第6章多項式

Convert Scientific Notation to Decimal Form科学的記数法から通常の小数表記に直す

How can we convert from scientific notation to decimal form? Let’s look at two numbers written in scientific notation and see.

英語のヒント

科学的記数法から通常の小数表記へは、どう直せるだろうか。科学的記数法で書かれた2つの数を見て確かめよう。

\begin{matrix} 9.12 \times 10^{4} & 9.12 \times 10^{−4} \\ 9.12 \times 10,000 & 9.12 \times 0.0001 \\ 91,200 & 0.000912 \end{matrix}

If we look at the location of the decimal point, we can see an easy method to convert a number from scientific notation to decimal form.

英語のヒント

小数点の位置を見ると、科学的記数法から通常の小数表記へ簡単に直す方法が分かる。

\begin{matrix} 9.12 \times 10^{4} = 91,200 & 9.12 \times 10^{−4} = 0.000912 \end{matrix}

2列の図。左は9.12×10⁴＝91,200。小数点を右へ4桁動かす矢印があり、2の後ろの2桁分は空白で示される。「小数点を右へ4桁動かす」とある。右は9.12×10の−4乗＝0.000912。小数点を左へ4桁動かす矢印があり、9の前の3桁分は空白で示される。「小数点を左へ4桁動かす」とある。

In both cases the decimal point moved 4 places. When the exponent was positive, the decimal moved to the right. When the exponent was negative, the decimal point moved to the left.

英語のヒント

どちらの場合も、小数点は4桁動いた。指数が正のときは右へ、負のときは左へ動いた。

Example 6.103例題 6.103

How to Convert Scientific Notation to Decimal Form科学的記数法から通常の小数表示に直す手順

Convert to decimal form:

6.2 \times 10^{3} .

英語のヒント

通常の小数表記に直す：

6.2 \times 10^{3}

Solution解答

3行3列の手順表。左に手順、中央に説明、右に式がある。手順1は「因数10の指数nを求める」。6.2×10³の指数は3である。

手順2は「必要なら0を補い、小数点を動かす。指数が正なら右へn桁、負なら左へnの絶対値だけ動かす」。指数が正なので、右へ3桁動かし、0を二つ補う。6.200の小数点を右へ動かす矢印があり、6,200となる。

手順3は「答えが妥当か確かめる」。10³＝1,000、1,000×6.2＝6,200なので、6.2×10³＝6,200。

Try It (2)確認問題（2題）

The steps are summarized below.

英語のヒント

手順を以下にまとめる。

Convert scientific notation to decimal form.科学的記数法から通常の小数表記に直す。

To convert scientific notation to decimal form:

英語のヒント

科学的記数法から通常の小数表示に直すには、次のようにする。

Determine the exponent, $n$ , on the factor 10.
英語のヒント
10に付いている指数 $n$ を確かめる。
Move the decimal $n$ places, adding zeros if needed.
英語のヒント
必要なら0を補い、小数点を $n$ 桁動かす。
- If the exponent is positive, move the decimal point $n$ places to the right.
  英語のヒント
  指数が正なら、小数点を右へ $n$ 桁動かす。
- If the exponent is negative, move the decimal point $| n |$ places to the left.
  英語のヒント
  指数が負なら、小数点を左へ $| n |$ 桁動かす。
Check.
英語のヒント
確かめる。

Example 6.104例題 6.104

Convert to decimal form:

8.9 \times 10^{−2} .

英語のヒント

通常の小数表記に直す：

8.9 \times 10^{−2}

Solution解答


Determine the exponent, n, on the factor 10. 因数10の指数nを求める。
Since the exponent is negative, move the decimal point 2 places to the left. 指数が負なので、小数点を左へ2桁動かす。
Add zeros as needed for placeholders. 位を保つため、必要に応じて0を補う。

Try It (2)確認問題（2題）

Multiply and Divide Using Scientific Notation科学的記数法を使って掛け算と割り算をする

Astronomers use very large numbers to describe distances in the universe and ages of stars and planets. Chemists use very small numbers to describe the size of an atom or the charge on an electron. When scientists perform calculations with very large or very small numbers, they use scientific notation. Scientific notation provides a way for the calculations to be done without writing a lot of zeros. We will see how the Properties of Exponents are used to multiply and divide numbers in scientific notation.

英語のヒント

天文学者は、宇宙での距離や恒星・惑星の年齢を表すために、非常に大きな数を使う。化学者は、原子の大きさや電子の電荷を表すために、非常に小さな数を使う。科学者が非常に大きい数や小さい数を計算するときには、科学的記数法を使う。これによって、0をたくさん書かずに計算できる。指数法則を使って、科学的記数法で表された数を掛けたり割ったりする方法を見よう。

Example 6.105例題 6.105

Multiply. Write answers in decimal form:

(4 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−7}) .

英語のヒント

掛け算をし、答えを通常の小数表記で書く：

(4 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−7})

Solution解答

\begin{matrix} (4 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−7}) \\ Use the Commutative Property to rearrange the factors. & 4 \cdot 2 \cdot 10^{5} \cdot 10^{−7} \\ Multiply. & 8 \times 10^{−2} \\ Change to decimal form by moving the decimal two places left. & 0.08 \end{matrix}

\begin{matrix} (4 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−7}) \\ 交換法則を使って因数を並べ替える。 & 4 \cdot 2 \cdot 10^{5} \cdot 10^{−7} \\ 掛ける。 & 8 \times 10^{−2} \\ 小数点を左へ2桁動かして小数表示に直す。 & 0.08 \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.106例題 6.106

Divide. Write answers in decimal form:

\frac{9 \times 10^{3}}{3 \times 10^{−2}} .

英語のヒント

割り算をし、答えを通常の小数表記で書く：

\frac{9 \times 10^{3}}{3 \times 10^{−2}}

Solution解答

	$\frac{9 \times 10^{3}}{3 \times 10^{−2}}$
Separate the factors, rewriting as the product of two fractions. 因数を分け、二つの分数の積に書き換える。	$\frac{9}{3} \times \frac{10^{3}}{10^{−2}}$
Divide. 割る。	$3 \times 10^{5}$
Change to decimal form by moving the decimal five places right. 小数点を右へ5桁動かし、通常の小数表記に直す。	300,000

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Property of Negative Exponents
英語のヒント
負の指数の性質
- If $n$ is a positive integer and $a \neq 0$ , then $\frac{1}{a^{− n}} = a^{n}$
  英語のヒント
  $n$ が正の整数で $a \neq 0$ ならば、 $\frac{1}{a^{− n}} = a^{n}$ である。
Quotient to a Negative Exponent
英語のヒント
商の負の累乗
- If $a, b$ are real numbers, $b \neq 0$ and $n$ is an integer , then ${(\frac{a}{b})}^{− n} = {(\frac{b}{a})}^{n}$
  英語のヒント
  $a, b$ が実数で $b \neq 0$ 、 $n$ が整数ならば、 ${(\frac{a}{b})}^{− n} = {(\frac{b}{a})}^{n}$ である。
To convert a decimal to scientific notation:
英語のヒント
小数を科学的記数法に直すには、次のようにする。
1. Move the decimal point so that the first factor is greater than or equal to 1 but less than 10.
  英語のヒント
  最初の因数が1以上10未満になるように、小数点を動かす。
2. Count the number of decimal places, $n$ , that the decimal point was moved.
  英語のヒント
  小数点を動かした桁数 $n$ を数える。
3. Write the number as a product with a power of 10. If the original number is:
  英語のヒント
  10の累乗との積として書く。元の数が、
  - greater than 1, the power of 10 will be $10^{n}$
    英語のヒント
    1より大きければ、10の累乗は $10^{n}$ になる。
  - between 0 and 1, the power of 10 will be $10^{− n}$
    英語のヒント
    0と1の間なら、10の累乗は $10^{− n}$ になる。
4. Check.
  
  英語のヒント
  確かめる。
To convert scientific notation to decimal form:
英語のヒント
科学的記数法から通常の小数表示に直すには、次のようにする。
1. Determine the exponent, $n$ , on the factor 10.
  英語のヒント
  10に付いている指数 $n$ を確かめる。
2. Move the decimal $n$ places, adding zeros if needed.
  英語のヒント
  必要なら0を補い、小数点を $n$ 桁動かす。
  - If the exponent is positive, move the decimal point $n$ places to the right.
    英語のヒント
    指数が正なら、小数点を右へ $n$ 桁動かす。
  - If the exponent is negative, move the decimal point $| n |$ places to the left.
    英語のヒント
    指数が負なら、小数点を左へ $| n |$ 桁動かす。
3. Check.
  英語のヒント
  確かめる。

Section Exercises節の練習問題

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 500–527練習問題 500–527

Use the Definition of a Negative Exponent

英語のヒント

負の指数の定義を使う

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 500問題 500

ⓐ

4^{−2}

ⓑ

10^{−3}

Exercise 501問題 501

ⓐ

3^{−4}

ⓑ

10^{−2}

Solution解き方

ⓐ

\frac{1}{81}

ⓑ

\frac{1}{100}

Exercise 502問題 502

ⓐ

5^{- 3}

ⓑ

10^{−5}

Exercise 503問題 503

ⓐ

2^{−8}

ⓑ

10^{−2}

Solution解き方

ⓐ

\frac{1}{256}

ⓑ

\frac{1}{100}

Exercise 504問題 504

ⓐ

\frac{1}{c^{−5}}

ⓑ

\frac{1}{3^{−2}}

Exercise 505問題 505

ⓐ

\frac{1}{c^{−5}}

ⓑ

\frac{1}{5^{−2}}

Solution解き方

ⓐ

c^{5}

ⓑ 25

Exercise 506問題 506

ⓐ

\frac{1}{q^{−10}}

ⓑ

\frac{1}{10^{−3}}

Exercise 507問題 507

ⓐ

\frac{1}{t^{−9}}

ⓑ

\frac{1}{10^{−4}}

Solution解き方

ⓐ

t^{9}

ⓑ 10000

Exercise 508問題 508

ⓐ

{(\frac{5}{8})}^{−2}

ⓑ

{(- \frac{3 m}{n})}^{−2}

Exercise 509問題 509

ⓐ

{(\frac{3}{10})}^{−2}

ⓑ

{(- \frac{2}{c d})}^{−3}

Solution解き方

ⓐ

\frac{100}{9}

ⓑ

- \frac{c^{3} d^{3}}{8}

Exercise 510問題 510

ⓐ

{(\frac{4}{9})}^{−3}

ⓑ

{(- \frac{u^{2}}{2 v})}^{−5}

Exercise 511問題 511

ⓐ

{(\frac{7}{2})}^{−3}

ⓑ

{(- \frac{3}{x y^{2}})}^{−3}

Solution解き方

ⓐ

\frac{8}{343}

ⓑ

- \frac{x^{3} y^{6}}{27}

Exercise 512問題 512

ⓐ

{(- 5)}^{- 2}

ⓑ

− 5^{−2}

ⓒ

{(- \frac{1}{5})}^{−2}

ⓓ

− {(\frac{1}{5})}^{−2}

Exercise 513問題 513

ⓐ

{(−7)}^{−2}

ⓑ

- 7^{- 2}

ⓒ

{(- \frac{1}{7})}^{−2}

ⓓ

− {(\frac{1}{7})}^{−2}

Solution解き方

ⓐ

\frac{1}{49}

ⓑ

- \frac{1}{49}

−49

Exercise 514問題 514

ⓐ

− 3^{−3}

ⓑ

{(- \frac{1}{3})}^{−3}

ⓒ

− {(\frac{1}{3})}^{−3}

ⓓ

{(−3)}^{−3}

Exercise 515問題 515

ⓐ

− 5^{−3}

ⓑ

{(- \frac{1}{5})}^{−3}

ⓒ

− {(\frac{1}{5})}^{−3}

ⓓ

{(−5)}^{−3}

Solution解き方

ⓐ

- \frac{1}{125}

ⓑ

−125

ⓒ

−125

ⓓ

- \frac{1}{125}

Exercise 516問題 516

ⓐ

3 \cdot 5^{−1}

ⓑ

{(3 \cdot 5)}^{−1}

Exercise 517問題 517

ⓐ

2 \cdot 5^{−1}

ⓑ

{(2 \cdot 5)}^{−1}

Solution解き方

ⓐ

\frac{2}{5}

ⓑ

\frac{1}{10}

Exercise 518問題 518

ⓐ

4 \cdot 5^{−2}

ⓑ

{(4 \cdot 5)}^{−2}

Exercise 519問題 519

ⓐ

3 \cdot 4^{−2}

ⓑ

{(3 \cdot 4)}^{−2}

Solution解き方

ⓐ

\frac{3}{16}

ⓑ

\frac{1}{144}

Exercise 520問題 520

ⓐ

m^{−4}

ⓑ

{(x^{3})}^{−4}

Exercise 521問題 521

ⓐ

b^{−5}

ⓑ

{(k^{2})}^{−5}

Solution解き方

ⓐ

\frac{1}{b^{5}}

ⓑ

\frac{1}{k^{10}}

Exercise 522問題 522

ⓐ

p^{−10}

ⓑ

{(q^{6})}^{−8}

Exercise 523問題 523

ⓐ

s^{−8}

ⓑ

{(a^{9})}^{−10}

Solution解き方

ⓐ

\frac{1}{s^{8}}

ⓑ

\frac{1}{a^{90}}

Exercise 524問題 524

ⓐ

7 n^{−1}

ⓑ

{(7 n)}^{−1}

ⓒ

{(−7 n)}^{−1}

Exercise 525問題 525

ⓐ

6 r^{−1}

ⓑ

{(6 r)}^{−1}

ⓒ

{(−6 r)}^{−1}

Solution解き方

ⓐ

\frac{6}{r}

ⓑ

\frac{1}{6 r}

ⓒ

- \frac{1}{6 r}

Exercise 526問題 526

ⓐ

{(3 p)}^{−2}

ⓑ

3 p^{−2}

ⓒ

−3 p^{−2}

Exercise 527問題 527

ⓐ

{(2 q)}^{−4}

ⓑ

2 q^{−4}

ⓒ

−2 q^{−4}

Solution解き方

ⓐ

\frac{1}{16 q^{4}}

ⓑ

\frac{2}{q^{4}}

ⓒ

- \frac{2}{q^{4}}

Exercises 528–549練習問題 528–549

Simplify Expressions with Integer Exponents

英語のヒント

整数の指数を含む式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 528問題 528

ⓐ

b^{4} b^{−8}

ⓑ

r^{−2} r^{5}

ⓒ

x^{−7} x^{−3}

Exercise 529問題 529

ⓐ

s^{3} \cdot s^{−7}

ⓑ

q^{−8} \cdot q^{3}

ⓒ

y^{−2} \cdot y^{−5}

Solution解き方

ⓐ

\frac{1}{s^{4}}

ⓑ

\frac{1}{q^{5}}

ⓒ

\frac{1}{y^{7}}

Exercise 530問題 530

ⓐ

a^{3} \cdot a^{−3}

ⓑ

a \cdot a^{3}

ⓒ

a \cdot a^{−3}

Exercise 531問題 531

ⓐ

y^{5} \cdot y^{−5}

ⓑ

y \cdot y^{5}

ⓒ

y \cdot y^{−5}

Solution解き方

ⓐ 1 ⓑ

y^{6}

ⓒ

\frac{1}{y^{4}}

Exercise 532問題 532

p^{5} \cdot p^{−2} \cdot p^{−4}

Exercise 533問題 533

x^{4} \cdot x^{−2} \cdot x^{−3}

Solution解き方

\frac{1}{x}

Exercise 534問題 534

(w^{4} x^{−5}) (w^{−2} x^{−4})

Exercise 535問題 535

(m^{3} n^{−3}) (m^{−5} n^{−1})

Solution解き方

\frac{1}{m^{2} n^{4}}

Exercise 536問題 536

(u v^{−2}) (u^{−5} v^{−3})

Exercise 537問題 537

(p q^{−4}) (p^{−6} q^{−3})

Solution解き方

\frac{1}{p^{5} q^{7}}

Exercise 538問題 538

(−6 c^{−3} d^{9}) (2 c^{4} d^{−5})

Exercise 539問題 539

(−2 j^{−5} k^{8}) (7 j^{2} k^{−3})

Solution解き方

- \frac{14 k^{5}}{j^{3}}

Exercise 540問題 540

(−4 r^{−2} s^{−8}) (9 r^{4} s^{3})

Exercise 541問題 541

(−5 m^{4} n^{6}) (8 m^{−5} n^{−3})

Solution解き方

- \frac{40 n^{3}}{m}

Exercise 542問題 542

{(5 x^{2})}^{−2}

Exercise 543問題 543

{(4 y^{3})}^{−3}

Solution解き方

\frac{1}{64 y^{9}}

Exercise 544問題 544

{(3 z^{−3})}^{2}

Exercise 545問題 545

{(2 p^{−5})}^{2}

Solution解き方

\frac{4}{p^{10}}

Exercise 546問題 546

\frac{t^{9}}{t^{−3}}

Exercise 547問題 547

\frac{n^{5}}{n^{−2}}

Solution解き方

n^{7}

Exercise 548問題 548

\frac{x^{−7}}{x^{−3}}

Exercise 549問題 549

\frac{y^{−5}}{y^{−10}}

Solution解き方

y^{5}

Exercises 550–557練習問題 550–557

Convert from Decimal Notation to Scientific Notation

英語のヒント

通常の小数表記から科学的記数法に直す

In the following exercises, write each number in scientific notation.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの数を科学的記数法で表す。

Exercise 550問題 550

57,000

Exercise 551問題 551

340,000

Solution解き方

3.4 \times 10^{5}

Exercise 552問題 552

8,750,000

Exercise 553問題 553

1,290,000

Solution解き方

1.29 \times 10^{6}

Exercise 554問題 554

0.026

Exercise 555問題 555

0.041

Solution解き方

4.1 \times 10^{−2}

Exercise 556問題 556

0.00000871

Exercise 557問題 557

0.00000103

Solution解き方

1.03 \times 10^{−6}

Exercises 558–565練習問題 558–565

Convert Scientific Notation to Decimal Form

英語のヒント

科学的記数法から通常の小数表記に直す

In the following exercises, convert each number to decimal form.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの数を通常の小数表記に直す。

Exercise 558問題 558

5.2 \times 10^{2}

Exercise 559問題 559

8.3 \times 10^{2}

Solution解き方

830

Exercise 560問題 560

7.5 \times 10^{6}

Exercise 561問題 561

1.6 \times 10^{10}

Solution解き方

16,000,000,000

Exercise 562問題 562

2.5 \times 10^{−2}

Exercise 563問題 563

3.8 \times 10^{−2}

Solution解き方

0.038

Exercise 564問題 564

4.13 \times 10^{−5}

Exercise 565問題 565

1.93 \times 10^{−5}

Solution解き方

0.0000193

Exercises 566–569練習問題 566–569

Multiply and Divide Using Scientific Notation

英語のヒント

科学的記数法を使って掛け算と割り算をする

In the following exercises, multiply. Write your answer in decimal form.

英語のヒント

次の各問で、掛け算をせよ。答えは通常の小数表示で書け。

Exercise 566問題 566

(3 \times 10^{−5}) (3 \times 10^{9})

Exercise 567問題 567

(2 \times 10^{2}) (1 \times 10^{−4})

Solution解き方

0.02

Exercise 568問題 568

(7.1 \times 10^{−2}) (2.4 \times 10^{−4})

Exercise 569問題 569

(3.5 \times 10^{−4}) (1.6 \times 10^{−2})

Solution解き方

0.0000056

Exercises 570–573練習問題 570–573

In the following exercises, divide. Write your answer in decimal form.

英語のヒント

次の各問で、割り算をせよ。答えは通常の小数表示で書け。

Exercise 570問題 570

\frac{7 \times 10^{−3}}{1 \times 10^{−7}}

Exercise 571問題 571

\frac{5 \times 10^{−2}}{1 \times 10^{−10}}

Solution解き方

500,000,000

Exercise 572問題 572

\frac{6 \times 10^{4}}{3 \times 10^{−2}}

Exercise 573問題 573

\frac{8 \times 10^{6}}{4 \times 10^{−1}}

Solution解き方

20,000,000