第9章平方根と根号

Simplify Expressions with $a^{\frac{m}{n}}$ $a^{\frac{m}{n}}$ を含む式を簡単にする

Let’s work with the Power Property for Exponents some more.

英語のヒント

累乗の累乗の法則をもう少し扱おう。

Suppose we raise

a^{\frac{1}{n}}

to the power m.

英語のヒント

a^{\frac{1}{n}}

をm乗するとしよう。

	${(a^{\frac{1}{n}})}^{m}$
Multiply the exponents. 指数どうしを掛ける。	$a^{\frac{1}{n}}^{\cdot m}$
Simplify. 簡単にする。	$a^{\frac{m}{n}}$
So $a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m} .$ したがって、 $a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$

Now suppose we take

a^{m}

to the

\frac{1}{n}

power.

英語のヒント

今度は

a^{m}

を

\frac{1}{n}

乗するとしよう。

	${(a^{m})}^{\frac{1}{n}}$
Multiply the exponents. 指数どうしを掛ける。	$a^{m \cdot \frac{1}{n}}$
Simplify. 簡単にする。	$a^{\frac{m}{n}}$
So $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ also. したがって、 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ も成り立つ。

Which form do we use to simplify an expression? We usually take the root first—that way we keep the numbers in the radicand smaller.

英語のヒント

式を簡単にするにはどちらの形を使うか。通常は先に根を取る。そうすれば根号内の数を小さく保てる。

Example 9.109例題 9.109

Write with a rational exponent: ⓐ

\sqrt{y^{3}}

ⓑ

\sqrt[3]{x^{2}}

ⓒ

\sqrt[4]{z^{3}}

英語のヒント

有理数の指数を使って表せ：ⓐ

\sqrt{y^{3}}

　ⓑ

\sqrt[3]{x^{2}}

　ⓒ

\sqrt[4]{z^{3}}

。

Solution解答

We want to use

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

to write each radical in the form

a^{\frac{m}{n}}

英語のヒント

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

を使い、各根号の式を

a^{\frac{m}{n}}

の形で書く。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.110例題 9.110

Simplify: ⓐ

9^{\frac{3}{2}}

ⓑ

125^{\frac{2}{3}}

ⓒ

81^{\frac{3}{4}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

9^{\frac{3}{2}}

　ⓑ

125^{\frac{2}{3}}

　ⓒ

81^{\frac{3}{4}}

。

Solution解答

We will rewrite each expression as a radical first using the property,

a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}

. This form lets us take the root first and so we keep the numbers in the radicand smaller than if we used the other form.

英語のヒント

まず性質

a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}

を使い、各式を根号の式に書き直す。この形では先に根を取れるので、もう一方の形を使う場合より根号内の数を小さく保てる。

ⓐ

	$9^{\frac{3}{2}}$
The power of the radical is the numerator of the exponent, 3. Since the denominator of the exponent is 2, this is a square root. 根号の式を累乗する指数は、元の指数の分子である3である。分母が2なので、これは平方根である。	${(\sqrt{9})}^{3}$
Simplify. 簡単にする。	${(3)}^{3}$
	$27$

ⓑ

	$125^{\frac{2}{3}}$
The power of the radical is the numerator of the exponent, 2. The index of the radical is the denominator of the exponent, 3. 根号の式を累乗する指数は、元の指数の分子である2である。根の指数は元の指数の分母である3である。	${(\sqrt[3]{125})}^{2}$
Simplify. 簡単にする。	${(5)}^{2}$
	$25$

ⓒ

	$81^{\frac{3}{4}}$
The power of the radical is the numerator of the exponent, 3. The index of the radical is the denominator of the exponent, 4. 根号の式を累乗する指数は、元の指数の分子である3である。根の指数は元の指数の分母である4である。	${(\sqrt[4]{81})}^{3}$
Simplify. 簡単にする。	${(3)}^{3}$
	$27$

Try It (2)確認問題（2題）

Remember that

b^{− p} = \frac{1}{b^{p}}

. The negative sign in the exponent does not change the sign of the expression.

英語のヒント

b^{− p} = \frac{1}{b^{p}}

を思い出そう。指数の負号は、式の符号を変えるものではない。

Example 9.111例題 9.111

Simplify: ⓐ

16^{- \frac{3}{2}}

ⓑ

32^{- \frac{2}{5}}

ⓒ

4^{- \frac{5}{2}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

16^{- \frac{3}{2}}

　ⓑ

32^{- \frac{2}{5}}

　ⓒ

4^{- \frac{5}{2}}

。

Solution解答

We will rewrite each expression first using

b^{− p} = \frac{1}{b^{p}}

and then change to radical form.

英語のヒント

まず

b^{− p} = \frac{1}{b^{p}}

を使って各式を書き直し、その後、根号の形に変える。

ⓐ

	$16^{- \frac{3}{2}}$
Rewrite using $b^{− p} = \frac{1}{b^{p}} .$ $b^{− p} = \frac{1}{b^{p}}$ を使って書き直す。	$\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}$
Change to radical form. The power of the radical is the numerator of the exponent, 3. The index is the denominator of the exponent, 2. 根号の形に変える。根号の式を累乗する指数は、元の指数の分子である3である。根の指数は元の指数の分母である2である。	$\frac{1}{{(\sqrt{16})}^{3}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{4^{3}}$
	$\frac{1}{64}$

ⓑ

	$32^{- \frac{2}{5}}$
Rewrite using $b^{− p} = \frac{1}{b^{p}} .$ $b^{− p} = \frac{1}{b^{p}}$ を使って書き直す。	$\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}$
Change to radical form. 根号の形に変える。	$\frac{1}{{(\sqrt[5]{32})}^{2}}$
Rewrite the radicand as a power. 根号内の式を累乗として書き直す。	$\frac{1}{{(\sqrt[5]{2^{5}})}^{2}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{2^{2}}$
	$\frac{1}{4}$

ⓒ

	$4^{- \frac{5}{2}}$
Rewrite using $b^{− p} = \frac{1}{b^{p}} .$ $b^{− p} = \frac{1}{b^{p}}$ を使って書き直す。	$\frac{1}{4^{\frac{5}{2}}}$
Change to radical form. 根号の形に変える。	$\frac{1}{{(\sqrt{4})}^{5}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{2^{5}}$
	$\frac{1}{32}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.112例題 9.112

Simplify: ⓐ

− 25^{\frac{3}{2}}

ⓑ

− 25^{- \frac{3}{2}}

ⓒ

{(−25)}^{\frac{3}{2}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

− 25^{\frac{3}{2}}

　ⓑ

− 25^{- \frac{3}{2}}

　ⓒ

{(−25)}^{\frac{3}{2}}

。

Solution解答

ⓐ

	$− 25^{\frac{3}{2}}$
Rewrite in radical form. 根号の形に書き直す。	$− {(\sqrt{25})}^{3}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$− {(5)}^{3}$
Simplify. 簡単にする。	$−125$

ⓑ

	$− 25^{- \frac{3}{2}}$
Rewrite using $b^{− p} = \frac{1}{b^{p}} .$ $b^{− p} = \frac{1}{b^{p}}$ を使って書き直す。	$− (\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}})$
Rewrite in radical form. 根号の形に書き直す。	$− (\frac{1}{{(\sqrt{25})}^{3}})$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$− (\frac{1}{{(5)}^{3}})$
Simplify. 簡単にする。	$- \frac{1}{125}$

ⓒ

	${(−25)}^{\frac{3}{2}}$
Rewrite in radical form. 根号の形に書き直す。	${(\sqrt{−25})}^{3}$
There is no real number whose square root is $−25 .$ 平方根が $−25$ となる実数はない。	Not a real number. 実数ではない。

Try It (2)確認問題（2題）

Use the Laws of Exponents to Simplify Expressions with Rational Exponents指数法則を使って有理数の指数を含む式を簡単にする

The same laws of exponents that we already used apply to rational exponents, too. We will list the Exponent Properties here to have them for reference as we simplify expressions.

英語のヒント

すでに使ってきた指数法則は、有理数の指数にも適用できる。式を簡単にするときの参照用に、ここに指数の性質を示す。

When we multiply the same base, we add the exponents.

英語のヒント

同じ底の累乗を掛けるときは、指数を足す。

Example 9.113例題 9.113

Simplify: ⓐ

2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{2}}

ⓑ

x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}}

ⓒ

z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{5}{4}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{2}}

　ⓑ

x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}}

　ⓒ

z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{5}{4}}

。

Solution解答

ⓐ

	$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{2}}$
The bases are the same, so we add the exponents. 底が同じなので、指数を足す。	$2^{\frac{1}{2} + \frac{5}{2}}$
Add the fractions. 分数のたし算をする。	$2^{\frac{6}{2}}$
Simplify the exponent. 指数の計算をする。	$2^{3}$
Simplify. 簡単にする。	$8$

ⓑ

	$x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}}$
The bases are the same, so we add the exponents. 底が同じなので、指数を足す。	$x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}$
Add the fractions. 分数のたし算をする。	$x^{\frac{6}{3}}$
Simplify. 簡単にする。	$x^{2}$

ⓒ

	$z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{5}{4}}$
The bases are the same, so we add the exponents. 底が同じなので、指数を足す。	$z^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}$
Add the fractions. 分数のたし算をする。	$z^{\frac{8}{4}}$
Simplify. 簡単にする。	$z^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

We will use the Power Property in the next example.

英語のヒント

次の例では累乗の累乗の法則を使う。

Example 9.114例題 9.114

Simplify: ⓐ

{(x^{4})}^{\frac{1}{2}}

ⓑ

{(y^{6})}^{\frac{1}{3}}

ⓒ

{(z^{9})}^{\frac{2}{3}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(x^{4})}^{\frac{1}{2}}

　ⓑ

{(y^{6})}^{\frac{1}{3}}

　ⓒ

{(z^{9})}^{\frac{2}{3}}

。

Solution解答

ⓐ

	${(x^{4})}^{\frac{1}{2}}$
To raise a power to a power, we multiply the exponents. 累乗をさらに累乗するには、指数どうしを掛ける。	$x^{4 \cdot \frac{1}{2}}$
Simplify. 簡単にする。	$x^{2}$

ⓑ

	${(y^{6})}^{\frac{1}{3}}$
To raise a power to a power, we multiply the exponents. 累乗をさらに累乗するには、指数どうしを掛ける。	$y^{6 \cdot \frac{1}{3}}$
Simplify. 簡単にする。	$y^{2}$

ⓒ

	${(z^{9})}^{\frac{2}{3}}$
To raise a power to a power, we multiply the exponents. 累乗をさらに累乗するには、指数どうしを掛ける。	$z^{9 \cdot \frac{2}{3}}$
Simplify. 簡単にする。	$z^{6}$

Try It (2)確認問題（2題）

The Quotient Property tells us that when we divide with the same base, we subtract the exponents.

英語のヒント

商の性質によれば、同じ底の累乗を割るときは指数を引く。

Example 9.115例題 9.115

Simplify: ⓐ

\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}

ⓑ

\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}

ⓒ

\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}

　ⓑ

\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}

　ⓒ

\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}

。

Solution解答

ⓐ

	$\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$
To divide with the same base, we subtract the exponents. 同じ底の累乗を割るには、指数を引く。	$x^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}$
Simplify. 簡単にする。	$x$

ⓑ

	$\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}$
To divide with the same base, we subtract the exponents. 同じ底の累乗を割るには、指数を引く。	$y^{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}}$
Simplify. 簡単にする。	$y^{\frac{1}{2}}$

ⓒ

	$\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}$
To divide with the same base, we subtract the exponents. 同じ底の累乗を割るには、指数を引く。	$z^{\frac{2}{3} - \frac{5}{3}}$
Rewrite without a negative exponent. 負の指数を使わずに書き直す。	$\frac{1}{z}$

Try It (2)確認問題（2題）

Sometimes we need to use more than one property. In the next two examples, we will use both the Product to a Power Property and then the Power Property.

英語のヒント

複数の性質を使う必要がある場合もある。次の二つの例では、積の累乗の法則を使い、その後で累乗の累乗の法則を使う。

Example 9.116例題 9.116

Simplify: ⓐ

{(27 u^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}}

ⓑ

{(8 v^{\frac{1}{4}})}^{\frac{2}{3}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(27 u^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}}

　ⓑ

{(8 v^{\frac{1}{4}})}^{\frac{2}{3}}

。

Solution解答

ⓐ

	${(27 u^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}}$
First we use the Product to a Power Property. まず、積の累乗の性質を使う。	${(27)}^{\frac{2}{3}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}}$
Rewrite 27 as a power of 3. 27を3の累乗に書き直す。	${(3^{3})}^{\frac{2}{3}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}}$
To raise a power to a power, we multiply the exponents. 累乗をさらに累乗するには、指数どうしを掛ける。	$(3^{2}) (u^{\frac{1}{3}})$
Simplify. 簡単にする。	$9 u^{\frac{1}{3}}$

ⓑ

	${(8 v^{\frac{1}{4}})}^{\frac{2}{3}}$
First we use the Product to a Power Property. まず、積の累乗の性質を使う。	${(8)}^{\frac{2}{3}} {(v^{\frac{1}{4}})}^{\frac{2}{3}}$
Rewrite 8 as a power of 2. 8を2の累乗に書き直す。	${(2^{3})}^{\frac{2}{3}} {(v^{\frac{1}{4}})}^{\frac{2}{3}}$
To raise a power to a power, we multiply the exponents. 累乗をさらに累乗するには、指数どうしを掛ける。	$(2^{2}) (v^{\frac{1}{6}})$
Simplify. 簡単にする。	$4 v^{\frac{1}{6}}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.117例題 9.117

Simplify: ⓐ

{(m^{3} n^{9})}^{\frac{1}{3}}

ⓑ

{(p^{4} q^{8})}^{\frac{1}{4}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(m^{3} n^{9})}^{\frac{1}{3}}

　ⓑ

{(p^{4} q^{8})}^{\frac{1}{4}}

。

Solution解答

ⓐ

	${(m^{3} n^{9})}^{\frac{1}{3}}$
First we use the Product to a Power Property. まず、積の累乗の性質を使う。	${(m^{3})}^{\frac{1}{3}} {(n^{9})}^{\frac{1}{3}}$
To raise a power to a power, we multiply the exponents. 累乗をさらに累乗するには、指数どうしを掛ける。	$m n^{3}$

ⓑ

	${(p^{4} q^{8})}^{\frac{1}{4}}$
First we use the Product to a Power Property. まず、積の累乗の性質を使う。	${(p^{4})}^{\frac{1}{4}} {(q^{8})}^{\frac{1}{4}}$
To raise a power to a power, we multiply the exponents. 累乗をさらに累乗するには、指数どうしを掛ける。	$p q^{2}$

We will use both the Product and Quotient Properties in the next example.

英語のヒント

次の例では、積の性質と商の性質の両方を使う。

Example 9.118例題 9.118

Simplify: ⓐ

\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{- \frac{1}{4}}}{x^{- \frac{6}{4}}}

ⓑ

\frac{y^{\frac{4}{3}} \cdot y}{y^{- \frac{2}{3}}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{- \frac{1}{4}}}{x^{- \frac{6}{4}}}

　ⓑ

\frac{y^{\frac{4}{3}} \cdot y}{y^{- \frac{2}{3}}}

。

Solution解答

ⓐ

	$\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{- \frac{1}{4}}}{x^{- \frac{6}{4}}}$
Use the Product Property in the numerator, add the exponents. 分子で積の性質を使い、指数を足す。	$\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{- \frac{6}{4}}}$
Use the Quotient Property, subtract the exponents. 商の性質を使い、指数を引く。	$x^{\frac{8}{4}}$
Simplify. 簡単にする。	$x^{2}$

ⓑ

	$\frac{y^{\frac{4}{3}} \cdot y}{y^{- \frac{2}{3}}}$
Use the Product Property in the numerator, add the exponents. 分子で積の性質を使い、指数を足す。	$\frac{y^{\frac{7}{3}}}{y^{- \frac{2}{3}}}$
Use the Quotient Property, subtract the exponents. 商の性質を使い、指数を引く。	$y^{\frac{9}{3}}$
Simplify. 簡単にする。	$y^{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

第9章平方根と根号

Simplify Expressions with amnamnを含む式を簡単にする

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Use the Laws of Exponents to Simplify Expressions with Rational Exponents指数法則を使って有理数の指数を含む式を簡単にする

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Simplify Expressions with $a^{\frac{m}{n}}$ $a^{\frac{m}{n}}$ を含む式を簡単にする