第6章多項式

Simplify Expressions with Integer Exponents整数の指数を含む式を簡単にする

All of the exponent properties we developed earlier in the chapter with whole number exponents apply to integer exponents, too. We restate them here for reference.

英語のヒント

この章で非負整数の指数について導いたすべての指数法則は、整数の指数にも適用できる。参照用に、もう一度まとめて示す。

Example 6.96例題 6.96

Simplify: ⓐ

x^{−4} \cdot x^{6}

ⓑ

y^{−6} \cdot y^{4}

ⓒ

z^{−5} \cdot z^{−3} .

英語のヒント

簡単にせよ。ⓐ

x^{−4} \cdot x^{6}

　ⓑ

y^{−6} \cdot y^{4}

　ⓒ

z^{−5} \cdot z^{−3}

Solution解答

ⓐ

	$x^{−4} \cdot x^{6}$
Use the Product Property, $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} .$ 同じ底の累乗の積の性質 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ を使う。	$x^{−4 + 6}$
Simplify. 簡単にする。	$x^{2}$

ⓑ

	$y^{−6} \cdot y^{4}$
Notice the same bases, so add the exponents. 底が同じなので、指数を足す。	$y^{−6 + 4}$
Simplify. 簡単にする。	$y^{−2}$
Use the definition of a negative exponent, $a^{− n} = \frac{1}{a^{n}} .$ 負の指数の定義 $a^{− n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使う。	$\frac{1}{y^{2}}$

ⓒ

	$z^{−5} \cdot z^{−3}$
Add the exponents, since the bases are the same. 底が同じなので、指数を足す。	$z^{−5 - 3}$
Simplify. 簡単にする。	$z^{−8}$
Take the reciprocal and change the sign of the exponent, using the definition of a negative exponent. 負の指数の定義を使い、逆数を取って指数の符号を変える。	$\frac{1}{z^{8}}$

Try It (2)確認問題（2題）

In the next two examples, we’ll start by using the Commutative Property to group the same variables together. This makes it easier to identify the like bases before using the Product Property.

英語のヒント

次の二つの例では、最初に交換法則を使って同じ変数をまとめる。そうすると、積の法則を使う前に、同じ底を見分けやすくなる。

Example 6.97例題 6.97

Simplify:

(m^{4} n^{−3}) (m^{−5} n^{−2}) .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

(m^{4} n^{−3}) (m^{−5} n^{−2})

Solution解答

	$(m^{4} n^{−3}) (m^{−5} n^{−2})$
Use the Commutative Property to get like bases together. 交換法則を使い、同じ底どうしをまとめる。	$m^{4} m^{−5} \cdot n^{−2} n^{−3}$
Add the exponents for each base. それぞれの底について、指数を足す。	$m^{−1} \cdot n^{−5}$
Take reciprocals and change the signs of the exponents. 逆数にして、指数の符号を変える。	$\frac{1}{m^{1}} \cdot \frac{1}{n^{5}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{m n^{5}}$

Try It (3)確認問題（3題）

In the next two examples, we’ll use the Power Property and the Product to a Power Property.

英語のヒント

次の2つの例では、累乗の累乗の性質と積の累乗の性質を使う。

Example 6.98例題 6.98

Simplify:

{(6 k^{3})}^{−2} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

{(6 k^{3})}^{−2}

Solution解答

	${(6 k^{3})}^{−2}$
Use the Product to a Power Property, ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m} .$ 積の累乗の性質 ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$ を使う。	${(6)}^{−2} {(k^{3})}^{−2}$
Use the Power Property, ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} .$ 累乗の累乗の性質 ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ を使う。	$6^{−2} k^{−6}$
Use the Definition of a Negative Exponent, $a^{− n} = \frac{1}{a^{n}} .$ 負の指数の定義 $a^{− n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使う。	$\frac{1}{6^{2}} \cdot \frac{1}{k^{6}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{36 k^{6}}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.99例題 6.99

Simplify:

{(5 x^{−3})}^{2} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

{(5 x^{−3})}^{2}

Solution解答

	${(5 x^{−3})}^{2}$
Use the Product to a Power Property, ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m} .$ 積の累乗の性質 ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$ を使う。	$5^{2} {(x^{−3})}^{2}$
Simplify 5² and multiply the exponents of x using the Power Property, ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} .$ 5²を簡単にし、累乗の累乗の法則 ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ を使ってxの指数を掛ける。	$25 \cdot x^{−6}$
Rewrite x⁻⁶ by using the Definition of a Negative Exponent, $a^{− n} = \frac{1}{a^{n}} .$ 負の指数の定義 $a^{− n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使って、x⁻⁶を書き換える。	$25 \cdot \frac{1}{x^{6}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{25}{x^{6}}$

Try It (2)確認問題（2題）

To simplify a fraction, we use the Quotient Property and subtract the exponents.

英語のヒント

分数を簡単にするには、商の法則を使って指数を引く。

Example 6.100例題 6.100

Simplify:

\frac{r^{5}}{r^{−4}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{r^{5}}{r^{−4}}

Solution解答

	$\frac{r^{5}}{r^{−4}}$
Use the Quotient Property, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} .$ 商の法則 $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ を使う。	$r^{5 - (−4)}$
Simplify. 簡単にする。	$r^{9}$

Try It (2)確認問題（2題）

Convert from Decimal Notation to Scientific Notation通常の小数表記から科学的記数法に直す

Remember working with place value for whole numbers and decimals? Our number system is based on powers of 10. We use tens, hundreds, thousands, and so on. Our decimal numbers are also based on powers of tens—tenths, hundredths, thousandths, and so on. Consider the numbers 4,000 and

0.004

. We know that 4,000 means

4 \times 1,000

and 0.004 means

4 \times \frac{1}{1,000}

英語のヒント

非負整数や小数の位取りを学んだことを覚えているだろうか。私たちの数の表し方は、10の累乗を基礎としている。十、百、千などを使う。小数も、十分の一、百分の一、千分の一など、10の累乗に基づいている。4,000と

0.004

を考えよう。4,000は

4 \times 1,000

、0.004は

4 \times \frac{1}{1,000}

を意味する。

If we write the 1000 as a power of ten in exponential form, we can rewrite these numbers in this way:

英語のヒント

1,000を10の累乗として表すと、これらの数は次のように書き換えられる。

\begin{matrix} 4,000 & 0.004 \\ 4 \times 1,000 & 4 \times \frac{1}{1,000} \\ 4 \times 10^{3} & 4 \times \frac{1}{10^{3}} \\ 4 \times 10^{−3} \end{matrix}

When a number is written as a product of two numbers, where the first factor is a number greater than or equal to one but less than 10, and the second factor is a power of 10 written in exponential form, it is said to be in scientific notation.

英語のヒント

ある数を二つの数の積として書き、最初の因数が1以上10未満、2番目の因数が指数を使って表した10の累乗であるとき、科学的記数法で表されているという。

It is customary in scientific notation to use as the

\times

multiplication sign, even though we avoid using this sign elsewhere in algebra.

英語のヒント

代数のほかの場面では

\times

を使うのを避けるが、科学的記数法では、これを掛け算の記号として使うのが慣例である。

If we look at what happened to the decimal point, we can see a method to easily convert from decimal notation to scientific notation.

英語のヒント

小数点がどう動いたかを見ると、通常の小数表記から科学的記数法へ簡単に変換する方法が分かる。

科学的記数法への変換を示す2列の図。左は4,000＝4×10³。4,000の末尾の小数点を左に3桁動かし、4.000にする矢印がある。右は0.004＝4×10の−3乗。小数点を右に3桁動かし、4にする矢印がある。

In both cases, the decimal was moved 3 places to get the first factor between 1 and 10.

英語のヒント

どちらも小数点を3桁動かし、最初の因数を1から10の間にした。

\begin{matrix} The power of 10 is positive when the number is larger than 1: & 4,000 = 4 \times 10^{3} \\ The power of 10 is negative when the number is between 0 and 1: & 0.004 = 4 \times 10^{−3} \end{matrix}

\begin{matrix} 数が1より大きいとき、10の指数は正： & 4,000 = 4 \times 10^{3} \\ 数が0と1の間にあるとき、10の指数は負： & 0.004 = 4 \times 10^{−3} \end{matrix}

Example 6.101例題 6.101

How to Convert from Decimal Notation to Scientific Notation通常の小数表示から科学的記数法に直す手順

Write in scientific notation: 37,000.

英語のヒント

37,000を科学的記数法で表せ。

Solution解答

4行3列の手順表。左に手順、中央に説明、右に式がある。手順1は「最初の因数が1以上10未満になるように小数点を動かす」。37,000の末尾には小数点があると考え、3の直後へ動かす。3.7000は1と10の間である。

手順2は「小数点を動かした桁数nを数える」。説明は「左へ4桁動かした」。右の370000に、末尾の小数点を3と7の間へ左向きに動かす矢印がある。

手順3は「10の累乗との積として書く。元の数が1より大きければ10のn乗、0と1の間なら10の−n乗を使う」。37,000は1より大きいので指数は4で、3.7×10⁴となる。

手順4は確認。「答えが妥当か確かめる」。10⁴＝10,000、10,000×3.7＝37,000なので、37,000＝3.7×10⁴。

Try It (2)確認問題（2題）

Convert from decimal notation to scientific notation通常の小数表記から科学的記数法に直す

Move the decimal point so that the first factor is greater than or equal to 1 but less than 10.
英語のヒント
最初の因数が1以上10未満になるように、小数点を動かす。
Count the number of decimal places, n, that the decimal point was moved.
英語のヒント
小数点を動かした桁数nを数える。
Write the number as a product with a power of 10.
If the original number is:
英語のヒント
10の累乗との積として書く。元の数が、
- greater than 1, the power of 10 will be 10ⁿ.
  英語のヒント
  1より大きければ、10の累乗は10ⁿになる。
- between 0 and 1, the power of 10 will be 10⁻ⁿ.
  英語のヒント
  0と1の間なら、10の累乗は10⁻ⁿになる。
Check.
英語のヒント
確かめる。

Example 6.102例題 6.102

Write in scientific notation:

0.0052 .

英語のヒント

科学的記数法で表す：

0.0052

Solution解答

The original number,

0.0052

, is between 0 and 1 so we will have a negative power of 10.

英語のヒント

元の数

0.0052

は0と1の間なので、10の指数は負になる。


Move the decimal point to get 5.2, a number between 1 and 10. 小数点を動かし、1と10の間の数である5.2にする。
Count the number of decimal places the point was moved. 小数点を動かした桁数を数える。
Write as a product with a power of 10. 10の累乗との積として書く。
Check. 確かめる。
$\begin{matrix} 5.2 \times 10^{−3} \\ 5.2 \times \frac{1}{10^{3}} \\ 5.2 \times \frac{1}{1000} \\ 5.2 \times 0.001 \end{matrix}$
$0.0052$

Try It (2)確認問題（2題）