第6章多項式

Simplify Expressions with an Exponent of Zero指数が0の式を簡単にする

A special case of the Quotient Property is when the exponents of the numerator and denominator are equal, such as an expression like

\frac{a^{m}}{a^{m}}

. From your earlier work with fractions, you know that:

英語のヒント

商の法則の特別な場合として、

\frac{a^{m}}{a^{m}}

のように分子と分母の指数が等しい場合がある。これまでの分数の学習から、次のことが分かっている。

\frac{2}{2} = 1 \frac{17}{17} = 1 \frac{−43}{−43} = 1

In words, a number divided by itself is 1. So,

\frac{x}{x} = 1

, for any

x (x \neq 0)

, since any number divided by itself is 1.

英語のヒント

言葉でいうと、数をそれ自身で割ると1になる。どの数も自分自身で割ると1になるので、任意の

x (x \neq 0)

について

\frac{x}{x} = 1

である。

The Quotient Property for Exponents shows us how to simplify

\frac{a^{m}}{a^{n}}

when

m > n

and when

n < m

by subtracting exponents. What if

m = n

英語のヒント

同じ底の累乗の商の法則によって、

m > n

の場合と

n < m

の場合には、指数を引いて

\frac{a^{m}}{a^{n}}

を簡単にできる。

m = n

ならどうだろうか。

Consider

\frac{8}{8}

, which we know is 1.

英語のヒント

\frac{8}{8}

を考えよう。この値が1であることは分かっている。

	$\begin{matrix} \frac{8}{8} = 1 \end{matrix}$
Write $8$ as $2^{3}$ . $8$ を $2^{3}$ と書く。	$\begin{matrix} \frac{2^{3}}{2^{3}} = 1 \end{matrix}$
Subtract exponents. 指数を引く。	$\begin{matrix} 2^{3 - 3} = 1 \end{matrix}$
Simplify. 簡単にする。	$\begin{matrix} 2^{0} = 1 \end{matrix}$

Now we will simplify

\frac{a^{m}}{a^{m}}

in two ways to lead us to the definition of the zero exponent. In general, for

a \neq 0

英語のヒント

\frac{a^{m}}{a^{m}}

を二つの方法で簡単にして、指数0の定義を導こう。一般に、

a \neq 0

について次が成り立つ。

2列の図。両列の一番上はaのm乗をaのm乗で割った式。左列では指数を引き、aの(m−m)乗からaの0乗になる。右列では、分子と分母をそれぞれa×a×…というm個の因数に分解してすべて約分し、1になる。

We see

\frac{a^{m}}{a^{m}}

simplifies to

a^{0}

and to 1. So

a^{0} = 1

英語のヒント

\frac{a^{m}}{a^{m}}

は、

a^{0}

にも1にも簡単にできる。したがって、

a^{0} = 1

である。

In this text, we assume any variable that we raise to the zero power is not zero.

英語のヒント

この本では、0乗する変数はどれも0ではないと仮定する。

Example 6.62例題 6.62

Simplify: ⓐ

9^{0}

ⓑ

n^{0} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

9^{0}

ⓑ

n^{0}

Solution解答

The definition says any non-zero number raised to the zero power is 1.

英語のヒント

定義によると、0でない数の0乗は、すべて1である。

ⓐ Use the definition of the zero exponent. ⓐ 指数0の定義を使う。	$\begin{matrix} 9^{0} \\ 1 \end{matrix}$
ⓑ Use the definition of the zero exponent. ⓑ 指数0の定義を使う。	$\begin{matrix} n^{0} \\ 1 \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Now that we have defined the zero exponent, we can expand all the Properties of Exponents to include whole number exponents.

英語のヒント

指数が0の場合を定義したので、指数に関するすべての性質を、指数が非負整数の場合まで広げられる。

What about raising an expression to the zero power? Let’s look at

{(2 x)}^{0}

. We can use the product to a power rule to rewrite this expression.

英語のヒント

式全体を0乗するとどうなるだろうか。

{(2 x)}^{0}

を見てみよう。積の累乗の法則で書き換えられる。

Table 6.1表 6.1
	${(2 x)}^{0}$
Use the product to a power rule. 積の累乗の法則を使う。	$2^{0} x^{0}$
Use the zero exponent property. 指数0の性質を使う。	$1 \cdot 1$
Simplify. 簡単にする。	$1$

This tells us that any nonzero expression raised to the zero power is one.

英語のヒント

このことから、値が0でない式の0乗は1であると分かる。

Example 6.63例題 6.63

Simplify: ⓐ

{(5 b)}^{0}

ⓑ

{(−4 a^{2} b)}^{0} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(5 b)}^{0}

ⓑ

{(−4 a^{2} b)}^{0}

Solution解答

ⓐ	${(5 b)}^{0}$
Use the definition of the zero exponent. 指数が0の場合の定義を使う。	$1$
ⓑ	${(−4 a^{2} b)}^{0}$
Use the definition of the zero exponent. 指数が0の場合の定義を使う。	$1$

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify Expressions Using the Quotient to a Power Property商の累乗の性質を使って式を簡単にする

Now we will look at an example that will lead us to the Quotient to a Power Property.

英語のヒント

次に、商の累乗の性質を導く例を見る。

	${(\frac{x}{y})}^{3}$
This means: これは次を意味する。	$\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y}$
Multiply the fractions. 分数どうしを掛ける。	$\frac{x \cdot x \cdot x}{y \cdot y \cdot y}$
Write with exponents. 指数を使って書く。	$\frac{x^{3}}{y^{3}}$

Notice that the exponent applies to both the numerator and the denominator.

英語のヒント

指数は分子と分母の両方に適用されることに注目しよう。

We write: 次のように書く：	${(\frac{x}{y})}^{3}$
	$\frac{x^{3}}{y^{3}}$

This leads to the Quotient to a Power Property for Exponents.

英語のヒント

ここから、商の累乗の性質が得られる。

An example with numbers may help you understand this property:

英語のヒント

数を使った例を見ると、この性質を理解しやすい。

\begin{matrix} {(\frac{2}{3})}^{3} & = & \frac{2^{3}}{3^{3}} \\ \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} & = & \frac{8}{27} \\ \frac{8}{27} & = & \frac{8}{27} ✓ \end{matrix}

Example 6.64例題 6.64

Simplify: ⓐ

{(\frac{3}{7})}^{2}

ⓑ

{(\frac{b}{3})}^{4}

ⓒ

{(\frac{k}{j})}^{3} .

英語のヒント

簡単にせよ。ⓐ

{(\frac{3}{7})}^{2}

　ⓑ

{(\frac{b}{3})}^{4}

　ⓒ

{(\frac{k}{j})}^{3}

Solution解答

ⓐ


Use the Quotient Property, ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$ . 同じ底の累乗の商の性質 ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。

ⓑ


Use the Quotient Property, ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$ . 同じ底の累乗の商の性質 ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。

ⓒ


Raise the numerator and denominator to the third power. 分子と分母をそれぞれ3乗する。

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify Expressions by Applying Several Properties複数の性質を使って式を簡単にする

We’ll now summarize all the properties of exponents so they are all together to refer to as we simplify expressions using several properties. Notice that they are now defined for whole number exponents.

英語のヒント

いくつかの性質を使って式を簡単にするときに参照できるよう、指数法則を一か所にまとめよう。現段階では、非負整数の指数に対して定義されていることに注意しよう。

Example 6.65例題 6.65

Simplify:

\frac{{(y^{4})}^{2}}{y^{6}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{{(y^{4})}^{2}}{y^{6}}

Solution解答

	$\frac{{(y^{4})}^{2}}{y^{6}}$
Multiply the exponents in the numerator. 分子の指数を掛ける。	$\frac{y^{8}}{y^{6}}$
Subtract the exponents. 指数を引く。	$y^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.66例題 6.66

Simplify:

\frac{b^{12}}{{(b^{2})}^{6}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{b^{12}}{{(b^{2})}^{6}}

Solution解答

	$\frac{b^{12}}{{(b^{2})}^{6}}$
Multiply the exponents in the numerator. 分子の指数を掛ける。	$\frac{b^{12}}{b^{12}}$
Subtract the exponents. 指数を引く。	$b^{0}$
Simplify. 簡単にする。	$1$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.67例題 6.67

Simplify:

{(\frac{y^{9}}{y^{4}})}^{2} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

{(\frac{y^{9}}{y^{4}})}^{2}

Solution解答

	${(\frac{y^{9}}{y^{4}})}^{2}$
Remember parentheses come before exponents. Notice the bases are the same, so we can simplify inside the parentheses. Subtract the exponents. 累乗より先に括弧の中を計算する。底が同じなので、括弧内を簡単にできる。指数を引く。	${(y^{5})}^{2}$
Multiply the exponents. 指数どうしを掛ける。	$y^{10}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.68例題 6.68

Simplify:

{(\frac{j^{2}}{k^{3}})}^{4} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

{(\frac{j^{2}}{k^{3}})}^{4}

Solution解答

Here we cannot simplify inside the parentheses first, since the bases are not the same.

英語のヒント

ここでは底が異なるので、括弧内を先に簡単にすることはできない。

	${(\frac{j^{2}}{k^{3}})}^{4}$
Raise the numerator and denominator to the fourth power using the Quotient to a Power Property, ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$ . 商の累乗の法則 ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$ を使って、分子と分母を4乗する。
Use the Power Property and simplify. 累乗の累乗の性質を使って、式を簡単にする。	$\frac{j^{8}}{k^{12}}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.69例題 6.69

Simplify:

{(\frac{2 m^{2}}{5 n})}^{4} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

{(\frac{2 m^{2}}{5 n})}^{4}

Solution解答

	${(\frac{2 m^{2}}{5 n})}^{4}$
Raise the numberator and denominator to the fourth power, using the Quotient to a Power Property, ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$ . 商の累乗の法則 ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$ を使って、分子と分母を4乗する。	$\frac{{(2 m^{2})}^{4}}{{(5 n)}^{4}}$
Raise each factor to the fourth power. 各因数を4乗する。	$\frac{{(2 m^{2})}^{4}}{{(5 n)}^{4}}$
Use the Power Property and simplify. 累乗の累乗の性質を使って、式を簡単にする。	$\frac{16 m^{8}}{625 n^{4}}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.70例題 6.70

Simplify:

\frac{{(x^{3})}^{4} {(x^{2})}^{5}}{{(x^{6})}^{5}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{{(x^{3})}^{4} {(x^{2})}^{5}}{{(x^{6})}^{5}}

Solution解答

	$\frac{{(x^{3})}^{4} {(x^{2})}^{5}}{{(x^{6})}^{5}}$
Use the Power Property, ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ . 累乗の累乗の法則 ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ を使う。	$\frac{(x^{12}) (x^{10})}{(x^{30})}$
Add the exponents in the numerator. 分子の指数を足す。	$\frac{x^{22}}{x^{30}}$
Use the Quotient Property, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ . 同じ底の累乗の商の性質 $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ を使う。	$\frac{1}{x^{8}}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.71例題 6.71

Simplify:

\frac{{(10 p^{3})}^{2}}{{(5 p)}^{3} {(2 p^{5})}^{4}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{{(10 p^{3})}^{2}}{{(5 p)}^{3} {(2 p^{5})}^{4}}

Solution解答

	$\frac{{(10 p^{3})}^{2}}{{(5 p)}^{3} {(2 p^{5})}^{4}}$
Use the Product to a Power Property, ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$ . 積の累乗の法則 ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$ を使う。	$\frac{{(10)}^{2} {(p^{3})}^{2}}{{(5)}^{3} {(p)}^{3} {(2)}^{4} {(p^{5})}^{4}}$
Use the Power Property, ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ . 累乗の累乗の法則 ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ を使う。	$\frac{100 p^{6}}{125 p^{3} \cdot 16 p^{20}}$
Add the exponents in the denominator. 分母の指数を足す。	$\frac{100 p^{6}}{125 \cdot 16 p^{23}}$
Use the Quotient Property, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ . 同じ底の累乗の商の性質 $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ を使う。	$\frac{100}{125 \cdot 16 p^{17}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{20 p^{17}}$

Try It (2)確認問題（2題）

Product Property 同じ底の累乗の積の法則	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
Power Property 累乗の累乗の法則	${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$
Product to a Power 積の累乗の法則	${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$
Quotient Property 同じ底の累乗の商の法則	$\begin{matrix} \frac{a^{m}}{a^{n}} & = & a^{m - n}, a \neq 0, m > n \\ \frac{a^{m}}{a^{n}} & = & \frac{1}{a^{n - m}}, a \neq 0, n > m \end{matrix}$
Zero Exponent Definition 指数0の定義	$a^{o} = 1, a \neq 0$
Quotient to a Power Property 商の累乗の法則	${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$