第6章多項式

6.5 Divide Monomials6.5　単項式の除法

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Simplify expressions using the Quotient Property for Exponents
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同じ底の累乗の商の法則を使って式を簡単にする
Simplify expressions with zero exponents
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指数が0の式を簡単にする
Simplify expressions using the quotient to a Power Property
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商の累乗の法則を使って式を簡単にする
Simplify expressions by applying several properties
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複数の性質を使って式を簡単にする
Divide monomials
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単項式の除法

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Simplify Expressions Using the Quotient Property for Exponents同じ底の累乗の商の法則を使って式を簡単にする

Earlier in this chapter, we developed the properties of exponents for multiplication. We summarize these properties below.

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この章の前半では、掛け算に関する指数法則を導いた。以下にまとめて示す。

Now we will look at the exponent properties for division. A quick memory refresher may help before we get started. You have learned to simplify fractions by dividing out common factors from the numerator and denominator using the Equivalent Fractions Property. This property will also help you work with algebraic fractions—which are also quotients.

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次に、割り算に関する指数法則を見ていこう。その前に、少し復習しよう。等しい分数の性質を使い、分子と分母の共通の因数を約分して分数を簡単にする方法を学んだ。この性質は、やはり商を表している代数分数を扱うときにも役立つ。

As before, we’ll try to discover a property by looking at some examples.

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これまでと同じように、いくつかの例を見て性質を見つけよう。

Consider 次を考える。	$\frac{x^{5}}{x^{2}}$	and および	$\frac{x^{2}}{x^{3}}$
What do they mean? これらは何を意味するか。	$\frac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x}$		$\frac{x \cdot x}{x \cdot x \cdot x}$
Use the Equivalent Fractions Property. 大きさの等しい分数の性質を使う。	$\frac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x}$		$\frac{x \cdot x \cdot 1}{x \cdot x \cdot x}$
Simplify. 簡単にする。	$x^{3}$		$\frac{1}{x}$

Notice, in each case the bases were the same and we subtracted exponents.

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どの場合も底が同じで、指数を引いたことに注目しよう。

When the larger exponent was in the numerator, we were left with factors in the numerator.

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分子の指数のほうが大きいときには、分子に因数が残った。

When the larger exponent was in the denominator, we were left with factors in the denominator—notice the numerator of 1.

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分母の指数のほうが大きいときには、分母に因数が残った。分子の1に注意しよう。

We write:

英語のヒント

次のように書く：

\begin{matrix} \frac{x^{5}}{x^{2}} & \frac{x^{2}}{x^{3}} \\ x^{5 - 2} & \frac{1}{x^{3 - 2}} \\ x^{3} & \frac{1}{x} \end{matrix}

This leads to the Quotient Property for Exponents.

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ここから、同じ底の累乗の商の法則が得られる。

A couple of examples with numbers may help to verify this property.

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数を使った例を2つほど見ると、この性質を確かめやすい。

\begin{matrix} \frac{3^{4}}{3^{2}} & = & 3^{4 - 2} & \frac{5^{2}}{5^{3}} & = & \frac{1}{5^{3 - 2}} \\ \frac{81}{9} & = & 3^{2} & \frac{25}{125} & = & \frac{1}{5^{1}} \\ 9 & = & 9 ✓ & \frac{1}{5} & = & \frac{1}{5} ✓ \end{matrix}

Example 6.59例題 6.59

Simplify: ⓐ

\frac{x^{9}}{x^{7}}

ⓑ

\frac{3^{10}}{3^{2}} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\frac{x^{9}}{x^{7}}

ⓑ

\frac{3^{10}}{3^{2}}

Solution解答

To simplify an expression with a quotient, we need to first compare the exponents in the numerator and denominator.

英語のヒント

商を含む式を簡単にするには、まず分子と分母の指数を比べる必要がある。

ⓐ

Since 9 > 7, there are more factors of x in the numerator. 9＞7なので、分子のほうが因数xの個数が多い。
Use the Quotient Property, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ . 同じ底の累乗の商の性質 $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。

ⓑ

Since 10 > 2, there are more factors of x in the numerator. 10＞2なので、分子のほうが因数xの個数が多い。
Use the Quotient Property, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ . 同じ底の累乗の商の性質 $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。

Notice that when the larger exponent is in the numerator, we are left with factors in the numerator.

英語のヒント

大きい指数が分子にあるとき、因数は分子に残ることに注目しよう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.60例題 6.60

Simplify: ⓐ

\frac{b^{8}}{b^{12}}

ⓑ

\frac{7^{3}}{7^{5}} .

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簡単にせよ：ⓐ

\frac{b^{8}}{b^{12}}

ⓑ

\frac{7^{3}}{7^{5}}

Solution解答

To simplify an expression with a quotient, we need to first compare the exponents in the numerator and denominator.

英語のヒント

商を含む式を簡単にするには、まず分子と分母の指数を比べる必要がある。

ⓐ

Since 12 > 8, there are more factors of b in the denominator. 12＞8なので、分母のほうが因数bの個数が多い。
Use the Quotient Property, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ . 同じ底の累乗の商の性質 $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。

ⓑ

Since 5 > 3, there are more factors of 3 in the denominator. 5＞3なので、3という因数は分母の方が多い。
Use the Quotient Property, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ . 同じ底の累乗の商の性質 $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。
Simplify. 簡単にする。

Notice that when the larger exponent is in the denominator, we are left with factors in the denominator.

英語のヒント

分母の指数のほうが大きいときには、分母に因数が残ることに注目しよう。

Try It (2)確認問題（2題）

Notice the difference in the two previous examples:

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直前の二つの例の違いに注目しよう。

If we start with more factors in the numerator, we will end up with factors in the numerator.
英語のヒント
最初に分子の因数のほうが多ければ、最後も分子に因数が残る。
If we start with more factors in the denominator, we will end up with factors in the denominator.
英語のヒント
最初に分母の因数のほうが多ければ、最後も分母に因数が残る。

The first step in simplifying an expression using the Quotient Property for Exponents is to determine whether the exponent is larger in the numerator or the denominator.

英語のヒント

同じ底の累乗の商の法則を使って式を簡単にするときは、まず、分子と分母のどちらの指数が大きいかを判断する。

Example 6.61例題 6.61

Simplify: ⓐ

\frac{a^{5}}{a^{9}}

ⓑ

\frac{x^{11}}{x^{7}} .

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簡単にせよ：ⓐ

\frac{a^{5}}{a^{9}}

ⓑ

\frac{x^{11}}{x^{7}}

Solution解答

ⓐ Is the exponent of $a$ larger in the numerator or denominator? Since 9 > 5, there are more $a' s$ in the denominator and so we will end up with factors in the denominator.
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ⓐ $a$ の指数は、分子と分母のどちらが大きいか。9＞5なので、分母のほうに $a' s$ が多く、最後は分母に因数が残る。

Use the Quotient Property, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ .
同じ底の累乗の商の性質 $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ を使う。

Simplify.
簡単にする。
ⓑ Notice there are more factors of $x$ in the numerator, since 11 > 7. So we will end up with factors in the numerator.
英語のヒント
ⓑ 11＞7なので、分子のほうに因数 $x$ が多い。したがって、最後は分子に因数が残る。

Use the Quotient Property, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ .
同じ底の累乗の商の性質 $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ を使う。

Simplify.
簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Product Property 同じ底の累乗の積の法則	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
Power Property 累乗の累乗の法則	${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$
Product to a Power 積の累乗の法則	${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$

第6章多項式

6.5 Divide Monomials6.5 単項式の除法

Learning Objectives学習目標

Simplify Expressions Using the Quotient Property for Exponents同じ底の累乗の商の法則を使って式を簡単にする

Solution解答

Solution解答

Solution解答

6.5 Divide Monomials6.5　単項式の除法