第9章平方根と根号

Key Concepts重要な概念

To add or subtract like square roots, add or subtract the coefficients and keep the like square root.
英語のヒント
同類の平方根を足し引きするには、係数を足し引きし、共通する平方根をそのまま残す。
Sometimes when we have to add or subtract square roots that do not appear to have like radicals, we find like radicals after simplifying the square roots.
英語のヒント
同類の根号の式に見えない平方根を足し引きする場合でも、平方根を簡単にすると同類になることがある。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 145–176練習問題 145–176

Add and Subtract Like Square Roots

英語のヒント

同類の平方根を足し引きする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 145問題 145

8 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2}

Solution解き方

3 \sqrt{2}

Exercise 146問題 146

7 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}

Exercise 147問題 147

3 \sqrt{5} + 6 \sqrt{5}

Solution解き方

9 \sqrt{5}

Exercise 148問題 148

4 \sqrt{5} + 8 \sqrt{5}

Exercise 149問題 149

9 \sqrt{7} - 10 \sqrt{7}

Solution解き方

− \sqrt{7}

Exercise 150問題 150

11 \sqrt{7} - 12 \sqrt{7}

Exercise 151問題 151

7 \sqrt{y} + 2 \sqrt{y}

Solution解き方

9 \sqrt{y}

Exercise 152問題 152

9 \sqrt{n} + 3 \sqrt{n}

Exercise 153問題 153

\sqrt{a} - 4 \sqrt{a}

Solution解き方

−3 \sqrt{a}

Exercise 154問題 154

\sqrt{b} - 6 \sqrt{b}

Exercise 155問題 155

5 \sqrt{c} + 2 \sqrt{c}

Solution解き方

7 \sqrt{c}

Exercise 156問題 156

7 \sqrt{d} + 2 \sqrt{d}

Exercise 157問題 157

8 \sqrt{a} - 2 \sqrt{b}

Solution解き方

8 \sqrt{a} - 2 \sqrt{b}

Exercise 158問題 158

5 \sqrt{c} - 3 \sqrt{d}

Exercise 159問題 159

5 \sqrt{m} + \sqrt{n}

Solution解き方

5 \sqrt{m} + \sqrt{n}

Exercise 160問題 160

\sqrt{n} + 3 \sqrt{p}

Exercise 161問題 161

8 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7}

Solution解き方

13 \sqrt{7}

Exercise 162問題 162

6 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5}

Exercise 163問題 163

3 \sqrt{11} + 2 \sqrt{11} - 8 \sqrt{11}

Solution解き方

−3 \sqrt{11}

Exercise 164問題 164

2 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} - 9 \sqrt{15}

Exercise 165問題 165

3 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} + 7 \sqrt{5}

Solution解き方

−5 \sqrt{3} + 7 \sqrt{5}

Exercise 166問題 166

5 \sqrt{7} - 8 \sqrt{7} + 6 \sqrt{3}

Exercise 167問題 167

6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5}

Solution解き方

8 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5}

Exercise 168問題 168

7 \sqrt{5} + \sqrt{5} - 8 \sqrt{10}

Exercise 169問題 169

3 \sqrt{2 a} - 4 \sqrt{2 a} + 5 \sqrt{2 a}

Solution解き方

4 \sqrt{2 a}

Exercise 170問題 170

\sqrt{11 b} - 5 \sqrt{11 b} + 3 \sqrt{11 b}

Exercise 171問題 171

8 \sqrt{3 c} + 2 \sqrt{3 c} - 9 \sqrt{3 c}

Solution解き方

\sqrt{3 c}

Exercise 172問題 172

3 \sqrt{5 d} + 8 \sqrt{5 d} - 11 \sqrt{5 d}

Exercise 173問題 173

5 \sqrt{3 a b} + \sqrt{3 a b} - 2 \sqrt{3 a b}

Solution解き方

4 \sqrt{3 a b}

Exercise 174問題 174

8 \sqrt{11 c d} + 5 \sqrt{11 c d} - 9 \sqrt{11 c d}

Exercise 175問題 175

2 \sqrt{p q} - 5 \sqrt{p q} + 4 \sqrt{p q}

Solution解き方

\sqrt{p q}

Exercise 176問題 176

11 \sqrt{2 r s} - 9 \sqrt{2 r s} + 3 \sqrt{2 r s}

Exercises 177–208練習問題 177–208

Add and Subtract Square Roots that Need Simplification

英語のヒント

簡単にする必要のある平方根を足し引きする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 177問題 177

\sqrt{50} + 4 \sqrt{2}

Solution解き方

9 \sqrt{2}

Exercise 178問題 178

\sqrt{48} + 2 \sqrt{3}

Exercise 179問題 179

\sqrt{80} - 3 \sqrt{5}

Solution解き方

\sqrt{5}

Exercise 180問題 180

\sqrt{28} - 4 \sqrt{7}

Exercise 181問題 181

\sqrt{27} - \sqrt{75}

Solution解き方

−2 \sqrt{3}

Exercise 182問題 182

\sqrt{72} - \sqrt{98}

Exercise 183問題 183

\sqrt{48} + \sqrt{27}

Solution解き方

7 \sqrt{3}

Exercise 184問題 184

\sqrt{45} + \sqrt{80}

Exercise 185問題 185

2 \sqrt{50} - 3 \sqrt{72}

Solution解き方

−8 \sqrt{2}

Exercise 186問題 186

3 \sqrt{98} - \sqrt{128}

Exercise 187問題 187

2 \sqrt{12} + 3 \sqrt{48}

Solution解き方

16 \sqrt{3}

Exercise 188問題 188

4 \sqrt{75} + 2 \sqrt{108}

Exercise 189問題 189

\frac{2}{3} \sqrt{72} + \frac{1}{5} \sqrt{50}

Solution解き方

5 \sqrt{2}

Exercise 190問題 190

\frac{2}{5} \sqrt{75} + \frac{3}{4} \sqrt{48}

Exercise 191問題 191

\frac{1}{2} \sqrt{20} - \frac{2}{3} \sqrt{45}

Solution解き方

− \sqrt{5}

Exercise 192問題 192

\frac{2}{3} \sqrt{54} - \frac{3}{4} \sqrt{96}

Exercise 193問題 193

\frac{1}{6} \sqrt{27} - \frac{3}{8} \sqrt{48}

Solution解き方

− \sqrt{3}

Exercise 194問題 194

\frac{1}{8} \sqrt{32} - \frac{1}{10} \sqrt{50}

Exercise 195問題 195

\frac{1}{4} \sqrt{98} - \frac{1}{3} \sqrt{128}

Solution解き方

- \frac{11}{12} \sqrt{2}

Exercise 196問題 196

\frac{1}{3} \sqrt{24} + \frac{1}{4} \sqrt{54}

Exercise 197問題 197

\sqrt{72 a^{5}} - \sqrt{50 a^{5}}

Solution解き方

a^{2} \sqrt{2 a}

Exercise 198問題 198

\sqrt{48 b^{5}} - \sqrt{75 b^{5}}

Exercise 199問題 199

\sqrt{80 c^{7}} - \sqrt{20 c^{7}}

Solution解き方

2 c^{3} \sqrt{5 c}

Exercise 200問題 200

\sqrt{96 d^{9}} - \sqrt{24 d^{9}}

Exercise 201問題 201

9 \sqrt{80 p^{4}} - 6 \sqrt{98 p^{4}}

Solution解き方

36 p^{2} \sqrt{5} - 42 p^{2} \sqrt{2}

Exercise 202問題 202

8 \sqrt{72 q^{6}} - 3 \sqrt{75 q^{6}}

Exercise 203問題 203

2 \sqrt{50 r^{8}} + 4 \sqrt{54 r^{8}}

Solution解き方

10 r^{4} \sqrt{2} + 12 r^{4} \sqrt{6}

Exercise 204問題 204

5 \sqrt{27 s^{6}} + 2 \sqrt{20 s^{6}}

Exercise 205問題 205

3 \sqrt{20 x^{2}} - 4 \sqrt{45 x^{2}} + 5 x \sqrt{80}

Solution解き方

14 x \sqrt{5}

Exercise 206問題 206

2 \sqrt{28 x^{2}} - \sqrt{63 x^{2}} + 6 x \sqrt{7}

Exercise 207問題 207

3 \sqrt{128 y^{2}} + 4 y \sqrt{162} - 8 \sqrt{98 y^{2}}

Solution解き方

4 y \sqrt{2}

Exercise 208問題 208

3 \sqrt{75 y^{2}} + 8 y \sqrt{48} - \sqrt{300 y^{2}}

Exercises 209–228練習問題 209–228

Mixed Practice

英語のヒント

総合練習

Exercise 209問題 209

2 \sqrt{8} + 6 \sqrt{8} - 5 \sqrt{8}

Solution解き方

6 \sqrt{2}

Exercise 210問題 210

\frac{2}{3} \sqrt{27} + \frac{3}{4} \sqrt{48}

Exercise 211問題 211

\sqrt{175 k^{4}} - \sqrt{63 k^{4}}

Solution解き方

2 k^{2} \sqrt{7}

Exercise 212問題 212

\frac{5}{6} \sqrt{162} + \frac{3}{16} \sqrt{128}

Exercise 213問題 213

2 \sqrt{363} - 2 \sqrt{300}

Solution解き方

2 \sqrt{3}

Exercise 214問題 214

\sqrt{150} + 4 \sqrt{6}

Exercise 215問題 215

9 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2}

Solution解き方

\sqrt{2}

Exercise 216問題 216

5 \sqrt{x} - 8 \sqrt{y}

Exercise 217問題 217

8 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} - 3 \sqrt{13}

Solution解き方

\sqrt{13}

Exercise 218問題 218

5 \sqrt{12 c^{4}} - 3 \sqrt{27 c^{6}}

Exercise 219問題 219

\sqrt{80 a^{5}} - \sqrt{45 a^{5}}

Solution解き方

a^{2} \sqrt{5 a}

Exercise 220問題 220

\frac{3}{5} \sqrt{75} - \frac{1}{4} \sqrt{48}

Exercise 221問題 221

21 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19}

Solution解き方

19 \sqrt{19}

Exercise 222問題 222

\sqrt{500} + \sqrt{405}

Exercise 223問題 223

\frac{5}{6} \sqrt{27} + \frac{5}{8} \sqrt{48}

Solution解き方

5 \sqrt{3}

Exercise 224問題 224

11 \sqrt{11} - 10 \sqrt{11}

Exercise 225問題 225

\sqrt{75} - \sqrt{108}

Solution解き方

− \sqrt{3}

Exercise 226問題 226

2 \sqrt{98} - 4 \sqrt{72}

Exercise 227問題 227

4 \sqrt{24 x^{2}} - \sqrt{54 x^{2}} + 3 x \sqrt{6}

Solution解き方

8 x \sqrt{6}

Exercise 228問題 228

8 \sqrt{80 y^{6}} - 6 \sqrt{48 y^{6}}

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 229–230練習問題 229–230

Exercise 229問題 229

A decorator decides to use square tiles as an accent strip in the design of a new shower, but she wants to rotate the tiles to look like diamonds. She will use 9 large tiles that measure 8 inches on a side and 8 small tiles that measure 2 inches on a side. Determine the width of the accent strip by simplifying the expression

9 (8 \sqrt{2}) + 8 (2 \sqrt{2})

. (Round to the nearest tenth of an inch.)

英語のヒント

装飾家は、新しいシャワーのデザインにアクセントの帯として正方形のタイルを使い、ひし形に見えるよう回転させたいと考えている。1辺8インチの大きいタイルを9枚、1辺2インチの小さいタイルを8枚使う。式

9 (8 \sqrt{2}) + 8 (2 \sqrt{2})

を簡単にして、アクセントの帯の幅を求めよ。（インチ単位で小数第1位までに丸めよ。）

Solution解き方

124.5 inches

124.5 インチ

Exercise 230問題 230

Suzy wants to use square tiles on the border of a spa she is installing in her backyard. She will use large tiles that have area of 12 square inches, medium tiles that have area of 8 square inches, and small tiles that have area of 4 square inches. Once section of the border will require 4 large tiles, 8 medium tiles, and 10 small tiles to cover the width of the wall. Simplify the expression

4 \sqrt{12} + 8 \sqrt{8} + 10 \sqrt{4}

to determine the width of the wall. (Round to the nearest tenth of an inch.)

英語のヒント

スージーは裏庭に設置するスパの縁に正方形のタイルを使いたい。面積12平方インチの大きいタイル、8平方インチの中くらいのタイル、4平方インチの小さいタイルを使う。縁の一つの部分では、壁の幅を覆うのに大4枚、中8枚、小10枚が必要になる。式

4 \sqrt{12} + 8 \sqrt{8} + 10 \sqrt{4}

を簡単にして壁の幅を求めよ。（インチ単位で小数第1位までに丸めよ。）

Writing Exercises記述問題

Exercises 231–232練習問題 231–232

Exercise 231問題 231

Explain the difference between like radicals and unlike radicals. Make sure your answer makes sense for radicals containing both numbers and variables.

英語のヒント

同類の根号の式と同類でない根号の式の違いを説明せよ。数と変数の両方を含む根号の式にも通用する答えにすること。

Solution解き方

Answers will vary.

英語のヒント

解答は一通りではない。

Exercise 232問題 232

Explain the process for determining whether two radicals are like or unlike. Make sure your answer makes sense for radicals containing both numbers and variables.

英語のヒント

二つの根号の式が同類かどうかを判定する手順を説明せよ。数と変数の両方を含む根号の式にも通用する答えにすること。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

この表は4列3行である。列の見出しは「私は…できる」「自信を持って」「少し助けがあれば」「できない、分からない」である。「私は…できる」の列には「同類の平方根を足し引きする」「簡単にする必要のある平方根を足し引きする」とある。他の列の欄は空白である。

ⓑ What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?

英語のヒント

ⓑ このチェックリストから、この節をどれだけ習得できたと分かるか。さらに身に付けるために、どのような手順で取り組むか。

like square roots

同類の平方根

Square roots with the same radicand are called like square roots.

英語のヒント

被開平数の同じ平方根を同類の平方根と呼ぶ。