第6章多項式

Recognize and Use the Appropriate Special Product Pattern適切な積の公式を見分けて使う

We just developed special product patterns for Binomial Squares and for the Product of Conjugates. The products look similar, so it is important to recognize when it is appropriate to use each of these patterns and to notice how they differ. Look at the two patterns together and note their similarities and differences.

英語のヒント

二項式の平方と、共役な二項式の積の公式を導いた。これらの積は似ているので、それぞれを使う場面を見分け、違いに注意することが大切である。二つの公式を並べて、共通点と違いを確かめよう。

Comparing the Special Product Patterns特別な積の公式を比較する

Binomial Squares 二項式の平方	Product of Conjugates 共役な二項式の積
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$	$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
- Squaring a binomial ・二項式を2乗する	- Multiplying conjugates ・共役な二項式を掛ける
- Product is a trinomial ・積は三項式になる	- Product is a binomial ・積は二項式になる
- Inner and outer terms with FOIL are the same. ・FOIL法で得る内側と外側の積は同じ	- Inner and outer terms with FOIL are opposites. ・FOIL法で得る内側と外側の積は互いに符号が逆
- Middle term is double the product of the terms. ・中央の項は、元の二つの項の積の2倍	- There is no middle term. ・中央の項がない

Example 6.58例題 6.58

Choose the appropriate pattern and use it to find the product:

英語のヒント

適切な公式を選び、それを使って積を求めよ。

ⓐ

(2 x - 3) (2 x + 3)

ⓑ

{(8 x - 5)}^{2}

ⓒ

{(6 m + 7)}^{2}

ⓓ

(5 x - 6) (6 x + 5)

Solution解答

ⓐ $(2 x - 3) (2 x + 3)$ These are conjugates. They have the same first numbers, and the same last numbers, and one binomial is a sum and the other is a difference. It fits the Product of Conjugates pattern.
英語のヒント
ⓐ $(2 x - 3) (2 x + 3)$ 　これは共役な組である。最初の数と最後の数がそれぞれ同じで、一方が和、もう一方が差である。共役な二項式の積の公式に当てはまる。

This fits the pattern.
これは公式に当てはまる。

Use the pattern.
公式を使う。

Simplify.
簡単にする。
ⓑ ${(8 x - 5)}^{2}$ We are asked to square a binomial. It fits the binomial squares pattern.
英語のヒント
ⓑ ${(8 x - 5)}^{2}$ 　二項式を2乗するので、二項式の平方の公式に当てはまる。

Use the pattern.
公式を使う。

Simplify.
簡単にする。
ⓒ ${(6 m + 7)}^{2}$ Again, we will square a binomial so we use the binomial squares pattern.
英語のヒント
ⓒ ${(6 m + 7)}^{2}$ 　これも二項式の2乗なので、二項式の平方の公式を使う。

Use the pattern.
公式を使う。

Simplify.
簡単にする。
ⓓ $(5 x - 6) (6 x + 5)$ This product does not fit the patterns, so we will use FOIL.
英語のヒント
ⓓ $(5 x - 6) (6 x + 5)$ 　この積は公式に当てはまらないので、FOIL法を使う。

$(5 x - 6) (6 x + 5)$

Use FOIL.
FOIL法を使う。

$30 x^{2} + 25 x - 36 x - 30$

Simplify.
簡単にする。

$30 x^{2} - 11 x - 30$

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Binomial Squares Pattern
英語のヒント
二項式の平方の公式
- If $a, b$ are real numbers,
  英語のヒント
  $a, b$ が実数ならば、次が成り立つ。
- ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
- ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
- To square a binomial: square the first term, square the last term, double their product.
  
  英語のヒント
  二項式を2乗するには、最初の項を2乗し、最後の項を2乗し、二つの項の積を2倍する。
Product of Conjugates Pattern
英語のヒント
共役な二項式の積の公式
- If $a, b$ are real numbers,
  英語のヒント
  $a, b$ が実数ならば、次が成り立つ。
- $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$
- The product is called a difference of squares.
  
  英語のヒント
  この積を平方の差という。
To multiply conjugates:
英語のヒント
共役な二項式を掛けるには、次のようにする。
- square the first term square the last term write it as a difference of squares
  英語のヒント
  最初の項を2乗し、最後の項を2乗し、平方の差として書く。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 302–321練習問題 302–321

Square a Binomial Using the Binomial Squares Pattern

英語のヒント

二項式の平方の公式を使って2乗する

In the following exercises, square each binomial using the Binomial Squares Pattern.

英語のヒント

次の各問で、二項式の平方の公式を使って2乗せよ。

Exercise 302問題 302

{(w + 4)}^{2}

Exercise 303問題 303

{(q + 12)}^{2}

Solution解き方

q^{2} + 24 q + 144

Exercise 304問題 304

{(y + \frac{1}{4})}^{2}

Exercise 305問題 305

{(x + \frac{2}{3})}^{2}

Solution解き方

x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{9}

Exercise 306問題 306

{(b - 7)}^{2}

Exercise 307問題 307

{(y - 6)}^{2}

Solution解き方

y^{2} - 12 y + 36

Exercise 308問題 308

{(m - 15)}^{2}

Exercise 309問題 309

{(p - 13)}^{2}

Solution解き方

p^{2} - 26 p + 169

Exercise 310問題 310

{(3 d + 1)}^{2}

Exercise 311問題 311

{(4 a + 10)}^{2}

Solution解き方

16 a^{2} + 80 a + 100

Exercise 312問題 312

{(2 q + \frac{1}{3})}^{2}

Exercise 313問題 313

{(3 z + \frac{1}{5})}^{2}

Solution解き方

9 z^{2} + \frac{6}{5} z + \frac{1}{25}

Exercise 314問題 314

{(3 x - y)}^{2}

Exercise 315問題 315

{(2 y - 3 z)}^{2}

Solution解き方

4 y^{2} - 12 y z + 9 z^{2}

Exercise 316問題 316

{(\frac{1}{5} x - \frac{1}{7} y)}^{2}

Exercise 317問題 317

{(\frac{1}{8} x - \frac{1}{9} y)}^{2}

Solution解き方

\frac{1}{64} x^{2} - \frac{1}{36} x y + \frac{1}{81} y^{2}

Exercise 318問題 318

{(3 x^{2} + 2)}^{2}

Exercise 319問題 319

{(5 u^{2} + 9)}^{2}

Solution解き方

25 u^{4} + 90 u^{2} + 81

Exercise 320問題 320

{(4 y^{3} - 2)}^{2}

Exercise 321問題 321

{(8 p^{3} - 3)}^{2}

Solution解き方

64 p^{6} - 48 p^{3} + 9

Exercises 322–345練習問題 322–345

Multiply Conjugates Using the Product of Conjugates Pattern

英語のヒント

共役な二項式の積の公式を使う

In the following exercises, multiply each pair of conjugates using the Product of Conjugates Pattern.

英語のヒント

次の各問で、共役な二項式の積の公式を使って各組を掛けよ。

Exercise 322問題 322

(m - 7) (m + 7)

Exercise 323問題 323

(c - 5) (c + 5)

Solution解き方

c^{2} - 25

Exercise 324問題 324

(x + \frac{3}{4}) (x - \frac{3}{4})

Exercise 325問題 325

(b + \frac{6}{7}) (b - \frac{6}{7})

Solution解き方

b^{2} - \frac{36}{49}

Exercise 326問題 326

(5 k + 6) (5 k - 6)

Exercise 327問題 327

(8 j + 4) (8 j - 4)

Solution解き方

64 j^{2} - 16

Exercise 328問題 328

(11 k + 4) (11 k - 4)

Exercise 329問題 329

(9 c + 5) (9 c - 5)

Solution解き方

81 c^{2} - 25

Exercise 330問題 330

(11 - b) (11 + b)

Exercise 331問題 331

(13 - q) (13 + q)

Solution解き方

169 - q^{2}

Exercise 332問題 332

(5 - 3 x) (5 + 3 x)

Exercise 333問題 333

(4 - 6 y) (4 + 6 y)

Solution解き方

16 - 36 y^{2}

Exercise 334問題 334

(9 c - 2 d) (9 c + 2 d)

Exercise 335問題 335

(7 w + 10 x) (7 w - 10 x)

Solution解き方

49 w^{2} - 100 x^{2}

Exercise 336問題 336

(m + \frac{2}{3} n) (m - \frac{2}{3} n)

Exercise 337問題 337

(p + \frac{4}{5} q) (p - \frac{4}{5} q)

Solution解き方

p^{2} - \frac{16}{25} q^{2}

Exercise 338問題 338

(a b - 4) (a b + 4)

Exercise 339問題 339

(x y - 9) (x y + 9)

Solution解き方

x^{2} y^{2} - 81

Exercise 340問題 340

(u v - \frac{3}{5}) (u v + \frac{3}{5})

Exercise 341問題 341

(r s - \frac{2}{7}) (r s + \frac{2}{7})

Solution解き方

r^{2} s^{2} - \frac{4}{49}

Exercise 342問題 342

(2 x^{2} - 3 y^{4}) (2 x^{2} + 3 y^{4})

Exercise 343問題 343

(6 m^{3} - 4 n^{5}) (6 m^{3} + 4 n^{5})

Solution解き方

36 m^{6} - 16 n^{10}

Exercise 344問題 344

(12 p^{3} - 11 q^{2}) (12 p^{3} + 11 q^{2})

Exercise 345問題 345

(15 m^{2} - 8 n^{4}) (15 m^{2} + 8 n^{4})

Solution解き方

225 m^{4} - 64 n^{8}

Exercises 346–349練習問題 346–349

Recognize and Use the Appropriate Special Product Pattern

英語のヒント

適切な積の公式を見分けて使う

In the following exercises, find each product.

英語のヒント

次の各問で、積を求めよ。

Exercise 346問題 346

ⓐ

(p - 3) (p + 3)

ⓑ

{(t - 9)}^{2}

ⓒ

{(m + n)}^{2}

ⓓ

(2 x + y) (x - 2 y)

Exercise 347問題 347

ⓐ

{(2 r + 12)}^{2}

ⓑ

(3 p + 8) (3 p - 8)

ⓒ

(7 a + b) (a - 7 b)

ⓓ

{(k - 6)}^{2}

Solution解き方

ⓐ

4 r^{2} + 48 r + 144

ⓑ

9 p^{2} - 64

ⓒ

7 a^{2} - 48 a b - 7 b^{2}

ⓓ

k^{2} - 12 k + 36

Exercise 348問題 348

ⓐ

{(a^{5} - 7 b)}^{2}

ⓑ

(x^{2} + 8 y) (8 x - y^{2})

ⓒ

(r^{6} + s^{6}) (r^{6} - s^{6})

ⓓ

{(y^{4} + 2 z)}^{2}

Exercise 349問題 349

ⓐ

(x^{5} + y^{5}) (x^{5} - y^{5})

ⓑ

{(m^{3} - 8 n)}^{2}

ⓒ

{(9 p + 8 q)}^{2}

ⓓ

(r^{2} - s^{3}) (r^{3} + s^{2})

Solution解き方

ⓐ

x^{10} - y^{10}

ⓑ

m^{6} - 16 m^{3} n + 64 n^{2}

ⓒ

81 p^{2} + 144 p q + 64 q^{2}

ⓓ

r^{5} + r^{2} s^{2} - r^{3} s^{3} - s^{5}

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 350–351練習問題 350–351

Exercise 350問題 350

Mental math You can use the product of conjugates pattern to multiply numbers without a calculator. Say you need to multiply 47 times 53. Think of 47 as

50 - 3

and 53 as

50 + 3

英語のヒント

暗算　共役な二項式の積の公式を使うと、電卓なしで数を掛けられる。例えば47に53を掛けるとしよう。47を

50 - 3

、53を

50 + 3

と考える。

ⓐ Multiply $(50 - 3) (50 + 3)$ by using the product of conjugates pattern, $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ .
英語のヒント
ⓐ 共役な二項式の積の公式 $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ を使って、 $(50 - 3) (50 + 3)$ を計算せよ。
ⓑ Multiply $47 \cdot 53$ without using a calculator.
英語のヒント
ⓑ 電卓を使わずに $47 \cdot 53$ を計算せよ。

Exercise 351問題 351

Mental math You can use the binomial squares pattern to multiply numbers without a calculator. Say you need to square 65. Think of 65 as

60 + 5

英語のヒント

暗算　二項式の平方の公式を使うと、電卓なしで数を掛けられる。例えば65を2乗するとしよう。65を

60 + 5

と考える。

ⓐ Multiply ${(60 + 5)}^{2}$ by using the binomial squares pattern, ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .
英語のヒント
ⓐ 二項式の平方の公式 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ を使って、 ${(60 + 5)}^{2}$ を計算せよ。
ⓑ Square 65 without using a calculator.
英語のヒント
ⓑ 電卓を使わずに65を2乗せよ。

Solution解き方

英語のヒント

This fits the pattern. これは公式に当てはまる。
Use the pattern. 公式を使う。
Simplify. 簡単にする。

	$(5 x - 6) (6 x + 5)$
Use FOIL. FOIL法を使う。	$30 x^{2} + 25 x - 36 x - 30$
Simplify. 簡単にする。	$30 x^{2} - 11 x - 30$