第6章多項式

6.4 Special Products6.4　特別な積の公式

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Square a binomial using the Binomial Squares Pattern
英語のヒント
二項式の平方の公式を使って2乗する
Multiply conjugates using the Product of Conjugates Pattern
英語のヒント
共役な二項式の積の公式を使う
Recognize and use the appropriate special product pattern
英語のヒント
適切な積の公式を見分けて使う

Before You Begin (1)準備問題（1題）

Square a Binomial Using the Binomial Squares Pattern二項式の平方の公式を使って2乗する

Mathematicians like to look for patterns that will make their work easier. A good example of this is squaring binomials. While you can always get the product by writing the binomial twice and using the methods of the last section, there is less work to do if you learn to use a pattern.

英語のヒント

数学者は、作業を楽にする規則性を探すことを好む。二項式の2乗は、そのよい例である。二項式を二つ書いて前節の方法を使えば、いつでも積を求められるが、公式を使えるようになると、計算の手間が減る。

Let's start by looking at ${(x + 9)}^{2}$ . まず ${(x + 9)}^{2}$ を見てみよう。
What does this mean? これは何を意味するか。	${(x + 9)}^{2}$
It means to multiply $(x + 9)$ by itself. これは $(x + 9)$ をそれ自身に掛けるという意味である。	$(x + 9) (x + 9)$
Then, using FOIL, we get: FOIL法を使うと、次が得られる。	$x^{2} + 9 x + 9 x + 81$
Combining like terms gives: 同類項をまとめると、次が得られる。	$x^{2} + 18 x + 81$

Here's another one: 別の例も見よう。	${(y - 7)}^{2}$
Multiply $(y - 7)$ by itself. $(y - 7)$ をそれ自身に掛ける。	$(y - 7) (y - 7)$
Using FOIL, we get: FOIL法を使うと、次が得られる。	$y^{2} - 7 y - 7 y + 49$
And combining like terms: 同類項をまとめる。	$y^{2} - 14 y + 49$

And one more: もう一つ見よう。	${(2 x + 3)}^{2}$
Multiply. 掛ける。	$(2 x + 3) (2 x + 3)$
Use FOIL: FOIL法を使う。	$4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$4 x^{2} + 12 x + 9$

Look at these results. Do you see any patterns?

英語のヒント

これらの結果を見てみよう。規則性が見つかるだろうか。

What about the number of terms? In each example we squared a binomial and the result was a trinomial.

英語のヒント

項の数はどうだろうか。どの例でも、二項式を2乗すると三項式になった。

{(a + b)}^{2} =____+____+____

Now look at the first term in each result. Where did it come from?

英語のヒント

次に、各結果の最初の項を見よう。どこから来たのだろうか。

3列の図。第1列は(x＋9)²＝(x＋9)(x＋9)＝x²＋9x＋9x＋81＝x²＋18x＋81。第2列は(y−7)²＝(y−7)(y−7)＝y²−7y−7y＋49＝y²−14y＋49。第3列は(2x＋3)²＝(2x＋3)(2x＋3)＝4x²＋6x＋6x＋9＝4x²＋12x＋9。

The first term is the product of the first terms of each binomial. Since the binomials are identical, it is just the square of the first term!

英語のヒント

最初の項は、各二項式の最初の項どうしの積である。二項式が同じなので、最初の項の2乗になる。

{(a + b)}^{2} = a^{2} +____+____

To get the first term of the product, square the first term.

英語のヒント

積の最初の項を得るには、元の最初の項を2乗する。

Where did the last term come from? Look at the examples and find the pattern.

英語のヒント

最後の項はどこから来たのだろうか。例を見て、規則性を見つけよう。

The last term is the product of the last terms, which is the square of the last term.

英語のヒント

最後の項は、最後の項どうしの積、つまり最後の項の2乗である。

{(a + b)}^{2} =____+____+ b^{2}

To get the last term of the product, square the last term.

英語のヒント

積の最後の項を得るには、元の最後の項を2乗する。

Finally, look at the middle term. Notice it came from adding the “outer” and the “inner” terms—which are both the same! So the middle term is double the product of the two terms of the binomial.

英語のヒント

最後に、中央の項を見よう。「外側」と「内側」の積を足してできており、その二つは同じである。したがって、中央の項は二項式の二つの項の積を2倍したものになる。

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} =____+ 2 a b +____ \\ {(a - b)}^{2} =____- 2 a b +____ \end{matrix}

To get the middle term of the product, multiply the terms and double their product.

英語のヒント

積の中央の項を得るには、二つの項を掛け、その積を2倍する。

Putting it all together:

英語のヒント

すべてをまとめると、次のようになる。

To square a binomial:

英語のヒント

二項式を2乗するには、次のようにする。

square the first term
英語のヒント
最初の項を2乗する。
square the last term
英語のヒント
最後の項を2乗する。
double their product
英語のヒント
二つの項の積を2倍する。

A number example helps verify the pattern.

英語のヒント

具体的な数の例で公式を確かめよう。

	${(10 + 4)}^{2}$
Square the first term. 最初の項を2乗する。	$10^{2} +___+$
Square the last term. 最後の項を2乗する。	$10^{2} +___+ 4^{2}$
Double their product. 二つの項の積を2倍する。	$10^{2} + 2 \cdot 10 \cdot 4 + 4^{2}$
Simplify. 簡単にする。	$100 + 80 + 16$
Simplify. 簡単にする。	$196$

To multiply

{(10 + 4)}^{2}

usually you’d follow the Order of Operations.

英語のヒント

通常、

{(10 + 4)}^{2}

を計算するには、計算の順序に従う。

\begin{matrix} {(10 + 4)}^{2} \\ {(14)}^{2} \\ 196 \end{matrix}

The pattern works!

英語のヒント

公式が成り立っている。

Example 6.47例題 6.47

Multiply:

{(x + 5)}^{2} .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

{(x + 5)}^{2}

Solution解答


Square the first term. 最初の項を2乗する。
Square the last term. 最後の項を2乗する。
Double the product. 積を2倍する。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.48例題 6.48

Multiply:

{(y - 3)}^{2} .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

{(y - 3)}^{2}

Solution解答


Square the first term. 最初の項を2乗する。
Square the last term. 最後の項を2乗する。
Double the product. 積を2倍する。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.49例題 6.49

Multiply:

{(4 x + 6)}^{2} .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

{(4 x + 6)}^{2}

Solution解答


Use the pattern. 公式を使う。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.50例題 6.50

Multiply:

{(2 x - 3 y)}^{2} .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

{(2 x - 3 y)}^{2}

Solution解答


Use the pattern. 公式を使う。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.51例題 6.51

Multiply:

{(4 u^{3} + 1)}^{2} .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

{(4 u^{3} + 1)}^{2}

Solution解答


Use the pattern. 公式を使う。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Multiply Conjugates Using the Product of Conjugates Pattern共役な二項式の積の公式を使う

We just saw a pattern for squaring binomials that we can use to make multiplying some binomials easier. Similarly, there is a pattern for another product of binomials. But before we get to it, we need to introduce some vocabulary.

英語のヒント

二項式の平方の公式を使うと、ある種の二項式の掛け算が楽になることを見た。同様に、別の二項式の積にも公式がある。先に進む前に、そのための用語を導入しよう。

What do you notice about these pairs of binomials?

英語のヒント

これらの二項式の組を見て、何に気付くだろうか。

\begin{matrix} (x - 9) (x + 9) & (y - 8) (y + 8) & (2 x - 5) (2 x + 5) \end{matrix}

Look at the first term of each binomial in each pair.

英語のヒント

それぞれの組の、各二項式の最初の項を見よう。

Notice the first terms are the same in each pair.

英語のヒント

どの組でも、最初の項が同じである。

Look at the last terms of each binomial in each pair.

英語のヒント

それぞれの組の、各二項式の最後の項を見よう。

Notice the last terms are the same in each pair.

英語のヒント

どの組でも、最後の項が同じである。

Notice how each pair has one sum and one difference.

英語のヒント

どの組でも、一方が和、もう一方が差になっていることに注目しよう。

A pair of binomials that each have the same first term and the same last term, but one is a sum and one is a difference has a special name. It is called a conjugate pair and is of the form

(a - b), (a + b)

英語のヒント

最初の項と最後の項がそれぞれ同じで、一方が和、もう一方が差である二項式の組には、特別な名前がある。共役な組といい、

(a - b), (a + b)

の形をしている。

There is a nice pattern for finding the product of conjugates. You could, of course, simply FOIL to get the product, but using the pattern makes your work easier.

英語のヒント

共役な二項式の積には、便利な公式がある。FOIL法で積を求めることもできるが、公式を使うと作業が楽になる。

Let’s look for the pattern by using FOIL to multiply some conjugate pairs.

英語のヒント

FOIL法でいくつかの共役な組を掛け、規則性を探そう。

\begin{matrix} (x - 9) (x + 9) & (y - 8) (y + 8) & (2 x - 5) (2 x + 5) \\ x^{2} + 9 x - 9 x - 81 & y^{2} + 8 y - 8 y - 64 & 4 x^{2} + 10 x - 10 x - 25 \\ x^{2} - 81 & y^{2} - 64 & 4 x^{2} - 25 \end{matrix}

3列の図。第1列は(x＋9)(x−9)＝x²−9x＋9x−81＝x²−81。第2列は(y−8)(y＋8)＝y²＋8y−8y−64＝y²−64。第3列は(2x−5)(2x＋5)＝4x²＋10x−10x−25＝4x²−25。

Each first term is the product of the first terms of the binomials, and since they are identical it is the square of the first term.

英語のヒント

最初の項は、二項式の最初の項どうしの積である。同じ項どうしなので、最初の項の2乗になる。

\begin{matrix} (a + b) (a - b) = a^{2} -____ \\ To get the first term, square the first term . \end{matrix}

\begin{matrix} (a + b) (a - b) = a^{2} -____ \\ 求め方： 先頭の項は、元の先頭の項を2乗する . \end{matrix}

The last term came from multiplying the last terms, the square of the last term.

英語のヒント

最後の項は、最後の項どうしを掛けたもので、最後の項の2乗である。

\begin{matrix} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} \\ To get the last term, square the last term . \end{matrix}

\begin{matrix} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} \\ 求め方： 最後の項は、元の最後の項を2乗する . \end{matrix}

What do you observe about the products?

英語のヒント

積について何に気付くだろうか。

The product of the two binomials is also a binomial! Most of the products resulting from FOIL have been trinomials.

英語のヒント

二つの二項式の積も二項式になっている。これまでFOIL法で求めた積は、多くが三項式だった。

Why is there no middle term? Notice the two middle terms you get from FOIL combine to 0 in every case, the result of one addition and one subtraction.

英語のヒント

中央の項がないのはなぜだろうか。FOIL法で得る中央の二つの項は、どの例でも、足す項と引く項が打ち消し合って0になる。

The product of conjugates is always of the form

a^{2} - b^{2}

. This is called a difference of squares.

英語のヒント

共役な二項式の積は、いつも

a^{2} - b^{2}

の形になる。これを平方の差という。

This leads to the pattern:

英語のヒント

ここから、次の公式が得られる。

Let’s test this pattern with a numerical example.

英語のヒント

具体的な数の例で、この公式を確かめよう。

	$(10 - 2) (10 + 2)$
It is the product of conjudgates, so the result will be the difference of two squares. 共役な二項式の積なので、結果は二つの平方の差になる。	$____-____$
Square the first term. 最初の項を2乗する。	$10^{2} -____$
Square the last term. 最後の項を2乗する。	$10^{2} - 2^{2}$
Simplify. 簡単にする。	$100 - 4$
Simplify. 簡単にする。	$96$
What do you get using the order of operations? 計算の順序に従うと、どのような結果になるか。
	$\begin{matrix} (10 - 2) (10 + 2) \\ (8) (12) \\ 96 \end{matrix}$

Notice, the result is the same!

英語のヒント

結果は同じである。

Example 6.52例題 6.52

Multiply:

(x - 8) (x + 8) .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

(x - 8) (x + 8)

Solution解答

First, recognize this as a product of conjugates. The binomials have the same first terms, and the same last terms, and one binomial is a sum and the other is a difference.

英語のヒント

まず、これが共役な二項式の積であることを見抜く。最初の項と最後の項がそれぞれ同じで、一方が和、もう一方が差である。

It fits the pattern. 公式に当てはまる。
Square the first term, x. 最初の項xを2乗する。
Square the last term, 8. 最後の項8を2乗する。
The product is a difference of squares. 積は平方の差になる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.53例題 6.53

Multiply:

(2 x + 5) (2 x - 5) .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

(2 x + 5) (2 x - 5)

Solution解答

Are the binomials conjugates?

英語のヒント

この二項式どうしは共役だろうか。

It is the product of conjugates. 共役な二項式の積である。
Square the first term, 2x. 最初の項2xを2乗する。
Square the last term, 5. 最後の項5を2乗する。
Simplify. The product is a difference of squares. 簡単にする。積は平方の差になる。

Try It (2)確認問題（2題）

The binomials in the next example may look backwards – the variable is in the second term. But the two binomials are still conjugates, so we use the same pattern to multiply them.

英語のヒント

次の例の二項式は、変数が2番目の項にあるため、順序が逆に見えるかもしれない。それでも二つの二項式は共役なので、同じ公式で掛け算できる。

Example 6.54例題 6.54

Find the product:

(3 + 5 x) (3 - 5 x) .

英語のヒント

積を求めよ。

(3 + 5 x) (3 - 5 x)

Solution解答

It is the product of conjugates. 共役な二項式の積である。
Use the pattern. 公式を使う。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Now we’ll multiply conjugates that have two variables.

英語のヒント

次に、二つの変数を含む共役な二項式を掛ける。

Example 6.55例題 6.55

Find the product:

(5 m - 9 n) (5 m + 9 n) .

英語のヒント

積を求めよ。

(5 m - 9 n) (5 m + 9 n)

Solution解答

This fits the pattern. これは公式に当てはまる。
Use the pattern. 公式を使う。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.56例題 6.56

Find the product:

(c d - 8) (c d + 8) .

英語のヒント

積を求めよ。

(c d - 8) (c d + 8)

Solution解答

This fits the pattern. これは公式に当てはまる。
Use the pattern. 公式を使う。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.57例題 6.57

Find the product:

(6 u^{2} - 11 v^{5}) (6 u^{2} + 11 v^{5}) .

英語のヒント

積を求めよ。

(6 u^{2} - 11 v^{5}) (6 u^{2} + 11 v^{5})

Solution解答

This fits the pattern. これは公式に当てはまる。
Use the pattern. 公式を使う。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

第6章多項式

6.4 Special Products6.4 特別な積の公式

Learning Objectives学習目標

Square a Binomial Using the Binomial Squares Pattern二項式の平方の公式を使って2乗する

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Multiply Conjugates Using the Product of Conjugates Pattern共役な二項式の積の公式を使う

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

6.4 Special Products6.4　特別な積の公式