第3章数学モデル

Solve Number Problems数についての文章題を解く

Now that we have a problem solving strategy, we will use it on several different types of word problems. The first type we will work on is “number problems.” Number problems give some clues about one or more numbers. We use these clues to write an equation. Number problems don’t usually arise on an everyday basis, but they provide a good introduction to practicing the problem solving strategy outlined above.

英語のヒント

問題解決の手順ができたので、それをいくつかの種類の文章題に使う。最初に取り組むのは「数に関する問題」である。数に関する問題では、1つ以上の数についていくつかの手がかりが与えられる。その手がかりを使って方程式を書く。数に関する問題は普通、日常的に現れるわけではないが、先に示した問題解決の手順を練習するよい導入になる。

Example 3.3例題 3.3

The difference of a number and six is 13. Find the number.

英語のヒント

ある数と6の差は13である。その数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Are all the words familiar? 手順1．問題を読む。すべての言葉を知っているか。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	the number 求める数
Step 3. Name. Choose a variable to represent the number. 手順3．名前を付ける。求める数を表す変数を選ぶ。	Let $n =$ the number. $n =$ 求める数、とおく。
Step 4. Translate. Remember to look for clue words like "difference... of... and..." 手順4．数式に表す。「…と…の差」のような手がかりとなる言葉を探すことを忘れない。
Restate the problem as one sentence. 問題を1つの文に書き直す。
Translate into an equation. 方程式で表す。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Simplify. 簡単にする。
Step 6. Check. 手順6．確かめる。
The difference of 19 and 6 is 13. It checks! 19と6の差は13である。確かに成り立つ。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The number is 19. 求める数は19である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.4例題 3.4

The sum of twice a number and seven is 15. Find the number.

英語のヒント

ある数の2倍と7の和は15である。その数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	the number 求める数
Step 3. Name. Choose a variable to represent the number. 手順3．名前を付ける。求める数を表す変数を選ぶ。	Let $n =$ the number. $n =$ 求める数、とおく。
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。
Restate the problem as one sentence. 問題を1つの文に書き直す。
Translate into an equation. 方程式で表す。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Subtract 7 from each side and simplify. 両辺から7を引き、簡単にする。
Divide each side by 2 and simplify. 両辺を2で割り、簡単にする。
Step 6. Check. 手順6．確かめる。
Is the sum of twice 4 and 7 equal to 15? 4の2倍と7の和は15に等しいか。
$\begin{matrix} 2 \cdot 4 + 7 & ≟ & 15 \\ 15 & = & 15 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The number is 4. 求める数は4である。

Did you notice that we left out some of the steps as we solved this equation? If you’re not yet ready to leave out these steps, write down as many as you need.

英語のヒント

この方程式を解くとき、いくつかの手順を省いたことに気付いただろうか。まだ手順を省く準備ができていなければ、必要なだけ書き出そう。

Try It (2)確認問題（2題）

Some number word problems ask us to find two or more numbers. It may be tempting to name them all with different variables, but so far we have only solved equations with one variable. In order to avoid using more than one variable, we will define the numbers in terms of the same variable. Be sure to read the problem carefully to discover how all the numbers relate to each other.

英語のヒント

数に関する文章題には、2つ以上の数を求めるものもある。すべてを異なる変数で表したくなるかもしれないが、これまで解いたのは変数が1つの方程式だけである。複数の変数を使わずに済むよう、同じ変数を使ってそれらの数を定義する。問題を注意深く読み、すべての数が互いにどのように関係しているかを必ず調べよう。

Example 3.5例題 3.5

One number is five more than another. The sum of the numbers is 21. Find the numbers.

英語のヒント

一方の数はもう一方の数より5大きい。2数の和は21である。それらの数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。		We are looking for two numbers. 2つの数を求める。
Step 3. Name. We have two numbers to name and need a name for each. 手順3．文字で表す。表すべき数が2つあり、それぞれを表すものが必要である。
Choose a variable to represent the first number. 1つ目の数を表す変数を選ぶ。		Let $n = 1^{st}$ number. $n = 1^{番目}$ の数、とおく。
What do we know about the second number? 2つ目の数について何がわかっているか。		One number is five more than another. 一方の数はもう一方の数より5大きい。
		$n + 5 = 2^{nd}$ number $n + 5 = 2^{番目}$ の数
Step 4. Translate. Restate the problem as one sentence with all the important information. 手順4．数式に表す。重要な情報をすべて含む1つの文に問題を書き直す。		The sum of the 1^st number and the 2^nd number is 21. 1番目の数と2番目の数の和は21である。
Translate into an equation. 方程式で表す。
Substitute the variable expressions. 変数を使った式を代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract 5 from both sides and simplify. 両辺から5を引いて簡単にする。
Divide by 2 and simplify. 2で割って簡単にする。
Find the second number, too. 2つ目の数も求める。


Step 6. Check. 手順6．確かめる。
Do these numbers check in the problem? これらの数は問題の条件を満たすか。
Is one number 5 more than the other? 一方の数はもう一方の数より5大きいか。	$13 ≟ 8 + 5$
Is thirteen 5 more than 8? Yes. 13は8より5大きいか。大きい。	$13 = 13 ✓$
Is the sum of the two numbers 21? 2数の和は21か。	$8 + 13 ≟ 21$
	$21 = 21 ✓$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The numbers are 8 and 13. 2数は8と13である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.6例題 3.6

The sum of two numbers is negative fourteen. One number is four less than the other. Find the numbers.

英語のヒント

2数の和は−14で、一方はもう一方より4小さい。2数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。		We are looking for two numbers. 2つの数を求める。
Step 3. Name. 手順3．名前を付ける。
Choose a variable. 変数を選ぶ。		Let $n = 1^{st}$ number. $n = 1^{番目}$ の数、とおく。
One number is 4 less than the other. 一方の数はもう一方の数より4小さい。		$n - 4 = 2^{nd}$ number $n - 4 = 2^{番目}$ の数
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。
Write as one sentence. 1つの文で書く。		The sum of the 2 numbers is negative 14. 2数の和は負の14である。
Translate into an equation. 方程式で表す。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Add 4 to each side and simplify. 両辺に4を加え、簡単にする。
Simplify. 簡単にする。




Step 6. Check. 手順6．確かめる。
Is −9 four less than −5? −9は−5より4小さいか。	$−5 - 4 ≟ −9$
	$−9 = −9 ✓$
Is their sum −14? その和は−14か。	$−5 + (−9) ≟ −14$
	$−14 = −14 ✓$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The numbers are −5 and −9. 2数は−5と−9である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.7例題 3.7

One number is ten more than twice another. Their sum is one. Find the numbers.

英語のヒント

一方の数はもう一方の2倍より10大きい。和は1である。2数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。		We are looking for two numbers. 2つの数を求める。
Step 3. Name. 手順3．名前を付ける。
Choose a variable. 変数を選ぶ。		Let $x = 1^{st}$ number. $x = 1^{番目}$ の数、とおく。
One number is 10 more than twice another. 一方の数はもう一方の数の2倍より10大きい。		$2 x + 10 = 2^{nd}$ number $2 x + 10 = 2^{番目}$ の数
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。
Restate as one sentence. 1つの文に書き直す。		Their sum is one. 2数の和は1である。
		The sum of the two numbers is 1. 2数の和は1である。
Translate into an equation. 方程式で表す。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract 10 from each side. 両辺から10を引く。
Divide each side by 3. 両辺を3で割る。




Step 6. Check. 手順6．確かめる。
Is ten more than twice −3 equal to 4? −3の2倍より10大きい数は4に等しいか。	$2 (−3) + 10 ≟ 4$
	$−6 + 10 ≟ 4$
	$4 = 4 ✓$
Is their sum 1? その和は1か。	$−3 + 4 ≟ 1$
	$1 = 1 ✓$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The numbers are −3 and 4. 2数は−3と4である。

Try It (2)確認問題（2題）

Some number problems involve consecutive integers. Consecutive integers are integers that immediately follow each other. Examples of consecutive integers are:

英語のヒント

数に関する問題には、連続した整数を扱うものもある。連続した整数とは、間を空けず順に続く整数である。連続した整数の例には、次のものがある。

\begin{matrix} 1, 2, 3, 4 \\ - 10, −9, −8, −7 \\ 150, 151, 152, 153 \end{matrix}

Notice that each number is one more than the number preceding it. So if we define the first integer as n, the next consecutive integer is

n + 1 .

The one after that is one more than

n + 1,

so it is

n + 1 + 1,

which is

n + 2 .

英語のヒント

それぞれの数は、その直前の数より1大きいことに注目しよう。したがって、最初の整数をnと定義すると、次の連続する整数は

n + 1

となる。その次は

n + 1

より1大きいので

n + 1 + 1

であり、これは

n + 2

である。

\begin{matrix} n & 1^{st} integer \\ n + 1 & 2^{nd} consecutive integer \\ n + 2 & 3^{rd} consecutive integer . . . etc. \end{matrix}

\begin{matrix} n & 1^{番目} の整数 \\ n + 1 & 2^{番目} の連続する整数 \\ n + 2 & 3^{番目} の連続する整数……など \end{matrix}

Example 3.8例題 3.8

The sum of two consecutive integers is 47. Find the numbers.

英語のヒント

連続した2つの整数の和は47である。それらの数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。		two consecutive integers 連続する2つの整数
Step 3. Name each number. 手順3．それぞれの数を文字で表す。		Let $n = 1^{st}$ integer. $n = 1^{番目}$ の整数、とおく。
		$n + 1 =$ next consecutive integer $n + 1 =$ 次の連続する整数
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。
Restate as one sentence. 1つの文に書き直す。		The sum of the integers is 47. 整数の和は47である。
Translate into an equation. 方程式で表す。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract 1 from each side. 両辺から1を引く。
Divide each side by 2. 両辺を2で割る。



Step 6. Check. 手順6．確かめる。
$\begin{matrix} 23 + 24 & ≟ & 47 \\ 47 & = & 47 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The two consecutive integers are 23 and 24. 連続する2つの整数は23と24である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.9例題 3.9

Find three consecutive integers whose sum is

−42 .

英語のヒント

和が

−42

である連続した3つの整数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。		three consecutive integers 連続する3つの整数
Step 3. Name each of the three numbers. 手順3．3つの数をそれぞれ文字で表す。		Let $n = 1^{st}$ integer. $n = 1^{番目}$ の整数、とおく。
		$n + 1 =$ 2^nd consecutive integer $n + 1 =$ 2番目の連続する整数
		$n + 2 =$ 3^rd consecutive integer $n + 2 =$ 3番目の連続する整数
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。
Restate as one sentence. 1つの文に書き直す。		The sum of the three integers is −42. 3つの整数の和は−42である。
Translate into an equation. 方程式で表す。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract 3 from each side. 両辺から3を引く。
Divide each side by 3. 両辺を3で割る。






Step 6. Check. 手順6．確かめる。
$\begin{matrix} −13 + (−14) + (−15) & ≟ & −42 \\ −42 & = & −42 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The three consecutive integers are −13, −14, and −15. 連続した3つの整数は−13、−14、−15である。

Try It (2)確認問題（2題）

Now that we have worked with consecutive integers, we will expand our work to include consecutive even integers and consecutive odd integers. Consecutive even integers are even integers that immediately follow one another. Examples of consecutive even integers are:

英語のヒント

連続した整数を扱ったので、今度は連続した偶数と連続した奇数も扱う。連続した偶数とは、間を空けず順に続く偶数である。連続した偶数の例には次のものがある。

\begin{matrix} 18, 20, 22 \\ 64, 66, 68 \\ −12, −10, −8 \end{matrix}

Notice each integer is 2 more than the number preceding it. If we call the first one n, then the next one is

n + 2 .

The next one would be

n + 2 + 2

n + 4 .

英語のヒント

それぞれの整数が、その直前の数より2大きいことに注目しよう。最初の数をnとすると、次の数は

n + 2

である。その次の数は

n + 2 + 2

、すなわち

n + 4

となる。

\begin{matrix} n & 1^{st} even integer \\ n + 2 & 2^{nd} consecutive even integer \\ n + 4 & 3^{rd} consecutive even integer . . . etc. \end{matrix}

\begin{matrix} n & 1^{番目} の偶数 \\ n + 2 & 2^{番目} の連続する偶数 \\ n + 4 & 3^{番目} の連続する偶数……など \end{matrix}

Consecutive odd integers are odd integers that immediately follow one another. Consider the consecutive odd integers 77, 79, and 81.

英語のヒント

連続した奇数とは、間を空けず順に続く奇数である。連続した奇数77、79、81を考えよう。

\begin{matrix} 77, 79, 81 \\ n, n + 2, n + 4 \end{matrix}

\begin{matrix} n & 1^{st} odd integer \\ n + 2 & 2^{nd} consecutive odd integer \\ n + 4 & 3^{rd} consecutive odd integer . . . etc. \end{matrix}

\begin{matrix} n & 1^{番目} の奇数 \\ n + 2 & 2^{番目} の連続する奇数 \\ n + 4 & 3^{番目} の連続する奇数……など \end{matrix}

Does it seem strange to add 2 (an even number) to get from one odd integer to the next? Do you get an odd number or an even number when we add 2 to 3? to 11? to 47?

英語のヒント

ある奇数から次の奇数を得るために、偶数である2を足すのは不思議に思えるだろうか。3に2を足すと奇数になるか、偶数になるか。11ではどうか。47ではどうか。

Whether the problem asks for consecutive even numbers or odd numbers, you don’t have to do anything different. The pattern is still the same—to get from one odd or one even integer to the next, add 2.

英語のヒント

問題が連続した偶数を求めている場合でも、奇数を求めている場合でも、やり方を変える必要はない。規則は同じであり、ある奇数または偶数から次の数を得るには2を足す。

Example 3.10例題 3.10

Find three consecutive even integers whose sum is 84.

英語のヒント

和が84である連続した3つの偶数を求めよ。

Solution解答

Table 3.1表 3.1
Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	three consecutive even integers 連続した3つの偶数
Step 3. Name the integers. 手順3．整数を文字で表す。	Let $n = 1^{st}$ even integer. $n + 2 = 2^{nd}$ consecutive even integer $n + 4 = 3^{rd}$ consecutive even integer $n = 1^{番目}$ の偶数、とおく。 $n + 2 = 2^{番目}$ の連続する偶数、 $n + 4 = 3^{番目}$ の連続する偶数。
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。
Restate as one sentence. 1つの文に書き直す。	The sume of the three even integers is 84. 3つの偶数の和は84である。
Translate into an equation. 方程式で表す。	$n + n + 2 + n + 4 = 84$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$n + n + 2 + n + 4 = 84$
Subtract 6 from each side. 両辺から6を引く。	$3 n + 6 = 84$
Divide each side by 3. 両辺を3で割る。	$3 n = 78$
	$\begin{matrix} n = 26 & 1^{st} integer \\ n + 2 & 2^{nd} integer \\ 26 + 2 \\ 28 \\ n + 4 & 3^{rd} integer \\ 26 + 4 \\ 30 \end{matrix}$ $\begin{matrix} n = 26 & 1^{番目} の整数 \\ n + 2 & 2^{番目} の整数 \\ 26 + 2 \\ 28 \\ n + 4 & 3^{番目} の整数 \\ 26 + 4 \\ 30 \end{matrix}$
Step 6. Check. 手順6．確かめる。
$\begin{matrix} 26 + 28 + 30 \overset{?}{=} 84 \\ 84 = 84 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The three consecutive integers are 26, 28, and 30. 連続した3つの整数は26、28、30である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.11例題 3.11

A married couple together earns $110,000 a year. The wife earns $16,000 less than twice what her husband earns. What does the husband earn?

英語のヒント

ある夫婦の年収は合わせて110,000ドルである。妻の年収は夫の年収の2倍より16,000ドル少ない。夫の年収はいくらか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。		How much does the husband earn? 夫の年収はいくらか。
Step 3. Name. 手順3．名前を付ける。
Choose a variable to represent the amount the husband earns. 夫の年収を表す変数を選ぶ。		Let $h =$ the amount the husband earns. $h =$ 夫の年収、とおく。
The wife earns $16,000 less than twice that. 妻の年収は、その2倍より16,000ドル少ない。		$2 h - 16,000$ the amount the wife earns. $2 h - 16,000$ 妻の年収。
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。		Together the husband and wife earn $110,000. 夫婦の年収は合わせて110,000ドルである。
Restate the problem in one sentence with all the important information. 重要な情報をすべて含む1つの文に問題を書き直す。
Translate into an equation. 方程式で表す。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。		h + 2h − 16,000 = 110,000
Combine like terms. 同類項をまとめる。		3h − 16,000 = 110,000
Add 16,000 to both sides and simplify. 両辺に16,000を足して簡単にする。		3h = 126,000
Divide each side by 3. 両辺を3で割る。		h = 42,000
		$42,000 amount husband earns 42,000ドル　夫の年収
		2h − 16,000 amount wife earns 2h − 16,000　妻の年収
		2(42,000) − 16,000
		84,000 − 16,000
		68,000
Step 6. Check. 手順6．確かめる。
If the wife earns $68,000 and the husband earns $42,000 is the total $110,000? Yes! 妻の年収が68,000ドルで夫の年収が42,000ドルなら、合計は110,000ドルになるか。なる。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The husband earns $42,000 a year. 夫の年収は42,000ドルである。

Try It (2)確認問題（2題）