第9章平方根と根号

9.6 Solve Equations with Square Roots9.6　平方根を含む方程式を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

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この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve radical equations
英語のヒント
無理方程式を解く
Use square roots in applications
英語のヒント
応用問題で平方根を使う

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Solve Radical Equations無理方程式を解く

In this section we will solve equations that have the variable in the radicand of a square root. Equations of this type are called radical equations.

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この節では、平方根の被開平数に変数を含む方程式を解く。この種類の方程式を無理方程式と呼ぶ。

As usual, in solving these equations, what we do to one side of an equation we must do to the other side as well. Since squaring a quantity and taking a square root are ‘opposite’ operations, we will square both sides in order to remove the radical sign and solve for the variable inside.

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これらの方程式を解くときも、いつものように、一方の辺に行う操作はもう一方の辺にも行わなければならない。量を平方することと平方根を取ることは「逆」の操作なので、両辺を平方して根号を取り除き、中の変数について解く。

But remember that when we write

\sqrt{a}

we mean the principal square root. So

\sqrt{a} \geq 0

always. When we solve radical equations by squaring both sides we may get an algebraic solution that would make

\sqrt{a}

negative. This algebraic solution would not be a solution to the original radical equation; it is an extraneous solution. We saw extraneous solutions when we solved rational equations, too.

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ただし、

\sqrt{a}

と書くときは主平方根を意味することを思い出そう。そのため常に

\sqrt{a} \geq 0

である。無理方程式の両辺を平方して解くと、

\sqrt{a}

を負にする値が代数的に得られることがある。この値は元の無理方程式の解ではなく、無縁解である。分数方程式を解いたときにも無縁解を見た。

Example 9.74例題 9.74

For the equation

\sqrt{x + 2} = x

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方程式

\sqrt{x + 2} = x

について、次に答えよ。

ⓐ Is

x = 2

a solution? ⓑ Is

x = −1

a solution?

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ⓐ

x = 2

は解か。ⓑ

x = −1

は解か。

Solution解答

ⓐ Is

x = 2

a solution?

英語のヒント

ⓐ

x = 2

は解か。


Let x = 2. x = 2とする。
Simplify. 簡単にする。

	2 is a solution. 2は解である。

ⓑ Is

x = −1

a solution?

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ⓑ

x = −1

は解か。


Let x = −1. x = −1とする。
Simplify. 簡単にする。

	−1 is not a solution. −1は解ではない。
	−1 is an extraneous solution to the equation. −1はこの方程式の無縁解である。

Try It (2)確認問題（2題）

Now we will see how to solve a radical equation. Our strategy is based on the relation between taking a square root and squaring.

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次に無理方程式の解き方を見る。その方針は、平方根を取ることと平方することの関係に基づく。

For a \geq 0, {(\sqrt{a})}^{2} = a

次の場合： a \geq 0, {(\sqrt{a})}^{2} = a

Example 9.75例題 9.75

How to Solve Radical Equations無理方程式を解く方法

Solve:

\sqrt{2 x - 1} = 7

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解け：

\sqrt{2 x - 1} = 7

。

Solution解答

この表は3列4行である。1行目には「手順1。方程式の一方の辺に根号の式を単独にする。√(2x−1)はすでに左辺で単独になっている」とある。次に方程式√(2x−1)＝7が示されている。

2行目には「手順2。方程式の両辺を平方する。√aの平方はaになることを思い出す」とある。次に方程式[√(2x−1)]²＝7²が示されている。

3行目には「手順3。新しい方程式を解く」とある。2x−1＝49、または2x＝50であり、したがってx＝25と示されている。

4行目には「手順4。答えを確かめる。確認：」とあり、√(2x−1)＝7が示されている。これが√(2×25−1)＝7、√(50−1)＝7、√49＝7となり、したがって7＝7となる。図には「解はx＝25である」とある。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.76例題 9.76

Solve:

\sqrt{5 n - 4} - 9 = 0

英語のヒント

解け：

\sqrt{5 n - 4} - 9 = 0

。

Solution解答


To isolate the radical, add 9 to both sides. 根号の式を単独にするため、両辺に9を足す。
Simplify. 簡単にする。
Square both sides of the equation. 方程式の両辺を2乗する。
Solve the new equation. 新しい方程式を解く。


Check the answer. 答えを確認する。

	The solution is n = 17. 解はn = 17である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.77例題 9.77

Solve:

\sqrt{3 y + 5} + 2 = 5

英語のヒント

解け：

\sqrt{3 y + 5} + 2 = 5

。

Solution解答


To isolate the radical, subtract 2 from both sides. 根号の式を単独にするため、両辺から2を引く。
Simplify. 簡単にする。
Square both sides of the equation. 方程式の両辺を2乗する。
Solve the new equation. 新しい方程式を解く。


Check the answer. 答えを確認する。

	The solution is $y = \frac{4}{3}$ . 解は $y = \frac{4}{3}$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

When we use a radical sign, we mean the principal or positive root. If an equation has a square root equal to a negative number, that equation will have no solution.

英語のヒント

根号を使うときは、主根、つまり正の根を意味する。平方根が負の数に等しい方程式には解がない。

Example 9.78例題 9.78

Solve:

\sqrt{9 k - 2} + 1 = 0

英語のヒント

解け：

\sqrt{9 k - 2} + 1 = 0

。

Solution解答


To isolate the radical, subtract 1 from both sides. 根号の式を単独にするため、両辺から1を引く。
Simplify. 簡単にする。
Since the square root is equal to a negative number, the equation has no solution. 平方根が負の数に等しいので、この方程式に解はない。

Try It (2)確認問題（2題）

If one side of the equation is a binomial, we use the binomial squares formula when we square it.

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方程式の一方の辺が二項式の場合、その平方には二項式の平方の公式を使う。

Don’t forget the middle term!

英語のヒント

中央の項を忘れないようにしよう。

Example 9.79例題 9.79

Solve:

\sqrt{p - 1} + 1 = p

英語のヒント

解け：

\sqrt{p - 1} + 1 = p

。

Solution解答


To isolate the radical, subtract 1 from both sides. 根号の式を単独にするため、両辺から1を引く。
Simplify. 簡単にする。
Square both sides of the equation. 方程式の両辺を2乗する。
Simplify, then solve the new equation. 簡単にしてから、新しい方程式を解く。
It is a quadratic equation, so get zero on one side. 二次方程式なので、一方の辺を0にする。
Factor the right side. 右辺を因数分解する。
Use the zero product property. 積が0になる性質を使う。
Solve each equation. それぞれの方程式を解く。
Check the answers. 答えを確かめる。

	The solutions are p = 1, p = 2. 解はp = 1、p = 2である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.80例題 9.80

Solve:

\sqrt{r + 4} - r + 2 = 0

英語のヒント

解け：

\sqrt{r + 4} - r + 2 = 0

。

Solution解答

	$\sqrt{r + 4} - r + 2 = 0$
Isolate the radical. 根号の式を単独にする。	$\sqrt{r + 4} = r - 2$
Square both sides of the equation. 方程式の両辺を2乗する。	${(\sqrt{r + 4})}^{2} = {(r - 2)}^{2}$
Solve the new equation. 新しい方程式を解く。	$r + 4 = r^{2} - 4 r + 4$
It is a quadratic equation, so get zero on one side. 二次方程式なので、一方の辺を0にする。	$0 = r^{2} - 5 r$
Factor the right side. 右辺を因数分解する。	$0 = r (r - 5)$
Use the zero product property. 積が0になる性質を使う。	$0 = r 0 = r - 5$
Solve the equation. 方程式を解く。	$r = 0 r = 5$
Check the answer. 答えを確認する。
	The solution is $r = 5$ . 解は $r = 5$ である。
	$r = 0$ is an extraneous solution. $r = 0$ は無縁解である。

Try It (2)確認問題（2題）

When there is a coefficient in front of the radical, we must square it, too.

英語のヒント

根号の前に係数がある場合は、それも平方しなければならない。

Example 9.81例題 9.81

Solve:

3 \sqrt{3 x - 5} - 8 = 4

英語のヒント

解け：

3 \sqrt{3 x - 5} - 8 = 4

。

Solution解答

	$3 \sqrt{3 x - 5} - 8 = 4$
Isolate the radical. 根号の式を単独にする。	$3 \sqrt{3 x - 5} = 12$
Square both sides of the equation. 方程式の両辺を2乗する。	${(3 \sqrt{3 x - 5})}^{2} = {(12)}^{2}$
Simplify, then solve the new equation. 簡単にしてから、新しい方程式を解く。	$9 (3 x - 5) = 144$
Distribute. 分配法則を使う。	$27 x - 45 = 144$
Solve the equation. 方程式を解く。	$27 x = 189$
	$x = 7$
Check the answer. 答えを確認する。
	The solution is $x = 7$ . 解は $x = 7$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.82例題 9.82

Solve:

\sqrt{4 z - 3} = \sqrt{3 z + 2}

英語のヒント

解け：

\sqrt{4 z - 3} = \sqrt{3 z + 2}

。

Solution解答

	$\begin{matrix} \sqrt{4 z - 3} = \sqrt{3 z + 2} \end{matrix}$
The radical terms are isolated. 根号を含む項は単独になっている。	$\begin{matrix} \sqrt{4 z - 3} = \sqrt{3 z + 2} \end{matrix}$
Square both sides of the equation. 方程式の両辺を2乗する。	$\begin{matrix} {(\sqrt{4 z - 3})}^{2} = {(\sqrt{3 z + 2})}^{2} \end{matrix}$
Simplify, then solve the new equation. 簡単にしてから、新しい方程式を解く。	$\begin{matrix} \begin{matrix} 4 z - 3 = 3 z + 2 \\ z - 3 = 2 \\ z = 5 \end{matrix} \end{matrix}$
Check the answer. 答えを確認する。
We leave it to you to show that 5 checks! 5が解であることの確認は自分で行おう。	The solution is $z = 5 .$ 解は $z = 5$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

Sometimes after squaring both sides of an equation, we still have a variable inside a radical. When that happens, we repeat Step 1 and Step 2 of our procedure. We isolate the radical and square both sides of the equation again.

英語のヒント

方程式の両辺を平方しても、根号の中に変数が残ることがある。その場合は、手順1と手順2を繰り返す。根号の式を単独にし、方程式の両辺をもう一度平方する。

Example 9.83例題 9.83

Solve:

\sqrt{m} + 1 = \sqrt{m + 9}

英語のヒント

解け：

\sqrt{m} + 1 = \sqrt{m + 9}

。

Solution解答

	$\sqrt{m} + 1 = \sqrt{m + 9}$
The radical on the right side is isolated. Square both sides. 右辺の根号の式は単独になっている。両辺を平方する。	${(\sqrt{m} + 1)}^{2} = {(\sqrt{m + 9})}^{2}$
Simplify—be very careful as you multiply! 簡単にする。掛け算には十分に注意する。	$m + 2 \sqrt{m} + 1 = m + 9$
There is still a radical in the equation. So we must repeat the previous steps. Isolate the radical. 方程式にまだ根号があるため、前の手順を繰り返す必要がある。根号の式を単独にする。	$2 \sqrt{m} = 8$
Square both sides. 両辺を平方する。	${(2 \sqrt{m})}^{2} = {(8)}^{2}$
Simplify, then solve the new equation. 簡単にしてから、新しい方程式を解く。	$4 m = 64$
	$m = 16$
	Check the answer. 答えを確認する。
We leave it to you to show that $m = 16$ checks! $m = 16$ が解であることの確認は自分で行おう。	The solution is $m = 16 .$ 解は $m = 16$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.84例題 9.84

Solve:

\sqrt{q - 2} + 3 = \sqrt{4 q + 1}

英語のヒント

解け：

\sqrt{q - 2} + 3 = \sqrt{4 q + 1}

。

Solution解答

	$\sqrt{q - 2} + 3 = \sqrt{4 q + 1}$
The radical on the right side is isolated. Square both sides. 右辺の根号の式は単独になっている。両辺を平方する。	${(\sqrt{q - 2} + 3)}^{2} = {(\sqrt{4 q + 1})}^{2}$
Simplify. 簡単にする。	$q - 2 + 6 \sqrt{q - 2} + 9 = 4 q + 1$
There is still a radical in the equation. So we must repeat the previous steps. Isolate the radical. 方程式にまだ根号があるため、前の手順を繰り返す必要がある。根号の式を単独にする。	$6 \sqrt{q - 2} = 3 q - 6$
Square both sides. 両辺を平方する。	${(6 \sqrt{q - 2})}^{2} = {(3 q - 6)}^{2}$
Simplify, then solve the new equation. 簡単にしてから、新しい方程式を解く。	$36 (q - 2) = 9 q^{2} - 36 q + 36$
Distribute. 分配法則を使う。	$36 q - 72 = 9 q^{2} - 36 q + 36$
It is a quadratic equation, so get zero on one side. 二次方程式なので、一方の辺を0にする。	$0 = 9 q^{2} - 72 q + 108$
Factor the right side. 右辺を因数分解する。	$0 = 9 (q^{2} - 8 q + 12)$
	$0 = 9 (q - 6) (q - 2)$
Use the zero product property. 積が0になる性質を使う。	$\begin{matrix} q - 6 = 0 & q - 2 = 0 \\ q = 6 & q = 2 \end{matrix}$
The checks are left to you. (Both solutions should work.) 確認は自分で行おう。（両方とも解になるはずである。）	$The solutions are q = 6 and q = 2 .$ $解は q = 6 および q = 2$

Try It (2)確認問題（2題）

第9章平方根と根号

9.6 Solve Equations with Square Roots9.6 平方根を含む方程式を解く

Learning Objectives学習目標

Solve Radical Equations無理方程式を解く

Solution解答

How to Solve Radical Equations無理方程式を解く方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

9.6 Solve Equations with Square Roots9.6　平方根を含む方程式を解く