第6章多項式

Simplify Expressions Using the Power Property for Exponents累乗の累乗の法則を使って式を簡単にする

Now let’s look at an exponential expression that contains a power raised to a power. See if you can discover a general property.

英語のヒント

次に、累乗をさらに累乗する指数の式を見てみよう。一般に成り立つ性質を見つけられるだろうか。


What does this mean? How many factors altogether? これは何を意味するか。因数は全部で何個あるか。
So we have したがって、次が得られる。
Notice that 6 is the product of the exponents, 2 and 3. 6は、指数2と3の積であることに注目する。

We write:

英語のヒント

次のように書く：

\begin{matrix} {(x^{2})}^{3} \\ x^{2 \cdot 3} \\ x^{6} \end{matrix}

We multiplied the exponents. This leads to the Power Property for Exponents.

英語のヒント

指数どうしを掛けた。ここから、累乗の累乗の性質が得られる。

An example with numbers helps to verify this property.

英語のヒント

数を使った例で、この性質を確かめられる。

\begin{matrix} {(3^{2})}^{3} & \overset{?}{=} & 3^{2 \cdot 3} \\ {(9)}^{3} & \overset{?}{=} & 3^{6} \\ 729 & = & 729 ✓ \end{matrix}

Example 6.22例題 6.22

Simplify: ⓐ

{(y^{5})}^{9}

ⓑ

{(4^{4})}^{7} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(y^{5})}^{9}

ⓑ

{(4^{4})}^{7}

Solution解答

ⓐ


Use the power property, (a^m)ⁿ = a^m·n. 累乗の法則(a^m)ⁿ＝a^m·nを使う。
Simplify. 簡単にする。

ⓑ


Use the power property. 累乗の累乗の法則を使う。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify Expressions Using the Product to a Power Property積の累乗の性質を使って式を簡単にする

We will now look at an expression containing a product that is raised to a power. Can you find this pattern?

英語のヒント

次に、積を累乗した式を見てみよう。どのような規則性が見つかるだろうか。

	${(2 x)}^{3}$
What does this mean? これは何を意味するか。	$2 x \cdot 2 x \cdot 2 x$
We group the like factors together. 同じ因数どうしをまとめる。	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
How many factors of 2 and of $x$ ? 因数2と因数 $x$ は、それぞれ何個あるか。	$2^{3} \cdot x^{3}$

Notice that each factor was raised to the power and

{(2 x)}^{3}

2^{3} \cdot x^{3}

英語のヒント

各因数をそれぞれ累乗して、

{(2 x)}^{3}

が

2^{3} \cdot x^{3}

になっていることに注目しよう。

We write: 次のように書く：	${(2 x)}^{3}$
	$2^{3} \cdot x^{3}$

The exponent applies to each of the factors! This leads to the Product to a Power Property for Exponents.

英語のヒント

指数は、それぞれの因数に作用する。ここから積の累乗の法則が得られる。

An example with numbers helps to verify this property:

英語のヒント

数を使った例で、この性質を確かめられる。

\begin{matrix} {(2 \cdot 3)}^{2} & \overset{?}{=} & 2^{2} \cdot 3^{2} \\ 6^{2} & \overset{?}{=} & 4 \cdot 9 \\ 36 & = & 36 ✓ \end{matrix}

Example 6.23例題 6.23

Simplify: ⓐ

{(−9 d)}^{2}

ⓑ

{(3 m n)}^{3} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(−9 d)}^{2}

ⓑ

{(3 m n)}^{3}

Solution解答

ⓐ

Use Power of a Product Property, (ab)^m = a^mb^m.
積の累乗の法則(ab)^m＝a^mb^mを使う。

Simplify.
簡単にする。
ⓑ

Use Power of a Product Property, (ab)^m = a^mb^m.
積の累乗の法則(ab)^m＝a^mb^mを使う。

Simplify.
簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify Expressions by Applying Several Properties複数の性質を使って式を簡単にする

We now have three properties for multiplying expressions with exponents. Let’s summarize them and then we’ll do some examples that use more than one of the properties.

英語のヒント

指数を含む式の掛け算について、3つの性質が分かった。これらをまとめてから、複数の性質を使う例に取り組もう。

All exponent properties hold true for any real numbers

m and n

. Right now, we only use whole number exponents.

英語のヒント

これらの指数法則は、どのような実数

m と n

についても成り立つ。今のところ、指数には非負整数だけを使う。

Example 6.24例題 6.24

Simplify: ⓐ

{(y^{3})}^{6} {(y^{5})}^{4}

ⓑ

{(−6 x^{4} y^{5})}^{2} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(y^{3})}^{6} {(y^{5})}^{4}

ⓑ

{(−6 x^{4} y^{5})}^{2}

Solution解答

ⓐ	${(y^{3})}^{6} {(y^{5})}^{4}$
Use the Power Property. 累乗の累乗の性質を使う。	$y^{18} \cdot y^{20}$
Add the exponents. 指数を足す。	$y^{38}$
ⓑ	${(−6 x^{4} y^{5})}^{2}$
Use the Product to a Power Property. 積の累乗の法則を使う。	${(−6)}^{2} {(x^{4})}^{2} {(y^{5})}^{2}$
Use the Power Property. 累乗の累乗の性質を使う。	${(−6)}^{2}$
Simplify. 簡単にする。	$36 x^{8} y^{10}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.25例題 6.25

Simplify: ⓐ

{(5 m)}^{2} (3 m^{3})

ⓑ

{(3 x^{2} y)}^{4} {(2 x y^{2})}^{3} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(5 m)}^{2} (3 m^{3})

ⓑ

{(3 x^{2} y)}^{4} {(2 x y^{2})}^{3}

Solution解答

ⓐ	${(5 m)}^{2} (3 m^{3})$
Raise $5 m$ to the second power. $5 m$ を2乗する。	$5^{2} m^{2} \cdot 3 m^{3}$
Simplify. 簡単にする。	$25 m^{2} \cdot 3 m^{3}$
Use the Commutative Property. 交換法則を使う。	$25 \cdot 3 \cdot m^{2} \cdot m^{3}$
Multiply the constants and add the exponents. 定数どうしを掛け、指数を足す。	$75 m^{5}$
ⓑ	${(3 x^{2} y)}^{4} {(2 x y^{2})}^{3}$
Use the Product to a Power Property. 積の累乗の法則を使う。	$(3^{4} x^{8} y^{4}) (2^{3} x^{3} y^{6})$
Simplify. 簡単にする。	$(81 x^{8} y^{4}) (8 x^{3} y^{6})$
Use the Commutative Property. 交換法則を使う。	$81 \cdot 8 \cdot x^{8} \cdot x^{3} \cdot y^{4} \cdot y^{6}$
Multiply the constants and add the exponents. 定数どうしを掛け、指数を足す。	$648 x^{11} y^{10}$

Try It (2)確認問題（2題）

Multiply Monomials単項式の乗法

Since a monomial is an algebraic expression, we can use the properties of exponents to multiply monomials.

英語のヒント

単項式は代数式なので、指数法則を使って単項式どうしを掛けられる。

Example 6.26例題 6.26

Multiply:

(3 x^{2}) (−4 x^{3}) .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

(3 x^{2}) (−4 x^{3})

Solution解答

	$(3 x^{2}) (−4 x^{3})$
Use the Commutative Property to rearrange the terms. 交換法則を使って項を並べ替える。	$3 \cdot (−4) \cdot x^{2} \cdot x^{3}$
Multiply. 掛ける。	$−12 x^{5}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.27例題 6.27

Multiply:

(\frac{5}{6} x^{3} y) (12 x y^{2}) .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

(\frac{5}{6} x^{3} y) (12 x y^{2})

Solution解答

	$(\frac{5}{6} x^{3} y) (12 x y^{2})$
Use the Commutative Property to rearrange the terms. 交換法則を使って項を並べ替える。	$\frac{5}{6} \cdot 12 \cdot x^{3} \cdot x \cdot y \cdot y^{2}$
Multiply. 掛ける。	$10 x^{4} y^{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Exponential Notation
英語のヒント
指数表記
Properties of Exponents
英語のヒント
指数の性質
- If $a, b$ are real numbers and $m, n$ are whole numbers, then
  $\begin{matrix} Product Property & a^{m} \cdot a^{n} & = & a^{m + n} \\ Power Property & {(a^{m})}^{n} & = & a^{m \cdot n} \\ Product to a Power & {(a b)}^{m} & = & a^{m} b^{m} \end{matrix}$
  英語のヒント
  $a, b$ が実数、 $m, n$ が非負整数ならば、次が成り立つ。 $\begin{matrix} 同じ底の累乗の積の法則 & a^{m} \cdot a^{n} & = & a^{m + n} \\ 累乗の累乗の法則 & {(a^{m})}^{n} & = & a^{m \cdot n} \\ 積の累乗の法則 & {(a b)}^{m} & = & a^{m} b^{m} \end{matrix}$

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 88–97練習問題 88–97

Simplify Expressions with Exponents

英語のヒント

指数を含む式を簡単にする

In the following exercises, simplify each expression with exponents.

英語のヒント

次の練習問題では、指数を含むそれぞれの式を簡単にする。

Exercise 88問題 88

ⓐ

3^{5}

ⓑ

9^{1}

ⓒ

{(\frac{1}{3})}^{2}

ⓓ

{(0.2)}^{4}

Exercise 89問題 89

ⓐ

10^{4}

ⓑ

17^{1}

ⓒ

{(\frac{2}{9})}^{2}

ⓓ

{(0.5)}^{3}

Solution解き方

ⓐ 10,000 ⓑ 17 ⓒ

\frac{4}{81}

ⓓ 0.125

Exercise 90問題 90

ⓐ

2^{6}

ⓑ

14^{1}

ⓒ

{(\frac{2}{5})}^{3}

ⓓ

{(0.7)}^{2}

Exercise 91問題 91

ⓐ

8^{3}

ⓑ

8^{1}

ⓒ

{(\frac{3}{4})}^{3}

ⓓ

{(0.4)}^{3}

Solution解き方

ⓐ 512 ⓑ 8 ⓒ

\frac{27}{64}

ⓓ 0.064

Exercise 92問題 92

ⓐ

{(−6)}^{4}

ⓑ

− 6^{4}

Exercise 93問題 93

ⓐ

{(−2)}^{6}

ⓑ

− 2^{6}

Solution解き方

ⓐ 64 ⓑ

−64

Exercise 94問題 94

ⓐ

− {(\frac{1}{4})}^{4}

ⓑ

{(- \frac{1}{4})}^{4}

Exercise 95問題 95

ⓐ

− {(\frac{2}{3})}^{2}

ⓑ

{(- \frac{2}{3})}^{2}

Solution解き方

ⓐ

- \frac{4}{9}

ⓑ

\frac{4}{9}

Exercise 96問題 96

ⓐ

− {0.5}^{2}

ⓑ

{(−0.5)}^{2}

Exercise 97問題 97

ⓐ

− {0.1}^{4}

ⓑ

{(−0.1)}^{4}

Solution解き方

ⓐ

−0.0001

ⓑ 0.0001

Exercises 98–113練習問題 98–113

Simplify Expressions Using the Product Property for Exponents

英語のヒント

同じ底の累乗の積の法則を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify each expression using the Product Property for Exponents.

英語のヒント

次の各問で、同じ底の累乗の積の法則を使って式を簡単にせよ。

Exercise 98問題 98

d^{3} \cdot d^{6}

Exercise 99問題 99

x^{4} \cdot x^{2}

Solution解き方

x^{6}

Exercise 100問題 100

n^{19} \cdot n^{12}

Exercise 101問題 101

q^{27} \cdot q^{15}

Solution解き方

q^{42}

Exercise 102問題 102

ⓐ

4^{5} \cdot 4^{9}

ⓑ

8^{9} \cdot 8

Exercise 103問題 103

ⓐ

3^{10} \cdot 3^{6}

ⓑ

5 \cdot 5^{4}

Solution解き方

ⓐ

3^{16}

ⓑ

5^{5}

Exercise 104問題 104

ⓐ

y \cdot y^{3}

ⓑ

z^{25} \cdot z^{8}

Exercise 105問題 105

ⓐ

w^{5} \cdot w^{}

ⓑ

u^{41} \cdot u^{53}

Solution解き方

ⓐ

w^{6}

ⓑ

u^{94}

Exercise 106問題 106

w \cdot w^{2} \cdot w^{3}

Exercise 107問題 107

y \cdot y^{3} \cdot y^{5}

Solution解き方

y^{9}

Exercise 108問題 108

a^{4} \cdot a^{3} \cdot a^{9}

Exercise 109問題 109

c^{5} \cdot c^{11} \cdot c^{2}

Solution解き方

c^{18}

Exercise 110問題 110

m^{x} \cdot m^{3}

Exercise 111問題 111

n^{y} \cdot n^{2}

Solution解き方

n^{y + 2}

Exercise 112問題 112

y^{a} \cdot y^{b}

Exercise 113問題 113

x^{p} \cdot x^{q}

Solution解き方

x^{p + q}

Exercises 114–117練習問題 114–117

Simplify Expressions Using the Power Property for Exponents

英語のヒント

累乗の累乗の法則を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify each expression using the Power Property for Exponents.

英語のヒント

次の各問で、累乗の累乗の法則を使って式を簡単にせよ。

Exercise 114問題 114

ⓐ

{(m^{4})}^{2}

ⓑ

{(10^{3})}^{6}

Exercise 115問題 115

ⓐ

{(b^{2})}^{7}

ⓑ

{(3^{8})}^{2}

Solution解き方

ⓐ

b^{14}

ⓑ

3^{16}

Exercise 116問題 116

ⓐ

{(y^{3})}^{x}

ⓑ

{(5^{x})}^{y}

Exercise 117問題 117

ⓐ

{(x^{2})}^{y}

ⓑ

{(7^{a})}^{b}

Solution解き方

ⓐ

x^{2 y}

ⓑ

7^{a b}

Exercises 118–121練習問題 118–121

Simplify Expressions Using the Product to a Power Property

英語のヒント

積の累乗の性質を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify each expression using the Product to a Power Property.

英語のヒント

次の練習問題では、積の累乗の性質を使って、それぞれの式を簡単にする。

Exercise 118問題 118

ⓐ

{(6 a)}^{2}

ⓑ

{(3 x y)}^{2}

Exercise 119問題 119

ⓐ

{(5 x)}^{2}

ⓑ

{(4 a b)}^{2}

Solution解き方

ⓐ

25 x^{2}

ⓑ

16 a^{2} b^{2}

Exercise 120問題 120

ⓐ

{(−4 m)}^{3}

ⓑ

{(5 a b)}^{3}

Exercise 121問題 121

ⓐ

{(−7 n)}^{3}

ⓑ

{(3 x y z)}^{4}

Solution解き方

ⓐ

−343 n^{3}

ⓑ

81 x^{4} y^{4} z^{4}

Exercises 122–132練習問題 122–132

Simplify Expressions by Applying Several Properties

英語のヒント

複数の性質を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify each expression.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの式を簡単にする。

Exercise 122問題 122

ⓐ

{(y^{2})}^{4} \cdot {(y^{3})}^{2}

ⓑ

{(10 a^{2} b)}^{3}

Exercise 123問題 123

ⓐ

{(w^{4})}^{3} \cdot {(w^{5})}^{2}

ⓑ

{(2 x y^{4})}^{5}

Solution解き方

ⓐ

w^{22}

ⓑ

32 x^{5} y^{20}

Exercise 124問題 124

ⓐ

{(−2 r^{3} s^{2})}^{4}

ⓑ

{(m^{5})}^{3} \cdot {(m^{9})}^{4}

Exercise 125問題 125

ⓐ

{(−10 q^{2} p^{4})}^{3}

ⓑ

{(n^{3})}^{10} \cdot {(n^{5})}^{2}

Solution解き方

ⓐ

−1000 q^{6} p^{12}

ⓑ

n^{40}

Exercise 126問題 126

ⓐ

{(3 x)}^{2} (5 x)

ⓑ

{(5 t^{2})}^{3} {(3 t)}^{2}

Exercise 127問題 127

ⓐ

{(2 y)}^{3} (6 y)

ⓑ

{(10 k^{4})}^{3} {(5 k^{6})}^{2}

Solution解き方

ⓐ

48 y^{4}

ⓑ

25,000 k^{24}

Exercise 128問題 128

ⓐ

{(5 a)}^{2} {(2 a)}^{3}

ⓑ

{(\frac{1}{2} y^{2})}^{3} {(\frac{2}{3} y)}^{2}

Exercise 129問題 129

ⓐ

{(4 b)}^{2} {(3 b)}^{3}

ⓑ

{(\frac{1}{2} j^{2})}^{5} {(\frac{2}{5} j^{3})}^{2}

Solution解き方

ⓐ

432 b^{5}

ⓑ

\frac{1}{200} j^{16}

Exercise 130問題 130

ⓐ

{(\frac{2}{5} x^{2} y)}^{3}

ⓑ

{(\frac{8}{9} x y^{4})}^{2}

Exercise 131問題 131

ⓐ

{(2 r^{2})}^{3} {(4 r)}^{2}

ⓑ

{(3 x^{3})}^{3} {(x^{5})}^{4}

Solution解き方

ⓐ

128 r^{8}

ⓑ

{27 x}^{29}

Exercise 132問題 132

ⓐ

{(m^{2} n)}^{2} {(2 m n^{5})}^{4}

ⓑ

{(3 p q^{4})}^{2} {(6 p^{6} q)}^{2}

Exercises 133–144練習問題 133–144

Multiply Monomials

英語のヒント

単項式の乗法

In the following exercises, multiply the monomials.

英語のヒント

次の練習問題では、単項式どうしを掛ける。

Exercise 133問題 133

(6 y^{7}) (−3 y^{4})

Solution解き方

−18 y^{11}

Exercise 134問題 134

(−10 x^{5}) (−3 x^{3})

Exercise 135問題 135

(−8 u^{6}) (−9 u)

Solution解き方

72 u^{7}

Exercise 136問題 136

(−6 c^{4}) (−12 c)

Exercise 137問題 137

(\frac{1}{5} f^{8}) (20 f^{3})

Solution解き方

4 f^{11}

Exercise 138問題 138

(\frac{1}{4} d^{5}) (36 d^{2})

Exercise 139問題 139

(4 a^{3} b) (9 a^{2} b^{6})

Solution解き方

36 a^{5} b^{7}

Exercise 140問題 140

(6 m^{4} n^{3}) (7 m n^{5})

Exercise 141問題 141

(\frac{4}{7} r s^{2}) (14 r s^{3})

Solution解き方

8 r^{2} s^{5}

Exercise 142問題 142

(\frac{5}{8} x^{3} y) (24 x^{5} y)

Exercise 143問題 143

(\frac{2}{3} x^{2} y) (\frac{3}{4} x y^{2})

Solution解き方

\frac{1}{2} x^{3} y^{3}

Exercise 144問題 144

(\frac{3}{5} m^{3} n^{2}) (\frac{5}{9} m^{2} n^{3})

Exercises 145–164練習問題 145–164

Mixed Practice

英語のヒント

総合練習

In the following exercises, simplify each expression.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの式を簡単にする。

Exercise 145問題 145

{(x^{2})}^{4} \cdot {(x^{3})}^{2}

Solution解き方

x^{14}

Exercise 146問題 146

{(y^{4})}^{3} \cdot {(y^{5})}^{2}

Exercise 147問題 147

{(a^{2})}^{6} \cdot {(a^{3})}^{8}

Solution解き方

a^{36}

Exercise 148問題 148

{(b^{7})}^{5} \cdot {(b^{2})}^{6}

Exercise 149問題 149

{(2 m^{6})}^{3}

Solution解き方

8 m^{18}

Exercise 150問題 150

{(3 y^{2})}^{4}

Exercise 151問題 151

{(10 x^{2} y)}^{3}

Solution解き方

1000 x^{6} y^{3}

Exercise 152問題 152

{(2 m n^{4})}^{5}

Exercise 153問題 153

{(−2 a^{3} b^{2})}^{4}

Solution解き方

16 a^{12} b^{8}

Exercise 154問題 154

{(−10 u^{2} v^{4})}^{3}

Exercise 155問題 155

{(\frac{2}{3} x^{2} y)}^{3}

Solution解き方

\frac{8}{27} x^{6} y^{3}

Exercise 156問題 156

{(\frac{7}{9} p q^{4})}^{2}

Exercise 157問題 157

{(8 a^{3})}^{2} {(2 a)}^{4}

Solution解き方

1024 a^{10}

Exercise 158問題 158

{(5 r^{2})}^{3} {(3 r)}^{2}

Exercise 159問題 159

{(10 p^{4})}^{3} {(5 p^{6})}^{2}

Solution解き方

25000 p^{24}

Exercise 160問題 160

{(4 x^{3})}^{3} {(2 x^{5})}^{4}

Exercise 161問題 161

{(\frac{1}{2} x^{2} y^{3})}^{4} {(4 x^{5} y^{3})}^{2}

Solution解き方

x^{18} y^{18}

Exercise 162問題 162

{(\frac{1}{3} m^{3} n^{2})}^{4} {(9 m^{8} n^{3})}^{2}

Exercise 163問題 163

{(3 m^{2} n)}^{2} {(2 m n^{5})}^{4}

Solution解き方

144 m^{8} n^{22}

Exercise 164問題 164

{(2 p q^{4})}^{3} {(5 p^{6} q)}^{2}

Product Property 同じ底の累乗の積の法則	$\begin{matrix} a^{m} \cdot a^{n} & = & a^{m + n} \end{matrix}$
Power Property 累乗の累乗の法則	$\begin{matrix} {(a^{m})}^{n} & = & a^{m \cdot n} \end{matrix}$
Product to a Power 積の累乗の法則	$\begin{matrix} {(a b)}^{m} & = & a^{m} b^{m} \end{matrix}$


Use Power of a Product Property, (ab)^m = a^mb^m. 積の累乗の法則(ab)^m＝a^mb^mを使う。
Simplify. 簡単にする。