第9章平方根と根号

Higher Roots高次の根

Exercises 721–726練習問題 721–726

Simplify Expressions with Higher Roots

英語のヒント

高次の根を含む式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 721問題 721

ⓐ

\sqrt[6]{64}

ⓑ

\sqrt[3]{64}

Solution解き方

ⓐ 2 ⓑ 4

Exercise 722問題 722

ⓐ

\sqrt[3]{−27}

ⓑ

\sqrt[4]{−64}

Exercise 723問題 723

ⓐ

\sqrt[9]{d^{9}}

ⓑ

\sqrt[8]{v^{8}}

Solution解き方

ⓐ

d

ⓑ

| v |

Exercise 724問題 724

ⓐ

\sqrt[5]{a^{10}}

ⓑ

\sqrt[3]{b^{27}}

Exercise 725問題 725

ⓐ

\sqrt[4]{16 x^{8}}

ⓑ

\sqrt[6]{64 y^{12}}

Solution解き方

ⓐ

2 x^{2}

ⓑ

2 y^{2}

Exercise 726問題 726

ⓐ

\sqrt[7]{128 r^{14}}

ⓑ

\sqrt[4]{81 s^{24}}

Exercises 727–731練習問題 727–731

Use the Product Property to Simplify Expressions with Higher Roots

英語のヒント

積の性質を使って高次の根を含む式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 727問題 727

ⓐ

\sqrt[9]{d^{9}}

ⓑ

Solution解き方

ⓐ

d

ⓑ

m \sqrt[11]{m^{6}}

Exercise 728問題 728

ⓐ

\sqrt[3]{54}

ⓑ

\sqrt[4]{128}

Exercise 729問題 729

ⓐ

\sqrt[5]{64 c^{8}}

ⓑ

\sqrt[4]{48 d^{7}}

Solution解き方

ⓐ

2 c \sqrt[5]{2 c^{3}}

ⓑ

2 | d | \sqrt[4]{3 d^{3}}

Exercise 730問題 730

ⓐ

\sqrt[3]{343 q^{7}}

ⓑ

\sqrt[6]{192 r^{9}}

Exercise 731問題 731

ⓐ

\sqrt[3]{−500}

ⓑ

\sqrt[4]{−16}

Solution解き方

ⓐ

−5 \sqrt[3]{4}

ⓑ not a real number

英語のヒント

ⓐ

−5 \sqrt[3]{4}

ⓑ 実数ではない

Exercises 732–736練習問題 732–736

Use the Quotient Property to Simplify Expressions with Higher Roots

英語のヒント

商の性質を使って高次の根を含む式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 732問題 732

\sqrt[5]{\frac{r^{10}}{r^{5}}}

Exercise 733問題 733

\sqrt[3]{\frac{w^{12}}{w^{2}}}

Solution解き方

w^{3} \sqrt[3]{w}

Exercise 734問題 734

\sqrt[4]{\frac{64 y^{8}}{4 y^{5}}}

Exercise 735問題 735

\sqrt[3]{\frac{54 z^{9}}{2 z^{3}}}

Solution解き方

3 z^{2}

Exercise 736問題 736

\sqrt[6]{\frac{64 a^{7}}{b^{2}}}

Exercises 737–741練習問題 737–741

Add and Subtract Higher Roots

英語のヒント

高次の根を足す、引く

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 737問題 737

4 \sqrt[5]{20} - 2 \sqrt[5]{20}

Solution解き方

2 \sqrt[5]{20}

Exercise 738問題 738

4 \sqrt[3]{18} + 3 \sqrt[3]{18}

Exercise 739問題 739

\sqrt[4]{1250} - \sqrt[4]{162}

Solution解き方

2 \sqrt[4]{2}

Exercise 740問題 740

\sqrt[3]{640 c^{5}} - \sqrt[3]{−80 c^{3}}

Exercise 741問題 741

\sqrt[5]{96 t^{8}} + \sqrt[5]{486 t^{4}}

Solution解き方

2 t \sqrt[5]{3 t^{3}} + 3 \sqrt[5]{2 t^{4}}

Rational Exponents有理数の指数

Exercises 742–743練習問題 742–743

Simplify Expressions with $a^{\frac{1}{n}}$

英語のヒント

a^{\frac{1}{n}}

を含む式を簡単にする

In the following exercises, write as a radical expression.

英語のヒント

次の各問で、根号を使った式で書け。

Exercise 742問題 742

r^{\frac{1}{8}}

Exercise 743問題 743

s^{\frac{1}{10}}

Solution解き方

Exercises 744–747練習問題 744–747

In the following exercises, write with a rational exponent.

英語のヒント

以下の問題では、有理数の指数を使って表せ。

Exercise 744問題 744

\sqrt[5]{u}

Exercise 745問題 745

\sqrt[6]{v}

Solution解き方

v^{\frac{1}{6}}

Exercise 746問題 746

\sqrt[3]{9 m}

Exercise 747問題 747

\sqrt[6]{10 z}

Solution解き方

{(10 z)}^{\frac{1}{6}}

Exercises 748–753練習問題 748–753

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 748問題 748

16^{\frac{1}{4}}

Exercise 749問題 749

32^{\frac{1}{5}}

Solution解き方

Exercise 750問題 750

{(−125)}^{\frac{1}{3}}

Exercise 751問題 751

{(125)}^{- \frac{1}{3}}

Solution解き方

\frac{1}{5}

Exercise 752問題 752

{(−9)}^{\frac{1}{2}}

Exercise 753問題 753

{(36)}^{- \frac{1}{2}}

Solution解き方

\frac{1}{6}

Exercises 754–755練習問題 754–755

Simplify Expressions with $a^{\frac{m}{n}}$

英語のヒント

a^{\frac{m}{n}}

を含む式を簡単にする

In the following exercises, write with a rational exponent.

英語のヒント

以下の問題では、有理数の指数を使って表せ。

Exercise 754問題 754

\sqrt[3]{q^{5}}

Exercise 755問題 755

\sqrt[5]{n^{8}}

Solution解き方

n^{\frac{8}{5}}

Exercises 756–759練習問題 756–759

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 756問題 756

27^{- \frac{2}{3}}

Exercise 757問題 757

64^{\frac{5}{2}}

Solution解き方

32,768

Exercise 758問題 758

36^{\frac{3}{2}}

Exercise 759問題 759

81^{- \frac{5}{2}}

Solution解き方

\frac{1}{59,049}

Exercises 760–765練習問題 760–765

Use the Laws of Exponents to Simplify Expressions with Rational Exponents

英語のヒント

指数法則を使って有理数の指数を含む式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 760問題 760

3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{6}{5}}

Exercise 761問題 761

{(x^{6})}^{\frac{4}{3}}

Solution解き方

x^{8}

Exercise 762問題 762

\frac{z^{\frac{5}{2}}}{z^{\frac{7}{5}}}

Exercise 763問題 763

{(16 s^{\frac{9}{4}})}^{\frac{1}{4}}

Solution解き方

2 s^{\frac{9}{16}}

Exercise 764問題 764

{(m^{8} n^{12})}^{\frac{1}{4}}

Exercise 765問題 765

\frac{z^{\frac{2}{3}} \cdot z^{- \frac{1}{3}}}{z^{- \frac{5}{3}}}

Solution解き方

z^{2}

Practice Test練習テスト

Exercises 766–784練習問題 766–784

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 766問題 766

\sqrt{81 + 144}

Exercise 767問題 767

\sqrt{169 m^{4} n^{2}}

Solution解き方

13 m^{2} | n |

Exercise 768問題 768

\sqrt{36 n^{13}}

Exercise 769問題 769

3 \sqrt{13} + 5 \sqrt{2} + \sqrt{13}

Solution解き方

4 \sqrt{13} + 5 \sqrt{2}

Exercise 770問題 770

5 \sqrt{20} + 2 \sqrt{125}

Exercise 771問題 771

(3 \sqrt{6 y}) (2 \sqrt{50 y^{3}})

Solution解き方

60 y^{2} \sqrt{3}

Exercise 772問題 772

(2 - 5 \sqrt{x}) (3 + \sqrt{x})

Exercise 773問題 773

{(1 - 2 \sqrt{q})}^{2}

Solution解き方

1 - 4 \sqrt{q} + 4 q

Exercise 774問題 774

ⓐ

\sqrt[4]{a^{12}}

ⓑ

\sqrt[3]{b^{21}}

Exercise 775問題 775

ⓐ

\sqrt[4]{81 x^{12}}

ⓑ

\sqrt[6]{64 y^{18}}

Solution解き方

ⓐ

3 | x^{3} |

ⓑ

2 | y^{3} |

Exercise 776問題 776

\sqrt{\frac{64 r^{12}}{25 r^{6}}}

Exercise 777問題 777

\sqrt{\frac{14 y^{3}}{7 y}}

Solution解き方

| y | \sqrt{2}

Exercise 778問題 778

\frac{\sqrt[5]{256 x^{7}}}{\sqrt[5]{4 x^{2}}}

Exercise 779問題 779

\sqrt[4]{512} - 2 \sqrt[4]{32}

Solution解き方

0

Exercise 780問題 780

ⓐ

256^{\frac{1}{4}}

ⓑ

243^{\frac{1}{5}}

Exercise 781問題 781

49^{\frac{3}{2}}

Solution解き方

343

Exercise 782問題 782

25^{- \frac{5}{2}}

Exercise 783問題 783

\frac{w^{\frac{3}{4}}}{w^{\frac{7}{4}}}

Solution解き方

\frac{1}{w}

Exercise 784問題 784

{(27 s^{\frac{3}{5}})}^{\frac{1}{3}}

Exercises 785–786練習問題 785–786

In the following exercises, rationalize the denominator.

英語のヒント

次の各問で、分母を有理化せよ。

Exercise 785問題 785

\frac{3}{2 \sqrt{6}}

Solution解き方

\frac{\sqrt{6}}{4}

Exercise 786問題 786

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x} + \sqrt{5}}

Exercises 787–788練習問題 787–788

In the following exercises, solve.

英語のヒント

次の練習問題では、方程式を解く。

Exercise 787問題 787

3 \sqrt{2 x - 3} - 20 = 7

Solution解き方

Exercise 788問題 788

\sqrt{3 u - 2} = \sqrt{5 u + 1}

Exercises 789練習問題 789

In the following exercise, solve.

英語のヒント

次の問題を解け。

Exercise 789問題 789

A helicopter flying at an altitude of 600 feet dropped a package to a lifeboat. Use the formula

t = \frac{\sqrt{h}}{4}

to find how many seconds it took for the package to reach the hiker. Round your answer to the nearest tenth of a second.

英語のヒント

高度600フィートを飛ぶヘリコプターが救命ボートに荷物を落とした。公式

t = \frac{\sqrt{h}}{4}

を使い、荷物がハイカーに届くまでの秒数を求めよ。秒単位で小数第1位までに丸めよ。

Solution解き方

6.1 seconds

英語のヒント

6.1秒

rational exponents

有理数の指数

If $\sqrt[n]{a}$ is a real number and $n \geq 2$ , $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ .
英語のヒント
$\sqrt[n]{a}$ が実数で $n \geq 2$ なら、 $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ である。
For any positive integers m and n, $a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$ and $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ .
英語のヒント
任意の正の整数m、nについて、 $a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$ および $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ が成り立つ。