第3章数学モデル

3.4 Solve Geometry Applications: Triangles, Rectangles, and the Pythagorean Theorem3.4　図形の応用問題を解く：三角形、長方形、ピタゴラスの定理

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve applications using properties of triangles
英語のヒント
三角形の性質を使って応用問題を解く
Use the Pythagorean Theorem
英語のヒント
ピタゴラスの定理を使う
Solve applications using rectangle properties
英語のヒント
長方形の性質を使って応用問題を解く

Before You Begin (4)準備問題（4題）

Solve Applications Using Properties of Triangles三角形の性質を使って応用問題を解く

In this section we will use some common geometry formulas. We will adapt our problem-solving strategy so that we can solve geometry applications. The geometry formula will name the variables and give us the equation to solve. In addition, since these applications will all involve shapes of some sort, most people find it helpful to draw a figure and label it with the given information. We will include this in the first step of the problem solving strategy for geometry applications.

英語のヒント

この節では、よく使われる図形の公式をいくつか使う。図形の応用問題を解けるよう、これまでの問題解決の手順を調整する。図形の公式から変数の名前と解くべき方程式が得られる。また、これらの問題はすべて何らかの図形に関わるので、図を描いて与えられた情報を書き込むと、多くの人にとって役立つ。この作業を、図形の応用問題を解く手順の最初に組み込む。

Solve Geometry Applications.図形の応用問題を解く。

Read the problem and make sure all the words and ideas are understood. Draw the figure and label it with the given information.
英語のヒント
問題を読み、すべての言葉と考え方を理解する。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Identify what we are looking for.
英語のヒント
何を求めるのかを明らかにする。
Label what we are looking for by choosing a variable to represent it.
英語のヒント
求めるものを表す変数を選び、図に記入する。
Translate into an equation by writing the appropriate formula or model for the situation. Substitute in the given information.
英語のヒント
状況に適した公式やモデルを書き、方程式に表す。与えられた情報を代入する。
Solve the equation using good algebra techniques.
英語のヒント
適切な代数の手順を使って方程式を解く。
Check the answer by substituting it back into the equation solved in step 5 and by making sure it makes sense in the context of the problem.
英語のヒント
手順5で解いた方程式に答えを代入し、問題の状況に照らして筋が通ることも確かめる。
Answer the question with a complete sentence.
英語のヒント
完全な文で問いに答える。

We will start geometry applications by looking at the properties of triangles. Let’s review some basic facts about triangles. Triangles have three sides and three interior angles. Usually each side is labeled with a lowercase letter to match the uppercase letter of the opposite vertex.

英語のヒント

図形の応用問題は、三角形の性質から始める。三角形についての基本事項を復習しよう。三角形には3本の辺と3つの内角がある。通常、それぞれの辺は、向かい合う頂点に付けた大文字に対応する小文字で表す。

The plural of the word vertex is vertices. All triangles have three vertices. Triangles are named by their vertices: The triangle in Figure 3.4 is called

△ A B C .

英語のヒント

vertex（頂点）の複数形はverticesである。すべての三角形には3つの頂点がある。三角形は頂点で名前を付ける。図3.4の三角形は

△ A B C

と呼ばれる。

頂点がA、B、Cの三角形。それぞれの頂点に向かい合う辺にa、b、cと記されている。 — Figure 3.4図 3.4
Triangle ABC has vertices A, B, and C. The lengths of the sides are a, b, and c.
英語のヒント
三角形ABCの頂点はA、B、Cである。辺の長さはa、b、cである。

The three angles of a triangle are related in a special way. The sum of their measures is

180 ° .

Note that we read

m ∠ A

as “the measure of angle A.” So in

△ A B C

in Figure 3.4,

英語のヒント

三角形の3つの角には特別な関係がある。大きさの和は

180 °

である。

m ∠ A

は「角Aの大きさ」と読むことに注意する。したがって、図3.4の

△ A B C

では、

m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180 °

Because the perimeter of a figure is the length of its boundary, the perimeter of

△ A B C

is the sum of the lengths of its three sides.

英語のヒント

図形の周の長さとは境界の長さなので、

△ A B C

の周の長さは3辺の長さの和である。

P = a + b + c

To find the area of a triangle, we need to know its base and height. The height is a line that connects the base to the opposite vertex and makes a

90 °

angle with the base. We will draw

△ A B C

again, and now show the height, h. See Figure 3.5.

英語のヒント

三角形の面積を求めるには、底辺と高さが必要である。高さは底辺と向かいの頂点を結び、底辺と

90 °

の角をなす線である。

△ A B C

をもう一度描き、今度は高さhを示す。図3.5を見よう。

頂点がA、B、Cの三角形。それぞれの頂点に向かい合う辺にa、b、cと記されている。辺bは紙面の下辺に平行で、頂点Bから辺bへ破線が引かれている。この線にhと記され、辺bと直角をなしている。 — Figure 3.5図 3.5
The formula for the area of $△ A B C$ is $A = \frac{1}{2} b h,$ where b is the base and h is the height.
英語のヒント
$△ A B C$ の面積の公式は $A = \frac{1}{2} b h$ であり、bは底辺、hは高さである。

Example 3.34例題 3.34

The measures of two angles of a triangle are 55 and 82 degrees. Find the measure of the third angle.

英語のヒント

三角形の2つの角の大きさは55度と82度である。残りの角の大きさを求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the measure of the third angle in a triangle 三角形の残りの角の大きさ。
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let $x =$ the measure of the angle. $x =$ 角の大きさ、とする。
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。
Write the appropriate formula and substitute. 適切な公式を書き、代入する。	$m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$\begin{matrix} 55 + 82 + x & = & 180 \\ 137 + x & = & 180 \\ x & = & 43 \end{matrix}$
Step 6. Check. $\begin{matrix} 55 + 82 + 43 & ≟ & 180 \\ 180 & = & 180 ✓ \end{matrix}$ 手順6．確認する。 $\begin{matrix} 55 + 82 + 43 & ≟ & 180 \\ 180 & = & 180 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The measure of the third angle is 43 degrees. 残りの角の大きさは43度である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.35例題 3.35

The perimeter of a triangular garden is 24 feet. The lengths of two sides are four feet and nine feet. How long is the third side?

英語のヒント

三角形の庭の周の長さは24フィートである。2辺の長さは4フィートと9フィートである。残りの辺の長さはいくらか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	length of the third side of a triangle 三角形の残りの辺の長さ
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let $c =$ the third side. $c =$ 残りの辺の長さ、とする。
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。
Write the appropriate formula and substitute. 適切な公式を書き、代入する。
Substitute in the given information. 与えられた情報を代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check. $\begin{matrix} P & = & a + b + c \\ 24 & ≟ & 4 + 9 + 11 \\ 24 & = & 24 ✓ \end{matrix}$ 手順6．確認する。 $\begin{matrix} P & = & a + b + c \\ 24 & ≟ & 4 + 9 + 11 \\ 24 & = & 24 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The third side is 11 feet long. 残りの辺の長さは11フィートである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.36例題 3.36

The area of a triangular church window is 90 square meters. The base of the window is 15 meters. What is the window’s height?

英語のヒント

教会の三角形の窓の面積は90平方メートルである。底辺は15メートルである。高さはいくらか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。	Area $= 90 m^{2}$ 面積 $= 90 m^{2}$
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	height of a triangle 三角形の高さ
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let $h =$ the height. $h =$ 高さ、とする。
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。
Write the appropriate formula. 適切な公式を書く。
Substitute in the given information. 与えられた情報を代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check. $\begin{matrix} A & = & \frac{1}{2} b h \\ 90 & ≟ & \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12 \\ 90 & = & 90 ✓ \end{matrix}$ 手順6．確認する。 $\begin{matrix} A & = & \frac{1}{2} b h \\ 90 & ≟ & \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12 \\ 90 & = & 90 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The height of the triangle is 12 meters. 三角形の高さは12メートルである。

Try It (2)確認問題（2題）

The triangle properties we used so far apply to all triangles. Now we will look at one specific type of triangle—a right triangle. A right triangle has one

90 °

angle, which we usually mark with a small square in the corner.

英語のヒント

これまで使った性質は、すべての三角形に当てはまる。今度は特定の種類の三角形、直角三角形を見る。直角三角形には

90 °

の角が1つあり、通常、その角の内側に小さな正方形を描いて示す。

Example 3.37例題 3.37

One angle of a right triangle measures

28 ° .

What is the measure of the third angle?

英語のヒント

直角三角形の1つの角は

28 °

である。残りの角の大きさはいくらか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the measure of an angle 角の大きさ。
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let $x =$ the measure of an angle. $x =$ 角の大きさ、とする。
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。	$m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180$
Write the appropriate formula and substitute. 適切な公式を書き、代入する。	$x + 90 + 28 = 180$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$\begin{matrix} x + 118 & = & 180 \\ x & = & 62 \end{matrix}$
Step 6. Check. $\begin{matrix} 180 & ≟ & 90 + 28 + 62 \\ 180 & = & 180 ✓ \end{matrix}$ 手順6．確認する。 $\begin{matrix} 180 & ≟ & 90 + 28 + 62 \\ 180 & = & 180 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The measure of the third angle is 62^°. 残りの角の大きさは62^°である。

Try It (2)確認問題（2題）

In the examples we have seen so far, we could draw a figure and label it directly after reading the problem. In the next example, we will have to define one angle in terms of another. We will wait to draw the figure until we write expressions for all the angles we are looking for.

英語のヒント

これまでの例では、問題を読んですぐに図を描いて情報を書き込むことができた。次の例では、1つの角を別の角で表す必要がある。求めるすべての角の式を書いてから図を描く。

Example 3.38例題 3.38

The measure of one angle of a right triangle is 20 degrees more than the measure of the smallest angle. Find the measures of all three angles.

英語のヒント

直角三角形の1つの角の大きさは、最小の角より20度大きい。3つの角すべての大きさを求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the measures of all three angles 3つの角すべての大きさ
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let $a = 1^{st}$ angle. $a + 20 = 2^{nd}$ angle $90 = 3^{rd}$ angle (the right angle) $a = 1^{番目}$ の角、とする。 $a + 20 = 2^{番目}$ の角。 $90 = 3^{番目}$ の角（直角）。
Draw the figure and label it with the given information 図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 4. Translate 手順4．数式に表す
Write the appropriate formula. Substitute into the formula. 適切な公式を書く。公式に代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	55 90 third angle 55 90 3番目の角。
Step 6. Check. $\begin{matrix} 35 + 55 + 90 & ≟ & 180 \\ 180 & = & 180 ✓ \end{matrix}$ 手順6．確認する。 $\begin{matrix} 35 + 55 + 90 & ≟ & 180 \\ 180 & = & 180 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The three angles measure 35^°, 55^°, and 90^°. 3つの角の大きさは35^°、55^°、90^°である。

Try It (2)確認問題（2題）

第3章数学モデル

3.4 Solve Geometry Applications: Triangles, Rectangles, and the Pythagorean Theorem3.4 図形の応用問題を解く：三角形、長方形、ピタゴラスの定理

Learning Objectives学習目標

Solve Applications Using Properties of Triangles三角形の性質を使って応用問題を解く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

3.4 Solve Geometry Applications: Triangles, Rectangles, and the Pythagorean Theorem3.4　図形の応用問題を解く：三角形、長方形、ピタゴラスの定理