 366

ⓐ

\frac{6}{6 + \sqrt{5}}

ⓑ

\frac{5}{4 - \sqrt{11}}

Exercise 367問題 367

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{m} - \sqrt{5}}

Solution解き方

\frac{\sqrt{3} (\sqrt{m} + \sqrt{5})}{m - 5}

Exercise 368問題 368

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{n} - \sqrt{7}}

Exercise 369問題 369

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{6}}

Solution解き方

\frac{\sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{6})}{x - 6}

Exercise 370問題 370

\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{y} + \sqrt{3}}

Exercise 371問題 371

\frac{\sqrt{r} + \sqrt{5}}{\sqrt{r} - \sqrt{5}}

Solution解き方

{\frac{(\sqrt{r} + \sqrt{5})}{r - 5}}^{2}

Exercise 372問題 372

\frac{\sqrt{s} - \sqrt{6}}{\sqrt{s} + \sqrt{6}}

Exercise 373問題 373

\frac{\sqrt{150 x^{2} y^{6}}}{\sqrt{6 x^{4} y^{2}}}

Solution解き方

\frac{5 y^{2}}{x}

Exercise 374問題 374

\frac{\sqrt{80 p^{3} q}}{\sqrt{5 p q^{5}}}

Exercise 375問題 375

\frac{15}{\sqrt{5}}

Solution解き方

3 \sqrt{5}

Exercise 376問題 376

\frac{3}{5 \sqrt{8}}

Exercise 377問題 377

\sqrt{\frac{8}{54}}

Solution解き方

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

Exercise 378問題 378

\sqrt{\frac{12}{20}}

Exercise 379問題 379

\frac{3}{5 + \sqrt{5}}

Solution解き方

\frac{3 (5 - \sqrt{5})}{20}

Exercise 380問題 380

\frac{20}{4 - \sqrt{3}}

Exercise 381問題 381

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{3}}

Solution解き方

\frac{\sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{3})}{x - 3}

Exercise 382問題 382

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{y} - \sqrt{7}}

Exercise 383問題 383

\frac{\sqrt{x} + \sqrt{8}}{\sqrt{x} - \sqrt{8}}

Solution解き方

{\frac{(\sqrt{x} + 2 \sqrt{2})}{x - 8}}^{2}

Exercise 384問題 384

\frac{\sqrt{m} - \sqrt{3}}{\sqrt{m} + \sqrt{3}}

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 385–386練習問題 385–386

Exercise 385問題 385

A supply kit is dropped from an airplane flying at an altitude of 250 feet. Simplify

\sqrt{\frac{250}{16}}

to determine how many seconds it takes for the supply kit to reach the ground.

英語のヒント

高度250フィートで飛ぶ飛行機から補給キットを落とす。

\sqrt{\frac{250}{16}}

を簡単にして、補給キットが地面に達するまでの秒数を求めよ。

Solution解き方

\frac{5 \sqrt{10}}{4} seconds

\frac{5 \sqrt{10}}{4} 秒

Exercise 386問題 386

A flare is dropped into the ocean from an airplane flying at an altitude of 1,200 feet. Simplify

\sqrt{\frac{1200}{16}}

to determine how many seconds it takes for the flare to reach the ocean.

英語のヒント

高度1,200フィートで飛ぶ飛行機から海へ発炎筒を落とす。

\sqrt{\frac{1200}{16}}

を簡単にして、発炎筒が海に達するまでの秒数を求めよ。

Writing Exercises記述問題

Exercises 387–388練習問題 387–388

Exercise 387問題 387

ⓐ Simplify $\sqrt{\frac{27}{3}}$ and explain all your steps.
英語のヒント
ⓐ $\sqrt{\frac{27}{3}}$ を簡単にし、すべての手順を説明せよ。
ⓑ Simplify $\sqrt{\frac{27}{5}}$ and explain all your steps.
英語のヒント
ⓑ $\sqrt{\frac{27}{5}}$ を簡単にし、すべての手順を説明せよ。

Solution解き方

Answers will vary.

英語のヒント

解答は一通りではない。

Exercise 388問題 388

ⓐ Approximate $\frac{1}{\sqrt{2}}$ by dividing $\frac{1}{1.414}$ using long division without a calculator.
英語のヒント
ⓐ 電卓を使わずに $\frac{1}{1.414}$ を筆算で割り、 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の近似値を求めよ。
ⓑ Rationalizing the denominator of $\frac{1}{\sqrt{2}}$ gives $\frac{\sqrt{2}}{2} .$ Approximate $\frac{\sqrt{2}}{2}$ by dividing $\frac{1.414}{2}$ using long division without a calculator.
英語のヒント
ⓑ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の分母を有理化すると $\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。電卓を使わずに $\frac{1.414}{2}$ を筆算で割り、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ の近似値を求めよ。
ⓒ Do you agree that rationalizing the denominator makes calculations easier? Why or why not?
英語のヒント
ⓒ 分母を有理化すると計算が簡単になると思うか。その理由を述べよ。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

この表は4列4行である。列の見出しは「私は…できる」「自信を持って」「少し助けがあれば」「できない、分からない」である。「私は…できる」の列には「平方根を割る」「1項の分母を有理化する」「2項の分母を有理化する」とある。他の列の欄はすべて空白である。

ⓑ After looking at the checklist, do you think you are well-prepared for the next section? Why or why not?

英語のヒント

ⓑ チェックリストを見て、次の節に進む準備が十分にできていると思うか。その理由を述べよ。

rationalizing the denominator

分母の有理化

The process of converting a fraction with a radical in the denominator to an equivalent fraction whose denominator is an integer is called rationalizing the denominator.

英語のヒント

分母に根号を含む分数を、分母が整数の同値な分数に変換することを、分母の有理化と呼ぶ。