第9章平方根と根号

Use Square Roots in Applications応用問題で平方根を使う

As you progress through your college courses, you’ll encounter formulas that include square roots in many disciplines. We have already used formulas to solve geometry applications.

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大学の授業を進めていくと、多くの分野で平方根を含む公式に出会う。すでに公式を使って図形の応用問題を解いてきた。

We will use our Problem Solving Strategy for Geometry Applications, with slight modifications, to give us a plan for solving applications with formulas from any discipline.

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図形の応用問題を解く方針を少し調整し、どの分野の公式を使う応用問題にも使える解法の計画とする。

Solve applications with formulas.公式を使って応用問題を解く。

Read the problem and make sure all the words and ideas are understood. When appropriate, draw a figure and label it with the given information.
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問題を読み、すべての語と考え方を確実に理解する。適切な場合は図を描き、与えられた情報を書き込む。
Identify what we are looking for.
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何を求めるのかを明確にする。
Name what we are looking for by choosing a variable to represent it.
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求めるものを表す変数を選び、文字で表す。
Translate into an equation by writing the appropriate formula or model for the situation. Substitute in the given information.
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状況に適した公式やモデルを書き、方程式に表す。与えられた情報を代入する。
Solve the equation using good algebra techniques.
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適切な代数の手順を使って方程式を解く。
Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
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答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
Answer the question with a complete sentence.
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完全な文で問いに答える。

We used the formula

A = L \cdot W

to find the area of a rectangle with length L and width W. A square is a rectangle in which the length and width are equal. If we let s be the length of a side of a square, the area of the square is

s^{2}

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長さL、幅Wの長方形の面積を求めるため、公式

A = L \cdot W

を使った。正方形は長さと幅が等しい長方形である。正方形の1辺の長さをsとすれば、面積は

s^{2}

となる。

The formula

A = s^{2}

gives us the area of a square if we know the length of a side. What if we want to find the length of a side for a given area? Then we need to solve the equation for s.

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公式

A = s^{2}

を使うと、1辺の長さが分かっている場合に正方形の面積を求められる。与えられた面積から1辺の長さを求めたい場合はどうするか。方程式をsについて解く必要がある。

\begin{matrix} A = s^{2} \\ Take the square root of both sides. & \sqrt{A} = \sqrt{s^{2}} \\ Simplify. & \sqrt{A} = s \end{matrix}

\begin{matrix} A = s^{2} \\ 両辺の平方根を取る。 & \sqrt{A} = \sqrt{s^{2}} \\ 簡単にする。 & \sqrt{A} = s \end{matrix}

We can use the formula

s = \sqrt{A}

to find the length of a side of a square for a given area.

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公式

s = \sqrt{A}

を使い、与えられた面積から正方形の1辺の長さを求められる。

We will show an example of this in the next example.

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次の例で、この例を示す。

Example 9.85例題 9.85

Mike and Lychelle want to make a square patio. They have enough concrete to pave an area of 200 square feet. Use the formula

s = \sqrt{A}

to find the length of each side of the patio. Round your answer to the nearest tenth of a foot.

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マイクとリシェルは正方形のパティオを作りたい。200平方フィートを舗装できるだけのコンクリートを持っている。公式

s = \sqrt{A}

を使い、パティオの各辺の長さを求めよ。フィート単位で小数第1位までに丸めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw a figure and label it with the given information. 手順1。問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
	A = 200 square feet A = 200平方フィート
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	The length of a side of the square patio. 正方形のパティオの1辺の長さ。
Step 3. Name what you are looking for by choosing a variable to represent it. 手順3。求めるものを表す変数を選んで名前を付ける。	Let s = the length of a side. s = 1辺の長さとする。
Step 4. Translate into an equation by writing the appropriate formula or model for the situation. Substitute the given information. 手順4。状況に適した公式やモデルを書いて方程式に直す。与えられた情報を代入する。
Step 5. Solve the equation using good algebra techniques. Round to one decimal place. 手順5。適切な代数の方法で方程式を解く。小数第1位までに丸める。
Step 6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense. 手順6。問題に照らして答えを確かめ、妥当であることを確認する。

This is close enough because we rounded the square root. Is a patio with side 14.1 feet reasonable? Yes. 平方根を丸めたので、これは十分に近い。1辺14.1フィートのパティオは妥当か。妥当である。
Step 7. Answer the question with a complete sentence. 手順7。完全な文で問いに答える。	Each side of the patio should be 14.1 feet. パティオの各辺は14.1フィートにすればよい。

Try It (2)確認問題（2題）

Another application of square roots has to do with gravity.

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平方根のもう一つの応用は重力に関係する。

For example, if an object is dropped from a height of 64 feet, we can find the time it takes to reach the ground by substituting

h = 64

into the formula.

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例えば、高さ64フィートから物体を落とした場合、公式に

h = 64

を代入して地面に達するまでの時間を求められる。



Take the square root of 64. 64の平方根を求める。
Simplify the fraction. 分数を約分する。

It would take 2 seconds for an object dropped from a height of 64 feet to reach the ground.

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高さ64フィートから落とした物体が地面に達するには2秒かかる。

Example 9.86例題 9.86

Christy dropped her sunglasses from a bridge 400 feet above a river. Use the formula

t = \frac{\sqrt{h}}{4}

to find how many seconds it took for the sunglasses to reach the river.

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クリスティーは川の400フィート上にある橋からサングラスを落とした。公式

t = \frac{\sqrt{h}}{4}

を使い、サングラスが川に達するまでの秒数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	The time it takes for the sunglasses to reach the river. サングラスが川に達するまでの時間。
Step 3. Name what you are looking for by choosing a variable to represent it. 手順3。求めるものを表す変数を選んで名前を付ける。	Let t = time. t＝時間とする。
Step 4. Translate into an equation by writing the appropriate formula or model for the situation. Substitute in the given information. 手順4。状況に適した公式やモデルを書いて方程式に直す。与えられた情報を代入する。
Step 5. Solve the equation using good algebra techniques. 手順5。適切な代数の方法で方程式を解く。
Step 6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense. 手順6。問題に照らして答えを確かめ、妥当であることを確認する。
$5 = 5 ✓$
Does 5 seconds seem reasonable? Yes. 5秒は妥当と思われるか。妥当である。
Step 7. Answer the question with a complete sentence. 手順7。完全な文で問いに答える。	It will take 5 seconds for the sunglasses to hit the water. サングラスが水面に達するまで5秒かかる。

Try It (2)確認問題（2題）

Police officers investigating car accidents measure the length of the skid marks on the pavement. Then they use square roots to determine the speed, in miles per hour, a car was going before applying the brakes.

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交通事故を調べる警察官は、舗装面に残ったスリップ痕の長さを測る。その後、平方根を使い、ブレーキをかける前の車の速さを時速マイルで求める。

Example 9.87例題 9.87

After a car accident, the skid marks for one car measured 190 feet. Use the formula

s = \sqrt{24 d}

to find the speed of the car before the brakes were applied. Round your answer to the nearest tenth.

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交通事故の後、ある車のスリップ痕は190フィートだった。公式

s = \sqrt{24 d}

を使い、ブレーキをかける前の速さを求めよ。小数第1位までに丸めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明確にする。	The speed of a car. 車の速さ。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。	Let s = the speed. s = 速さとする。
Step 4. Translate into an equation by writing the appropriate formula. 手順4。適切な公式を書いて方程式に直す。
Substitute the given information. 与えられた値を代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。

Round to 1 decimal place. 小数第1位までに丸める。
Step 6. Check the answer in the problem. $67.5 \overset{?}{\approx} \sqrt{24 (190)}$ $67.5 \overset{?}{\approx} \sqrt{4560}$ $67.5 \overset{?}{\approx} 67.5277...$ 手順6。問題に照らして答えを確かめる。 $67.5 \overset{?}{\approx} \sqrt{24 (190)}$ $67.5 \overset{?}{\approx} \sqrt{4560}$ $67.5 \overset{?}{\approx} 67.5277$
Is 67.5 mph a reasonable speed? 時速67.5マイルは妥当な速さか。	Yes. はい。
Step 7. Answer the question with a complete sentence. 手順7．完全な文で問いに答える。	The speed of the car was approximately 67.5 miles per hour. 車の速度は時速約67.5マイルだった。

Try It (2)確認問題（2題）