第9章平方根と根号

9.5 Divide Square Roots9.5　平方根の割り算

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Divide square roots
英語のヒント
平方根を割る
Rationalize a one-term denominator
英語のヒント
1項の分母を有理化する
Rationalize a two-term denominator
英語のヒント
2項の分母を有理化する

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Divide Square Roots平方根の割り算

We know that we simplify fractions by removing factors common to the numerator and the denominator. When we have a fraction with a square root in the numerator, we first simplify the square root. Then we can look for common factors.

英語のヒント

分数は分子と分母の共通因子を取り除いて簡単にする。分子に平方根を含む分数では、まず平方根を簡単にする。その後で共通因子を探せる。

この図には2列ある。1列目は「共通因子」と名付けられ、その下に3√2/(3×5)があり、二つの3が赤く示されている。2列目は「共通因子なし」と名付けられ、2√3/(3×5)がある。

Example 9.60例題 9.60

Simplify:

\frac{\sqrt{54}}{6}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{\sqrt{54}}{6}

。

Solution解答

	$\frac{\sqrt{54}}{6}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$\frac{\sqrt{9} \cdot \sqrt{6}}{6}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{3 \sqrt{6}}{6}$
Remove the common factors. 共通の因数を取り除く。	$\frac{3 \sqrt{6}}{3 \cdot 2}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.61例題 9.61

Simplify:

\frac{6 - \sqrt{24}}{12}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{6 - \sqrt{24}}{12}

。

Solution解答

	$\frac{6 - \sqrt{24}}{12}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$\frac{6 - \sqrt{4} \cdot \sqrt{6}}{12}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{6 - 2 \sqrt{6}}{12}$
Factor the common factor from the numerator. 分子から共通因子をくくり出す。	$\frac{2 (3 - \sqrt{6})}{2 \cdot 6}$
Remove the common factors. 共通の因数を取り除く。	$\frac{2 (3 - \sqrt{6})}{2 \cdot 6}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{3 - \sqrt{6}}{6}$

Try It (2)確認問題（2題）

We have used the Quotient Property of Square Roots to simplify square roots of fractions. The Quotient Property of Square Roots says

英語のヒント

これまで、平方根の商の性質を使って分数の平方根を簡単にした。平方根の商の性質は次のとおりである。

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, b \neq 0

Sometimes we will need to use the Quotient Property of Square Roots ‘in reverse’ to simplify a fraction with square roots.

英語のヒント

平方根を含む分数を簡単にするため、平方根の商の性質を「逆向き」に使う必要があることもある。

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}, b \neq 0

We will rewrite the Quotient Property of Square Roots so we see both ways together. Remember: we assume all variables are greater than or equal to zero so that their square roots are real numbers.

英語のヒント

両方向を一緒に見られるよう、平方根の商の性質を書き直す。平方根が実数になるよう、すべての変数を0以上と仮定していることを思い出そう。

We will use the Quotient Property of Square Roots ‘in reverse’ when the fraction we start with is the quotient of two square roots, and neither radicand is a perfect square. When we write the fraction in a single square root, we may find common factors in the numerator and denominator.

英語のヒント

元の分数が二つの平方根の商であり、どちらの被開平数も完全平方でない場合は、平方根の商の性質を「逆向き」に使う。分数を一つの平方根の中に書くと、分子と分母に共通因子が見つかることがある。

Example 9.62例題 9.62

Simplify:

\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}

。

Solution解答

	$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}$
Neither radicand is a perfect square, so rewrite using the quotient property of square roots. どちらの被開平数も完全平方ではないので、平方根の商の性質を使って書き直す。	$\sqrt{\frac{27}{75}}$
Remove common factors in the numerator and denominator. 分子と分母の共通因子を取り除く。	$\sqrt{\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 25}}$
Simplify. 簡単にする。	$\sqrt{\frac{9}{25}}$
	$\frac{3}{5}$

Try It (2)確認問題（2題）

We will use the Quotient Property for Exponents,

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}

, when we have variables with exponents in the radicands.

英語のヒント

被開平数に指数を持つ変数がある場合、指数の商の法則

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}

を使う。

Example 9.63例題 9.63

Simplify:

\frac{\sqrt{6 y^{5}}}{\sqrt{2 y}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{\sqrt{6 y^{5}}}{\sqrt{2 y}}

。

Solution解答

	$\frac{\sqrt{6 y^{5}}}{\sqrt{2 y}}$
Neither radicand is a perfect square, so rewrite using the quotient property of square roots. どちらの被開平数も完全平方ではないので、平方根の商の性質を使って書き直す。	$\sqrt{\frac{6 y^{5}}{2 y}}$
Remove common factors in the numerator and denominator. 分子と分母の共通因子を取り除く。	$\sqrt{\frac{2 \cdot 3 \cdot y^{4} \cdot y}{2 \cdot y}}$
Simplify. 簡単にする。	$\sqrt{3 y^{4}}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$y^{2} \sqrt{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.64例題 9.64

Simplify:

\frac{\sqrt{72 x^{3}}}{\sqrt{162 x}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{\sqrt{72 x^{3}}}{\sqrt{162 x}}

。

Solution解答

	$\frac{\sqrt{72 x^{3}}}{\sqrt{162 x}}$
Rewrite using the quotient property of square roots. 平方根の商の性質を使って書き直す。	$\sqrt{\frac{72 x^{3}}{162 x}}$
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。	$\sqrt{\frac{18 \cdot 4 \cdot x^{2} \cdot x}{18 \cdot 9 \cdot x}}$
Simplify. 簡単にする。	$\sqrt{\frac{4 x^{2}}{9}}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$\frac{2 x}{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.65例題 9.65

Simplify:

\frac{\sqrt{147 a b^{8}}}{\sqrt{3 a^{3} b^{4}}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{\sqrt{147 a b^{8}}}{\sqrt{3 a^{3} b^{4}}}

。

Solution解答

	$\frac{\sqrt{147 a b^{8}}}{\sqrt{3 a^{3} b^{4}}}$
Rewrite using the quotient property of square roots. 平方根の商の性質を使って書き直す。	$\sqrt{\frac{147 a b^{8}}{3 a^{3} b^{4}}}$
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。	$\sqrt{\frac{49 b^{4}}{a^{2}}}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$\frac{7 b^{2}}{a}$

Try It (2)確認問題（2題）

Rationalize a One Term Denominator1項の分母を有理化する

Before the calculator became a tool of everyday life, tables of square roots were used to find approximate values of square roots. Figure 9.3 shows a portion of a table of squares and square roots. Square roots are approximated to five decimal places in this table.

英語のヒント

電卓が日常の道具になる前は、平方根の表を使って近似値を求めていた。図9.3は平方と平方根の表の一部である。この表では、平方根を小数第5位までの近似値で示している。

この表は3列11行である。列の見出しは「n」「nの平方」「nの平方根」である。「n」の列には200、201、202、203、204、205、206、207、208、209、210が並ぶ。「nの平方」の列には40,000、40,401、40,804、41,209、41,616、42,025、42,436、42,849、43,264、43,681、44,100が並ぶ。「nの平方根」の列には14.14214、14.17745、14.21267、14.24781、14.28286、14.31782、14.35270、14.38749、14.42221、14.45683、14.49138が並ぶ。 — Figure 9.3図 9.3
A table of square roots was used to find approximate values of square roots before there were calculators.
英語のヒント
電卓がなかったころは、平方根の表を使って平方根の近似値を求めた。

If someone needed to approximate a fraction with a square root in the denominator, it meant doing long division with a five decimal-place divisor. This was a very cumbersome process.

英語のヒント

分母に平方根を含む分数の近似値を求めるには、小数第5位まである数を除数として筆算の割り算をする必要があった。これはとても煩雑な作業だった。

For this reason, a process called rationalizing the denominator was developed. A fraction with a radical in the denominator is converted to an equivalent fraction whose denominator is an integer. This process is still used today and is useful in other areas of mathematics, too.

英語のヒント

そのため、分母の有理化という方法が考案された。分母に根号を含む分数を、分母が整数の同値な分数に変換する。この方法は現在も使われ、数学のほかの分野でも役立つ。

Square roots of numbers that are not perfect squares are irrational numbers. When we rationalize the denominator, we write an equivalent fraction with a rational number in the denominator.

英語のヒント

平方数でない数の平方根は無理数である。分母を有理化するときは、分母が有理数の同値な分数を書く。

Let’s look at a numerical example.

英語のヒント

数値の例を見よう。

\begin{matrix} Suppose we need an approximate value for the fraction. & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ A five decimal place approximation to \sqrt{2} is 1.41421 . & \frac{1}{1.41421} \\ Without a calculator, would you want to do this division? & 1.41421 1.0 \end{matrix}

\begin{matrix} この分数の近似値が必要だとする。 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 小数第5位までの近似値を求めると、 \sqrt{2} は 1.41421 . & \frac{1}{1.41421} \\ 電卓なしでこの割り算をしたいだろうか。 & 1.41421 1.0 \end{matrix}

But we can find a fraction equivalent to

\frac{1}{\sqrt{2}}

by multiplying the numerator and denominator by

\sqrt{2}

英語のヒント

しかし、分子と分母に

\sqrt{2}

を掛ければ、

\frac{1}{\sqrt{2}}

と同値な分数を求められる。

この図には三つの分数がある。最初は1/√2、2番目は(1×√2)/(√2×√2)、3番目は√2/2である。

Now if we need an approximate value, we divide

2 1.41421

. This is much easier.

英語のヒント

これで近似値が必要なら、

2 1.41421

の割り算をすればよい。こちらのほうがはるかに簡単である。

Even though we have calculators available nearly everywhere, a fraction with a radical in the denominator still must be rationalized. It is not considered simplified if the denominator contains a square root.

英語のヒント

ほとんどどこでも電卓を使える現在でも、分母に根号を含む分数は有理化しなければならない。分母に平方根が残っていれば、簡単な形とはみなされない。

Similarly, a square root is not considered simplified if the radicand contains a fraction.

英語のヒント

同様に、被開平数に分数が含まれていれば、平方根は簡単な形とはみなされない。

To rationalize a denominator, we use the property that

{(\sqrt{a})}^{2} = a

. If we square an irrational square root, we get a rational number.

英語のヒント

分母を有理化するには、

{(\sqrt{a})}^{2} = a

という性質を使う。無理数である平方根を平方すると、有理数を得る。

We will use this property to rationalize the denominator in the next example.

英語のヒント

次の例では、この性質を使って分母を有理化する。

Example 9.66例題 9.66

Simplify:

\frac{4}{\sqrt{3}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{4}{\sqrt{3}}

。

Solution解答

To rationalize a denominator, we can multiply a square root by itself. To keep the fraction equivalent, we multiply both the numerator and denominator by the same factor.

英語のヒント

分母を有理化するには、平方根にそれ自身を掛ければよい。分数の値を同じに保つため、分子と分母の両方に同じ因子を掛ける。

	$\frac{4}{\sqrt{3}}$
Multiply both the numerator and denominator by $\sqrt{3} .$ 分子と分母の両方に $\sqrt{3}$ を掛ける。	$\frac{4 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.67例題 9.67

Simplify:

- \frac{8}{3 \sqrt{6}}

英語のヒント

簡単にせよ：

- \frac{8}{3 \sqrt{6}}

。

Solution解答

To remove the square root from the denominator, we multiply it by itself. To keep the fractions equivalent, we multiply both the numerator and denominator by

\sqrt{6}

英語のヒント

分母から平方根を取り除くため、それ自身を掛ける。分数の値を同じに保つため、分子と分母の両方に

\sqrt{6}

を掛ける。


Multiply both the numerator and the denominator by $\sqrt{6}$ . 分子と分母の両方に $\sqrt{6}$ を掛ける。
Simplify. 簡単にする。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Always simplify the radical in the denominator first, before you rationalize it. This way the numbers stay smaller and easier to work with.

英語のヒント

有理化する前に、必ず分母の根号の式を先に簡単にする。こうすると数が小さいままとなり、扱いやすくなる。

Example 9.68例題 9.68

Simplify:

\sqrt{\frac{5}{12}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{\frac{5}{12}}

。

Solution解答


The fraction is not a perfect square, so rewrite using the Quotient Property. 分数が完全平方でないので、商の性質を使って書き直す。
Simplify the denominator 分母を簡単にする
Rationalize the denominator. 分母を有理化する。
Simplify. 簡単にする。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.69例題 9.69

Simplify:

\sqrt{\frac{11}{28}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{\frac{11}{28}}

。

Solution解答


Rewrite using the Quotient Property. 商の性質を使って書き直す。
Simplify the denominator. 分母を簡単にする。
Rationalize the denominator. 分母を有理化する。
Simplify. 簡単にする。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

第9章平方根と根号

9.5 Divide Square Roots9.5 平方根の割り算

Learning Objectives学習目標

Divide Square Roots平方根の割り算

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Rationalize a One Term Denominator1項の分母を有理化する

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

9.5 Divide Square Roots9.5　平方根の割り算