第6章多項式

Add and Subtract Monomials単項式の加法と減法

You have learned how to simplify expressions by combining like terms. Remember, like terms must have the same variables with the same exponent. Since monomials are terms, adding and subtracting monomials is the same as combining like terms. If the monomials are like terms, we just combine them by adding or subtracting the coefficient.

英語のヒント

同類項をまとめて式を簡単にする方法は、すでに学んだ。同類項は、変数もその指数も同じでなければならない。単項式は一つの項なので、単項式の足し算と引き算は、同類項をまとめることと同じである。単項式が同類項であれば、その係数を足したり引いたりしてまとめればよい。

Example 6.3例題 6.3

Add:

25 y^{2} + 15 y^{2}

英語のヒント

足し算をせよ。

25 y^{2} + 15 y^{2}

。

Solution解答

	$25 y^{2} + 15 y^{2}$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$40 y^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.4例題 6.4

Subtract:

16 p - (−7 p)

英語のヒント

引き算をせよ。

16 p - (−7 p)

。

Solution解答

	$16 p - (−7 p)$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$23 p$

Try It (2)確認問題（2題）

Remember that like terms must have the same variables with the same exponents.

英語のヒント

同類項は、変数もその指数も同じでなければならないことを思い出そう。

Example 6.5例題 6.5

Simplify:

c^{2} + 7 d^{2} - 6 c^{2}

英語のヒント

簡単にせよ。

c^{2} + 7 d^{2} - 6 c^{2}

Solution解答

	$c^{2} + 7 d^{2} - 6 c^{2}$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$−5 c^{2} + 7 d^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.6例題 6.6

Simplify:

u^{2} v + 5 u^{2} - 3 v^{2}

英語のヒント

簡単にせよ。

u^{2} v + 5 u^{2} - 3 v^{2}

Solution解答

	$u^{2} v + 5 u^{2} - 3 v^{2}$
There are no like terms to combine. まとめられる同類項はない。	$u^{2} v + 5 u^{2} - 3 v^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Add and Subtract Polynomials多項式の加法と減法

We can think of adding and subtracting polynomials as just adding and subtracting a series of monomials. Look for the like terms—those with the same variables and the same exponent. The Commutative Property allows us to rearrange the terms to put like terms together.

英語のヒント

多項式の足し算と引き算は、いくつかの単項式を足したり引いたりすることだと考えられる。変数とその指数が同じ項、すなわち同類項を探そう。交換法則によって項を並べ替え、同類項をまとめられる。

Example 6.7例題 6.7

Find the sum:

(5 y^{2} - 3 y + 15) + (3 y^{2} - 4 y - 11) .

英語のヒント

和を求める：

(5 y^{2} - 3 y + 15) + (3 y^{2} - 4 y - 11)

Solution解答

Identify like terms. 同類項を見つける。
Rearrange to get the like terms together. 同類項がまとまるように並べ替える。
Combine like terms. 同類項をまとめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.8例題 6.8

Find the difference:

(9 w^{2} - 7 w + 5) - (2 w^{2} - 4) .

英語のヒント

差を求める：

(9 w^{2} - 7 w + 5) - (2 w^{2} - 4)

Solution解答


Distribute and identify like terms. 分配法則を使い、同類項を見つける。
Rearrange the terms. 項を並べ替える。
Combine like terms. 同類項をまとめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.9例題 6.9

Subtract:

(c^{2} - 4 c + 7)

from

(7 c^{2} - 5 c + 3)

英語のヒント

(7 c^{2} - 5 c + 3)

から

(c^{2} - 4 c + 7)

を引け。

Solution解答



Distribute and identify like terms. 分配法則を使い、同類項を見つける。
Rearrange the terms. 項を並べ替える。
Combine like terms. 同類項をまとめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.10例題 6.10

Find the sum:

(u^{2} - 6 u v + 5 v^{2}) + (3 u^{2} + 2 u v)

英語のヒント

和を求めよ。

(u^{2} - 6 u v + 5 v^{2}) + (3 u^{2} + 2 u v)

。

Solution解答

	$(u^{2} - 6 u v + 5 v^{2}) + (3 u^{2} + 2 u v)$
Distribute. 分配法則を使う。	$u^{2} - 6 u v + 5 v^{2} + 3 u^{2} + 2 u v$
Rearrange the terms, to put like terms together. 同類項がまとまるように項を並べ替える。	$u^{2} + 3 u^{2} - 6 u v + 2 u v + 5 v^{2}$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$4 u^{2} - 4 u v + 5 v^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.11例題 6.11

Find the difference:

(p^{2} + q^{2}) - (p^{2} + 10 p q - 2 q^{2})

英語のヒント

差を求めよ。

(p^{2} + q^{2}) - (p^{2} + 10 p q - 2 q^{2})

。

Solution解答

	$(p^{2} + q^{2}) - (p^{2} + 10 p q - 2 q^{2})$
Distribute. 分配法則を使う。	$p^{2} + q^{2} - p^{2} - 10 p q + 2 q^{2}$
Rearrange the terms, to put like terms together. 同類項がまとまるように項を並べ替える。	$p^{2} - p^{2} - 10 p q + q^{2} + 2 q^{2}$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$−10 p q + 3 q^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.12例題 6.12

Simplify:

(a^{3} - a^{2} b) - (a b^{2} + b^{3}) + (a^{2} b + a b^{2})

英語のヒント

簡単にせよ。

(a^{3} - a^{2} b) - (a b^{2} + b^{3}) + (a^{2} b + a b^{2})

Solution解答

	$(a^{3} - a^{2} b) - (a b^{2} + b^{3}) + (a^{2} b + a b^{2})$
Distribute. 分配法則を使う。	$a^{3} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3} + a^{2} b + a b^{2}$
Rearrange the terms, to put like terms together. 同類項がまとまるように項を並べ替える。	$a^{3} - a^{2} b + a^{2} b - a b^{2} + a b^{2} - b^{3}$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$a^{3} - b^{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Evaluate a Polynomial for a Given Value与えられた値に対する多項式の値を求める

We have already learned how to evaluate expressions. Since polynomials are expressions, we’ll follow the same procedures to evaluate a polynomial. We will substitute the given value for the variable and then simplify using the order of operations.

英語のヒント

式の値を求める方法は、すでに学んだ。多項式も式なので、同じ手順で値を求める。変数に指定された値を代入し、計算の順序に従って簡単にする。

Example 6.13例題 6.13

Evaluate

5 x^{2} - 8 x + 4

when

英語のヒント

次の値のとき、

5 x^{2} - 8 x + 4

の値を求めよ。

ⓐ $x = 4$
ⓑ $x = −2$
ⓒ $x = 0$

Solution解答

ⓐ $x = 4$


Simplify the exponents. 累乗を計算する。
Multiply. 掛ける。
Simplify. 簡単にする。

ⓑ $x = −2$


Simplify the exponents. 累乗を計算する。
Multiply. 掛ける。
Simplify. 簡単にする。

ⓒ $x = 0$


Simplify the exponents. 累乗を計算する。
Multiply. 掛ける。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.14例題 6.14

The polynomial

−16 t^{2} + 250

gives the height of a ball

t

seconds after it is dropped from a 250 foot tall building. Find the height after

t = 2

seconds.

英語のヒント

高さ250フィートの建物からボールを落として

t

秒後の高さは、多項式

−16 t^{2} + 250

で表される。

t = 2

秒後の高さを求めよ。

Solution解答

	$−16 t^{2} + 250$
Substitute $t = 2$ . $t = 2$ を代入する。	$−16 {(2)}^{2} + 250$
Simplify. 簡単にする。	$−16 \cdot 4 + 250$
Simplify. 簡単にする。	$−64 + 250$
Simplify. 簡単にする。	$186$
	After 2 seconds the height of the ball is 186 feet. 2秒後のボールの高さは186フィートである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.15例題 6.15

The polynomial

6 x^{2} + 15 x y

gives the cost, in dollars, of producing a rectangular container whose top and bottom are squares with side x feet and sides of height y feet. Find the cost of producing a box with

x = 4

feet and

y = 6

feet.

英語のヒント

上面と底面が1辺xフィートの正方形で、側面の高さがyフィートの直方体の容器を作る費用は、多項式

6 x^{2} + 15 x y

で表される。単位はドルである。

x = 4

フィート、

y = 6

フィートの箱を作る費用を求めよ。

Solution解答



Simplify. 簡単にする。
Simplify. 簡単にする。
Simplify. 簡単にする。
	The cost of producing the box is $456. 箱を作る費用は456ドルである。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材