第6章多項式

6.6 Divide Polynomials6.6　多項式の割り算

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Divide a polynomial by a monomial
英語のヒント
多項式を単項式で割る
Divide a polynomial by a binomial
英語のヒント
多項式を二項式で割る

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Divide a Polynomial by a Monomial多項式を単項式で割る

In the last section, you learned how to divide a monomial by a monomial. As you continue to build up your knowledge of polynomials the next procedure is to divide a polynomial of two or more terms by a monomial.

英語のヒント

前節では、単項式を単項式で割る方法を学んだ。多項式の知識を積み上げる次の段階は、二つ以上の項を持つ多項式を単項式で割ることである。

The method we’ll use to divide a polynomial by a monomial is based on the properties of fraction addition. So we’ll start with an example to review fraction addition.

英語のヒント

多項式を単項式で割る方法は、分数の足し算の性質に基づいている。そこで、まず分数の足し算を復習する例から始めよう。

Table 6.2表 6.2
The sum, 次の和は、	$\frac{y}{5} + \frac{2}{5},$
simplifies to 次のように簡単にできる。	$\frac{y + 2}{5} .$

Now we will do this in reverse to split a single fraction into separate fractions.

英語のヒント

今度はこれを逆に行い、一つの分数を別々の分数に分ける。

We’ll state the fraction addition property here just as you learned it and in reverse.

英語のヒント

分数の足し算の性質を、学んだ向きと、その逆向きで示す。

We use the form on the left to add fractions and we use the form on the right to divide a polynomial by a monomial.

英語のヒント

左側の形は分数を足すときに使い、右側の形は多項式を単項式で割るときに使う。

Table 6.3表 6.3
For example, 例えば、	$\frac{y + 2}{5}$
can be written 次のように書ける。	$\frac{y}{5} + \frac{2}{5} .$

We use this form of fraction addition to divide polynomials by monomials.

英語のヒント

この形の分数の足し算の性質を使って、多項式を単項式で割る。

Example 6.77例題 6.77

Find the quotient:

\frac{7 y^{2} + 21}{7} .

英語のヒント

商を求める：

\frac{7 y^{2} + 21}{7}

Solution解答

	$\frac{7 y^{2} + 21}{7}$
Divide each term of the numerator by the denominator. 分子の各項を分母で割る。	$\frac{7 y^{2}}{7} + \frac{21}{7}$
Simplify each fraction. 各分数を簡単にする。	$y^{2} + 3$

Try It (2)確認問題（2題）

Remember that division can be represented as a fraction. When you are asked to divide a polynomial by a monomial and it is not already in fraction form, write a fraction with the polynomial in the numerator and the monomial in the denominator.

英語のヒント

割り算は分数で表せることを思い出そう。多項式を単項式で割る問題が分数の形になっていなければ、多項式を分子、単項式を分母にして書く。

Example 6.78例題 6.78

Find the quotient:

(18 x^{3} - 36 x^{2}) \div 6 x .

英語のヒント

商を求める：

(18 x^{3} - 36 x^{2}) \div 6 x

Solution解答

	$(18 x^{3} - 36 x^{2}) \div 6 x$
Rewrite as a fraction. 分数として書き直す。	$\frac{18 x^{3} - 36 x^{2}}{6 x}$
Divide each term of the numerator by the denominator. 分子の各項を分母で割る。	$\frac{18 x^{3}}{6 x} - \frac{36 x^{2}}{6 x}$
Simplify. 簡単にする。	$3 x^{2} - 6 x$

Try It (2)確認問題（2題）

When we divide by a negative, we must be extra careful with the signs.

英語のヒント

負の数で割るときは、符号に特に注意しなければならない。

Example 6.79例題 6.79

Find the quotient:

\frac{12 d^{2} - 16 d}{−4} .

英語のヒント

商を求める：

\frac{12 d^{2} - 16 d}{−4}

Solution解答

	$\frac{12 d^{2} - 16 d}{−4}$
Divide each term of the numerator by the denominator. 分子の各項を分母で割る。	$\frac{12 d^{2}}{−4} - \frac{16 d}{−4}$
Simplify. Remember, subtracting a negative is like adding a positive! 簡単にする。負の数を引くことは、正の数を足すことと同じである。	$−3 d^{2} + 4 d$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.80例題 6.80

Find the quotient:

\frac{105 y^{5} + 75 y^{3}}{5 y^{2}} .

英語のヒント

商を求める：

\frac{105 y^{5} + 75 y^{3}}{5 y^{2}}

Solution解答

	$\frac{105 y^{5} + 75 y^{3}}{5 y^{2}}$
Separate the terms. 項ごとに分ける。	$\frac{105 y^{5}}{5 y^{2}} + \frac{75 y^{3}}{5 y^{2}}$
Simplify. 簡単にする。	$21 y^{3} + 15 y$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.81例題 6.81

Find the quotient:

(15 x^{3} y - 35 x y^{2}) \div (−5 x y) .

英語のヒント

商を求める：

(15 x^{3} y - 35 x y^{2}) \div (−5 x y)

Solution解答

	$(15 x^{3} y - 35 x y^{2}) \div (−5 x y)$
Rewrite as a fraction. 分数として書き直す。	$\frac{15 x^{3} y - 35 x y^{2}}{−5 x y}$
Separate the terms. 項ごとに分ける。	$\frac{15 x^{3} y}{−5 x y} - \frac{35 x y^{2}}{−5 x y}$
Simplify. 簡単にする。	$−3 x^{2} + 7 y$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.82例題 6.82

Find the quotient:

\frac{36 x^{3} y^{2} + 27 x^{2} y^{2} - 9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y} .

英語のヒント

商を求める：

\frac{36 x^{3} y^{2} + 27 x^{2} y^{2} - 9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}

Solution解答

	$\frac{36 x^{3} y^{2} + 27 x^{2} y^{2} - 9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}$
Separate the terms. 項ごとに分ける。	$\frac{36 x^{3} y^{2}}{9 x^{2} y} + \frac{27 x^{2} y^{2}}{9 x^{2} y} - \frac{9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}$
Simplify. 簡単にする。	$4 x y + 3 y - y^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.83例題 6.83

Find the quotient:

\frac{10 x^{2} + 5 x - 20}{5 x} .

英語のヒント

商を求める：

\frac{10 x^{2} + 5 x - 20}{5 x}

Solution解答

	$\frac{10 x^{2} + 5 x - 20}{5 x}$
Separate the terms. 項ごとに分ける。	$\frac{10 x^{2}}{5 x} + \frac{5 x}{5 x} - \frac{20}{5 x}$
Simplify. 簡単にする。	$2 x + 1 - \frac{4}{x}$

Try It (2)確認問題（2題）

Divide a Polynomial by a Binomial多項式を二項式で割る

To divide a polynomial by a binomial, we follow a procedure very similar to long division of numbers. So let’s look carefully the steps we take when we divide a 3-digit number, 875, by a 2-digit number, 25.

英語のヒント

多項式を二項式で割る手順は、数の割り算の筆算によく似ている。3桁の数875を2桁の数25で割るときの手順を、詳しく見てみよう。

We write the long division 割り算の筆算を書く。
We divide the first two digits, 87, by 25. 最初の2桁87を25で割る。
We multiply 3 times 25 and write the product under the 87. 3に25を掛け、積を87の下に書く。
Now we subtract 75 from 87. 87から75を引く。
Then we bring down the third digit of the dividend, 5. 割られる数の3桁目、5を下ろす。
Repeat the process, dividing 25 into 125. 同じ手順を繰り返し、125を25で割る。

We check division by multiplying the quotient by the divisor.

英語のヒント

商に割る数を掛けて、割り算を確かめる。

If we did the division correctly, the product should equal the dividend.

英語のヒント

正しく割り算できていれば、その積は割られる数に等しくなる。

\begin{matrix} 35 \cdot 25 \\ 875 ✓ \end{matrix}

Now we will divide a trinomial by a binomial. As you read through the example, notice how similar the steps are to the numerical example above.

英語のヒント

次に、三項式を二項式で割る。例を読みながら、手順が上の数値例とどれほど似ているかに注目しよう。

Example 6.84例題 6.84

Find the quotient:

(x^{2} + 9 x + 20) \div (x + 5) .

英語のヒント

商を求める：

(x^{2} + 9 x + 20) \div (x + 5)

Solution解答


Write it as a long division problem. 割り算の筆算の形に書く。
Be sure the dividend is in standard form. 割られる式が標準形になっていることを確かめる。
Divide x² by x. It may help to ask yourself, "What do I need to multiply x by to get x²?" x²をxで割る。「xに何を掛ければx²になるか」と考えるとよい。
Put the answer, x, in the quotient over the x term. 答えのxを、xの項の上の商の位置に書く。
Multiply x times x + 5. Line up the like terms under the dividend. xにx＋5を掛ける。同類項がそろうように、割られる式の下に書く。
Subtract x² + 5x from x² + 9x. x²＋9xからx²＋5xを引く。
Then bring down the last term, 20. 最後の項20を下ろす。
Divide 4x by x. It may help to ask yourself, "What do I need to multiply x by to get 4x?" 4xをxで割る。「xに何を掛ければ4xになるか」と考えるとよい。
Put the answer, 4, in the quotient over the constant term. 答えの4を、定数項の上の商の位置に書く。
Multiply 4 times x + 5. 4にx＋5を掛ける。
Subtract 4x + 20 from 4x + 20. 4x＋20から4x＋20を引く。
Check: 確認：
Multiply the quotient by the divisor. 商に割る式を掛ける。
(x + 4)(x + 5) (x＋4)(x＋5)
You should get the dividend. 割られる式が得られるはずである。
x² + 9x + 20✓ x²＋9x＋20 ✓

Try It (2)確認問題（2題）

When the divisor has subtraction sign, we must be extra careful when we multiply the partial quotient and then subtract. It may be safer to show that we change the signs and then add.

英語のヒント

割る式に引き算の符号があるときには、途中の商を掛けてから引く際に、特に注意しなければならない。符号を変えてから足すことを明示すると、間違いを防ぎやすい。

Example 6.85例題 6.85

Find the quotient:

(2 x^{2} - 5 x - 3) \div (x - 3) .

英語のヒント

商を求める：

(2 x^{2} - 5 x - 3) \div (x - 3)

Solution解答


Write it as a long division problem. 割り算の筆算の形に書く。
Be sure the dividend is in standard form. 割られる式が標準形になっていることを確かめる。
Divide 2x² by x. Put the answer, 2x, in the quotient over the x term. 2x²をxで割る。答えの2xを、xの項の上の商の位置に書く。
Multiply 2x times x − 3. Line up the like terms under the dividend. 2xにx−3を掛ける。同類項をそろえて、割られる式の下に書く。
Subtract 2x² − 6x from 2x² − 5x. Change the signs and then add. Then bring down the last term. 2x²−5xから2x²−6xを引く。符号を変えて足し、最後の項を下ろす。
Divide x by x. Put the answer, 1, in the quotient over the constant term. xをxで割る。答えの1を、定数項の上の商の位置に書く。
Multiply 1 times x − 3. 1にx−3を掛ける。
Subtract x − 3 from x − 3 by changing the signs and adding. 符号を変えて足すことにより、x−3からx−3を引く。
To check, multiply (x − 3)(2x + 1). (x−3)(2x＋1)を掛けて確かめる。
The result should be 2x² − 5x − 3. 結果は2x²−5x−3になるはずである。

Try It (2)確認問題（2題）

When we divided 875 by 25, we had no remainder. But sometimes division of numbers does leave a remainder. The same is true when we divide polynomials. In Example 6.86, we’ll have a division that leaves a remainder. We write the remainder as a fraction with the divisor as the denominator.

英語のヒント

875を25で割ったときは余りがなかったが、数の割り算には余りが出る場合もある。多項式の割り算でも同じである。例題6.86では余りが出る。余りは、割る式を分母とする分数で書く。

Example 6.86例題 6.86

Find the quotient:

(x^{3} - x^{2} + x + 4) \div (x + 1) .

英語のヒント

商を求める：

(x^{3} - x^{2} + x + 4) \div (x + 1)

Solution解答


Write it as a long division problem. 割り算の筆算の形に書く。
Be sure the dividend is in standard form. 割られる式が標準形になっていることを確かめる。
Divide x³ by x. Put the answer, x², in the quotient over the x² term. Multiply x² times x + 1. Line up the like terms under the dividend. x³をxで割る。答えのx²を、x²の項の上の商の位置に書く。x²にx＋1を掛け、同類項をそろえて割られる式の下に書く。
Subtract x³ + x² from x³ − x² by changing the signs and adding. Then bring down the next term. 符号を変えて足し、x³−x²からx³＋x²を引く。次の項を下ろす。
Divide −2x² by x. Put the answer, −2x, in the quotient over the x term. Multiply −2x times x + 1. Line up the like terms under the dividend. −2x²をxで割る。答えの−2xを、xの項の上の商の位置に書く。−2xにx＋1を掛け、同類項をそろえて割られる式の下に書く。
Subtract −2x² − 2x from −2x² + x by changing the signs and adding. Then bring down the last term. 符号を変えて足し、−2x²＋xから−2x²−2xを引く。最後の項を下ろす。
Divide 3x by x. Put the answer, 3, in the quotient over the constant term. Multiply 3 times x + 1. Line up the like terms under the dividend. 3xをxで割る。答えの3を、定数項の上の商の位置に書く。3にx＋1を掛け、同類項をそろえて割られる式の下に書く。
Subtract 3x + 3 from 3x + 4 by changing the signs and adding. Write the remainder as a fraction with the divisor as the denominator. 符号を変えて足し、3x＋4から3x＋3を引く。余りを、割る式を分母とする分数で書く。
To check, multiply $(x + 1) (x^{2} - 2 x + 3 + \frac{1}{x + 1}) .$ The result should be $x^{3} - x^{2} + x + 4$ . $(x + 1) (x^{2} - 2 x + 3 + \frac{1}{x + 1})$ を掛けて確かめる。結果は $x^{3} - x^{2} + x + 4$ になるはずである。

Try It (2)確認問題（2題）

Look back at the dividends in Example 6.84, Example 6.85, and Example 6.86. The terms were written in descending order of degrees, and there were no missing degrees. The dividend in Example 6.87 will be

x^{4} - x^{2} + 5 x - 2

. It is missing an

x^{3}

term. We will add in

0 x^{3}

as a placeholder.

英語のヒント

例題6.84、例題6.85、例題6.86の割られる式を振り返ろう。項は次数の高い順に並び、途中の次数に抜けがなかった。例題6.87の割られる式は

x^{4} - x^{2} + 5 x - 2

であり、

x^{3}

の項がない。位置をそろえるために

0 x^{3}

を補う。

Example 6.87例題 6.87

Find the quotient:

(x^{4} - x^{2} + 5 x - 2) \div (x + 2) .

英語のヒント

商を求める：

(x^{4} - x^{2} + 5 x - 2) \div (x + 2)

Solution解答

Notice that there is no

x^{3}

term in the dividend. We will add

0 x^{3}

as a placeholder.

英語のヒント

割られる式に

x^{3}

の項がないことに注目しよう。位置をそろえるために

0 x^{3}

を補う。


Write it as a long division problem. Be sure the dividend is in standard form with placeholders for missing terms. 割り算の筆算の形に書く。割られる式を標準形にし、欠けている項を0の項で補う。
Divide x⁴ by x. Put the answer, x³, in the quotient over the x³ term. Multiply x³ times x + 2. Line up the like terms. Subtract and then bring down the next term. x⁴をxで割る。答えのx³を、x³の項の上の商の位置に書く。x³にx＋2を掛け、同類項をそろえる。引いてから次の項を下ろす。
Divide −2x³ by x. Put the answer, −2x², in the quotient over the x² term. Multiply −2x² times x + 1. Line up the like terms. Subtract and bring down the next term. −2x³をxで割る。答えの−2x²を、x²の項の上の商の位置に書く。−2x²にx＋1を掛け、同類項をそろえる。引いてから次の項を下ろす。
Divide 3x² by x. Put the answer, 3x, in the quotient over the x term. Multiply 3x times x + 1. Line up the like terms. Subtract and bring down the next term. 3x²をxで割る。答えの3xを、xの項の上の商の位置に書く。3xにx＋1を掛け、同類項をそろえる。引いてから次の項を下ろす。
Divide −x by x. Put the answer, −1, in the quotient over the constant term. Multiply −1 times x + 1. Line up the like terms. Change the signs, add. −xをxで割る。答えの−1を、定数項の上の商の位置に書く。−1にx＋1を掛け、同類項をそろえる。符号を変えて足す。
To check, multiply $(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 1)$ . $(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 1)$ を掛けて確かめる。
The result should be $x^{4} - x^{2} + 5 x - 2$ . 結果は $x^{4} - x^{2} + 5 x - 2$ になるはずである。

Try It (2)確認問題（2題）

In Example 6.88, we will divide by

2 a - 3

. As we divide we will have to consider the constants as well as the variables.

英語のヒント

例題6.88では、

2 a - 3

で割る。割り算の際には、変数だけでなく定数も考慮しなければならない。

Example 6.88例題 6.88

Find the quotient:

(8 a^{3} + 27) \div (2 a + 3) .

英語のヒント

商を求める：

(8 a^{3} + 27) \div (2 a + 3)

Solution解答

This time we will show the division all in one step. We need to add two placeholders in order to divide.

英語のヒント

今回は、割り算全体をまとめて示す。割り算を行うために、欠けている二つの項を0の項で補う。

8a³＋27を2a＋3で割る筆算。0a²と0aを補う。最初に8a³＋12a²を引く。右の矢印は、これが4a²に2a＋3を掛けたものだと示す。結果は−12a²＋0a。ここから−12a²−18aを引く。右の矢印は、これが6aに2a＋3を掛けたものだと示す。結果は18a＋27。ここから18a＋27を引く。右の矢印は、これが9に2a＋3を掛けたものだと示す。結果は0。

To check, multiply

(2 a + 3) (4 a^{2} - 6 a + 9)

英語のヒント

(2 a + 3) (4 a^{2} - 6 a + 9)

を掛けて確かめる。

The result should be

8 a^{3} + 27

英語のヒント

結果は

8 a^{3} + 27

になるはずである。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

第6章多項式

6.6 Divide Polynomials6.6 多項式の割り算

Learning Objectives学習目標

Divide a Polynomial by a Monomial多項式を単項式で割る

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Divide a Polynomial by a Binomial多項式を二項式で割る

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

6.6 Divide Polynomials6.6　多項式の割り算