第6章多項式

Key Concepts重要な概念

Monomials
英語のヒント
単項式
- A monomial is a term of the form $a x^{m}$ , where $a$ is a constant and $m$ is a whole number
  英語のヒント
  単項式とは、 $a x^{m}$ の形の項で、 $a$ は定数、 $m$ は非負整数である。
Polynomials
英語のヒント
多項式
- polynomial—A monomial, or two or more monomials combined by addition or subtraction is a polynomial.
  英語のヒント
  多項式――一つの単項式、または二つ以上の単項式を足し算や引き算で結んだ式を多項式という。
- monomial—A polynomial with exactly one term is called a monomial.
  英語のヒント
  単項式――項がちょうど一つの多項式を単項式という。
- binomial—A polynomial with exactly two terms is called a binomial.
  英語のヒント
  二項式――項がちょうど二つの多項式を二項式という。
- trinomial—A polynomial with exactly three terms is called a trinomial.
  英語のヒント
  三項式――項がちょうど三つの多項式を三項式という。
Degree of a Polynomial
英語のヒント
多項式の次数
- The degree of a term is the sum of the exponents of its variables.
  英語のヒント
  項の次数は、その項に含まれる変数の指数の和である。
- The degree of a constant is 0.
  英語のヒント
  定数の次数は0である。
- The degree of a polynomial is the highest degree of all its terms.
  英語のヒント
  多項式の次数は、すべての項の次数のうち最大のものである。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 1–4練習問題 1–4

Identify Polynomials, Monomials, Binomials, and Trinomials

英語のヒント

多項式・単項式・二項式・三項式を見分ける

In the following exercises, determine if each of the following polynomials is a monomial, binomial, trinomial, or other polynomial.

英語のヒント

次の練習問題では、各多項式が単項式・二項式・三項式、またはそれ以外の多項式のどれかを判定する。

Exercise 1問題 1

ⓐ

81 b^{5} - 24 b^{3} + 1

ⓑ

5 c^{3} + 11 c^{2} - c - 8

ⓒ

\frac{14}{15} y + \frac{1}{7}

ⓓ 5
ⓔ

4 y + 17

Solution解き方

ⓐ trinomial ⓑ polynomial ⓒ binomial ⓓ monomial ⓔ binomial

英語のヒント

ⓐ 三項式　ⓑ 多項式　ⓒ 二項式　ⓓ 単項式　ⓔ 二項式

Exercise 2問題 2

ⓐ

x^{2} - y^{2}

ⓑ

−13 c^{4}

ⓒ

x^{2} + 5 x - 7

ⓓ

x^{2} y^{2} - 2 x y + 8

ⓔ 19

Exercise 3問題 3

ⓐ

8 - 3 x

ⓑ

z^{2} - 5 z - 6

ⓒ

y^{3} - 8 y^{2} + 2 y - 16

ⓓ

81 b^{5} - 24 b^{3} + 1

ⓔ

−18

Solution解き方

ⓐ binomial ⓑ trinomial ⓒ polynomial ⓓ trinomial ⓔ monomial

英語のヒント

ⓐ 二項式　ⓑ 三項式　ⓒ 多項式　ⓓ 三項式　ⓔ 単項式

Exercise 4問題 4

ⓐ

11 y^{2}

ⓑ

−73

ⓒ

6 x^{2} - 3 x y + 4 x - 2 y + y^{2}

ⓓ

4 y + 17

ⓔ

5 c^{3} + 11 c^{2} - c - 8

Exercises 5–8練習問題 5–8

Determine the Degree of Polynomials

英語のヒント

多項式の次数を求める

In the following exercises, determine the degree of each polynomial.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの多項式の次数を求める。

Exercise 5問題 5

ⓐ

6 a^{2} + 12 a + 14

ⓑ

18 x y^{2} z

ⓒ

5 x + 2

ⓓ

y^{3} - 8 y^{2} + 2 y - 16

ⓔ

−24

Solution解き方

ⓐ 2 ⓑ 4 ⓒ 1 ⓓ 3 ⓔ 0

Exercise 6問題 6

ⓐ

9 y^{3} - 10 y^{2} + 2 y - 6

ⓑ

−12 p^{4}

ⓒ

a^{2} + 9 a + 18

ⓓ

20 x^{2} y^{2} - 10 a^{2} b^{2} + 30

ⓔ 17

Exercise 7問題 7

ⓐ

14 - 29 x

ⓑ

z^{2} - 5 z - 6

ⓒ

y^{3} - 8 y^{2} + 2 y - 16

ⓓ

23 a b^{2} - 14

ⓔ

−3

Solution解き方

ⓐ 1 ⓑ 2 ⓒ 3 ⓓ 3 ⓔ 0

Exercise 8問題 8

ⓐ

62 y^{2}

ⓑ 15 ⓒ

6 x^{2} - 3 x y + 4 x - 2 y + y^{2}

ⓓ

10 - 9 x

ⓔ

m^{4} + 4 m^{3} + 6 m^{2} + 4 m + 1

Exercises 9–32練習問題 9–32

Add and Subtract Monomials

英語のヒント

単項式の加法と減法

In the following exercises, add or subtract the monomials.

英語のヒント

次の練習問題では、単項式の足し算または引き算をする。

Exercise 9問題 9

{7x}^{2} + 5 x^{2}

Solution解き方

12 x^{2}

Exercise 10問題 10

{4y}^{3} + 6 y^{3}

Exercise 11問題 11

−12 w + 18 w

Solution解き方

6 w

Exercise 12問題 12

−3 m + 9 m

Exercise 13問題 13

4a - 9 a

Solution解き方

−5 a

Exercise 14問題 14

− y - 5 y

Exercise 15問題 15

28 x - (−12 x)

Solution解き方

40 x

Exercise 16問題 16

13 z - (−4 z)

Exercise 17問題 17

−5 b - 17 b

Solution解き方

−22 b

Exercise 18問題 18

−10 x - 35 x

Exercise 19問題 19

12 a + 5 b - 22 a

Solution解き方

−10a + 5 b

Exercise 20問題 20

14x - 3 y - 13 x

Exercise 21問題 21

2 a^{2} + b^{2} - 6 a^{2}

Solution解き方

−4 a^{2} + b^{2}

Exercise 22問題 22

5 u^{2} + 4 v^{2} - 6 u^{2}

Exercise 23問題 23

x y^{2} - 5 x - 5 y^{2}

Solution解き方

x y^{2} - 5 x - 5 y^{2}

Exercise 24問題 24

p q^{2} - 4 p - 3 q^{2}

Exercise 25問題 25

a^{2} b - 4 a - 5 a b^{2}

Solution解き方

a^{2} b - 4 a - 5 a b^{2}

Exercise 26問題 26

x^{2} y - 3 x + 7 x y^{2}

Exercise 27問題 27

12a + 8 b

Solution解き方

12a + 8 b

Exercise 28問題 28

19y + 5 z

Exercise 29問題 29

Add:

4 a, −3 b, −8 a

英語のヒント

次の加法を計算する：

4 a, −3 b, −8 a

Solution解き方

−4 a - 3 b

Exercise 30問題 30

Add:

4x, 3 y, −3 x

英語のヒント

次の加法を計算する：

4x, 3 y, −3 x

Exercise 31問題 31

Subtract

5 x^{6} from - 12 x^{6}

英語のヒント

次の引き算をせよ。

5 x^{6} 引く元の数： - 12 x^{6}

。

Solution解き方

−17 x^{6}

Exercise 32問題 32

Subtract

2 p^{4} from - 7 p^{4}

英語のヒント

次の引き算をせよ。

2 p^{4} 引く元の数： - 7 p^{4}

。

Exercises 33–70練習問題 33–70

Add and Subtract Polynomials

英語のヒント

多項式の加法と減法

In the following exercises, add or subtract the polynomials.

英語のヒント

次の練習問題では、多項式の足し算または引き算をする。

Exercise 33問題 33

(5 y^{2} + 12 y + 4) + (6 y^{2} - 8 y + 7)

Solution解き方

11 y^{2} + 4 y + 11

Exercise 34問題 34

(4 y^{2} + 10 y + 3) + (8 y^{2} - 6 y + 5)

Exercise 35問題 35

(x^{2} + 6 x + 8) + (−4 x^{2} + 11 x - 9)

Solution解き方

−3 x^{2} + 17 x - 1

Exercise 36問題 36

(y^{2} + 9 y + 4) + (−2 y^{2} - 5 y - 1)

Exercise 37問題 37

(8 x^{2} - 5 x + 2) + (3 x^{2} + 3)

Solution解き方

11 x^{2} - 5 x + 5

Exercise 38問題 38

(7 x^{2} - 9 x + 2) + (6 x^{2} - 4)

Exercise 39問題 39

(5 a^{2} + 8) + (a^{2} - 4 a - 9)

Solution解き方

6 a^{2} - 4 a - 1

Exercise 40問題 40

(p^{2} - 6 p - 18) + (2 p^{2} + 11)

Exercise 41問題 41

(4 m^{2} - 6 m - 3) - (2 m^{2} + m - 7)

Solution解き方

2 m^{2} - 7 m + 4

Exercise 42問題 42

(3 b^{2} - 4 b + 1) - (5 b^{2} - b - 2)

Exercise 43問題 43

(a^{2} + 8 a + 5) - (a^{2} - 3 a + 2)

Solution解き方

11 a + 3

Exercise 44問題 44

(b^{2} - 7 b + 5) - (b^{2} - 2 b + 9)

Exercise 45問題 45

(12 s^{2} - 15 s) - (s - 9)

Solution解き方

12 s^{2} - 16 s + 9

Exercise 46問題 46

(10 r^{2} - 20 r) - (r - 8)

Exercise 47問題 47

Subtract

(9 x^{2} + 2)

from

(12 x^{2} - x + 6)

英語のヒント

(12 x^{2} - x + 6)

から

(9 x^{2} + 2)

を引け。

Solution解き方

3 x^{2} - x + 4

Exercise 48問題 48

Subtract

(5 y^{2} - y + 12)

from

(10 y^{2} - 8 y - 20)

英語のヒント

(10 y^{2} - 8 y - 20)

から

(5 y^{2} - y + 12)

を引け。

Exercise 49問題 49

Subtract

(7 w^{2} - 4 w + 2)

from

(8 w^{2} - w + 6)

英語のヒント

(8 w^{2} - w + 6)

から

(7 w^{2} - 4 w + 2)

を引け。

Solution解き方

w^{2} + 3 w + 4

Exercise 50問題 50

Subtract

(5 x^{2} - x + 12)

from

(9 x^{2} - 6 x - 20)

英語のヒント

(9 x^{2} - 6 x - 20)

から

(5 x^{2} - x + 12)

を引け。

Exercise 51問題 51

Find the sum of

(2 p^{3} - 8)

and

(p^{2} + 9 p + 18)

英語のヒント

(2 p^{3} - 8)

と

(p^{2} + 9 p + 18)

の和を求めよ。

Solution解き方

2 p^{3} + p^{2} + 9 p + 10

Exercise 52問題 52

Find the sum of

(q^{2} + 4 q + 13)

and

(7 q^{3} - 3)

英語のヒント

(q^{2} + 4 q + 13)

と

(7 q^{3} - 3)

の和を求めよ。

Exercise 53問題 53

Find the sum of

(8 a^{3} - 8 a)

and

(a^{2} + 6 a + 12)

英語のヒント

(8 a^{3} - 8 a)

と

(a^{2} + 6 a + 12)

の和を求めよ。

Solution解き方

8 a^{3} + a^{2} - 2 a + 12

Exercise 54問題 54

Find the sum of

(b^{2} + 5 b + 13)

and

(4 b^{3} - 6)

英語のヒント

(b^{2} + 5 b + 13)

と

(4 b^{3} - 6)

の和を求めよ。

Exercise 55問題 55

Find the difference of

(w^{2} + w - 42)

and

(w^{2} - 10 w + 24)

英語のヒント

(w^{2} + w - 42)

と

(w^{2} - 10 w + 24)

の差を求めよ。

Solution解き方

11 w - 66

Exercise 56問題 56

Find the difference of

(z^{2} - 3 z - 18)

and

(z^{2} + 5 z - 20)

英語のヒント

(z^{2} - 3 z - 18)

と

(z^{2} + 5 z - 20)

の差を求めよ。

Exercise 57問題 57

Find the difference of

(c^{2} + 4 c - 33)

and

(c^{2} - 8 c + 12)

英語のヒント

(c^{2} + 4 c - 33)

と

(c^{2} - 8 c + 12)

の差を求めよ。

Solution解き方

12 c - 45

Exercise 58問題 58

Find the difference of

(t^{2} - 5 t - 15)

and

(t^{2} + 4 t - 17)

英語のヒント

(t^{2} - 5 t - 15)

と

(t^{2} + 4 t - 17)

の差を求めよ。

Exercise 59問題 59

(7 x^{2} - 2 x y + 6 y^{2}) + (3 x^{2} - 5 x y)

Solution解き方

10 x^{2} - 7 x y + 6 y^{2}

Exercise 60問題 60

(−5 x^{2} - 4 x y - 3 y^{2}) + (2 x^{2} - 7 x y)

Exercise 61問題 61

(7 m^{2} + m n - 8 n^{2}) + (3 m^{2} + 2 m n)

Solution解き方

10 m^{2} + 3 m n - 8 n^{2}

Exercise 62問題 62

(2 r^{2} - 3 r s - 2 s^{2}) + (5 r^{2} - 3 r s)

Exercise 63問題 63

(a^{2} - b^{2}) - (a^{2} + 3 a b - 4 b^{2})

Solution解き方

−3 a b + 3 b^{2}

Exercise 64問題 64

(m^{2} + 2 n^{2}) - (m^{2} - 8 m n - n^{2})

Exercise 65問題 65

(u^{2} - v^{2}) - (u^{2} - 4 u v - 3 v^{2})

Solution解き方

4 u v + 2 v^{2}

Exercise 66問題 66

(j^{2} - k^{2}) - (j^{2} - 8 j k - 5 k^{2})

Exercise 67問題 67

(p^{3} - 3 p^{2} q) + (2 p q^{2} + 4 q^{3}) - (3 p^{2} q + p q^{2})

Solution解き方

p^{3} - 6 p^{2} q + p q^{2} + 4 q^{3}

Exercise 68問題 68

(a^{3} - 2 a^{2} b) + (a b^{2} + b^{3}) - (3 a^{2} b + 4 a b^{2})

Exercise 69問題 69

(x^{3} - x^{2} y) - (4 x y^{2} - y^{3}) + (3 x^{2} y - x y^{2})

Solution解き方

x^{3} + 2 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3}

Exercise 70問題 70

(x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2} - 3 y^{3}) - (x^{2} y - 4 x y^{2})

Exercises 71–78練習問題 71–78

Evaluate a Polynomial for a Given Value

英語のヒント

与えられた値に対する多項式の値を求める

In the following exercises, evaluate each polynomial for the given value.

英語のヒント

次の練習問題では、与えられた値に対する各多項式の値を求める。

Exercise 71問題 71

Evaluate

8 y^{2} - 3 y + 2

when:

英語のヒント

次の値のとき、

8 y^{2} - 3 y + 2

の値を求めよ。

ⓐ

y = 5

ⓑ

y = −2

ⓒ

y = 0

Solution解き方

ⓐ 187 ⓑ 40 ⓒ 2

Exercise 72問題 72

Evaluate

5 y^{2} - y - 7

when:

英語のヒント

次の値のとき、

5 y^{2} - y - 7

の値を求めよ。

ⓐ

y = −4

ⓑ

y = 1

ⓒ

y = 0

Exercise 73問題 73

Evaluate

4 - 36 x

when:

英語のヒント

次の値のとき、

4 - 36 x

の値を求めよ。

ⓐ

x = 3

ⓑ

x = 0

ⓒ

x = −1

Solution解き方

Exercise 74問題 74

Evaluate

16 - 36 x^{2}

when:

英語のヒント

次の値のとき、

16 - 36 x^{2}

の値を求めよ。

ⓐ

x = −1

ⓑ

x = 0

ⓒ

x = 2

Exercise 75問題 75

A painter drops a brush from a platform 75 feet high. The polynomial

−16 t^{2} + 75

gives the height of the brush

t

seconds after it was dropped. Find the height after

t = 2

seconds.

英語のヒント

塗装工が高さ75フィートの足場から刷毛を落とした。落として

t

秒後の刷毛の高さは、多項式

−16 t^{2} + 75

で表される。

t = 2

秒後の高さを求めよ。

Solution解き方

Exercise 76問題 76

A girl drops a ball off a cliff into the ocean. The polynomial

−16 t^{2} + 250

gives the height of a ball

t

seconds after it is dropped from a 250-foot tall cliff. Find the height after

t = 2

seconds.

英語のヒント

少女が高さ250フィートの崖から海に向かってボールを落とす。落として

t

秒後のボールの高さは、多項式

−16 t^{2} + 250

で表される。

t = 2

秒後の高さを求めよ。

Exercise 77問題 77

A manufacturer of stereo sound speakers has found that the revenue received from selling the speakers at a cost of p dollars each is given by the polynomial

−4 p^{2} + 420 p .

Find the revenue received when

p = 60

dollars.

英語のヒント

ステレオスピーカーの製造業者は、1台pドルで販売したときの売上が、多項式

−4 p^{2} + 420 p

で表されることを見いだした。

p = 60

ドルのときの売上を求めよ。

Solution解き方

$10,800

Exercise 78問題 78

A manufacturer of the latest basketball shoes has found that the revenue received from selling the shoes at a cost of p dollars each is given by the polynomial

−4 p^{2} + 420 p .

Find the revenue received when

p = 90

dollars.

英語のヒント

最新のバスケットボールシューズの製造業者は、1足pドルで販売したときの売上が、多項式

−4 p^{2} + 420 p

で表されることを見いだした。

p = 90

ドルのときの売上を求めよ。