第6章多項式

6.1 Add and Subtract Polynomials6.1　多項式の加法と減法

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

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この節を終えると、次のことができるようになる。

Identify polynomials, monomials, binomials, and trinomials
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多項式・単項式・二項式・三項式を見分ける
Determine the degree of polynomials
英語のヒント
多項式の次数を求める
Add and subtract monomials
英語のヒント
単項式の加法と減法
Add and subtract polynomials
英語のヒント
多項式の加法と減法
Evaluate a polynomial for a given value
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与えられた値に対する多項式の値を求める

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Identify Polynomials, Monomials, Binomials and Trinomials多項式・単項式・二項式・三項式を見分ける

You have learned that a term is a constant or the product of a constant and one or more variables. When it is of the form

a x^{m}

, where

a

is a constant and

m

is a whole number, it is called a monomial. Some examples of monomial are

8, −2 x^{2}, 4 y^{3}, and 11 z^{7}

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項とは、定数、または定数と一つ以上の変数との積であると学んだ。

a x^{m}

の形で表され、

a

が定数、

m

が非負整数である項を、単項式という。単項式の例として

8, −2 x^{2}, 4 y^{3}, と 11 z^{7}

がある。

A monomial, or two or more monomials combined by addition or subtraction, is a polynomial. Some polynomials have special names, based on the number of terms. A monomial is a polynomial with exactly one term. A binomial has exactly two terms, and a trinomial has exactly three terms. There are no special names for polynomials with more than three terms.

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一つの単項式、または二つ以上の単項式を足し算や引き算で結んだ式を、多項式という。多項式には、項の数によって特別な名前を持つものがある。単項式は項がちょうど一つの多項式である。二項式にはちょうど二つ、三項式にはちょうど三つの項がある。項が三つより多い多項式には、特別な名前はない。

Here are some examples of polynomials.

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多項式の例をいくつか挙げる。

\begin{matrix} Polynomial & b + 1 & 4 y^{2} - 7 y + 2 & 4 x^{4} + x^{3} + 8 x^{2} - 9 x + 1 \\ Monomial & 14 & 8 y^{2} & −9 x^{3} y^{5} & −13 \\ Binomial & a + 7 & 4 b - 5 & y^{2} - 16 & 3 x^{3} - 9 x^{2} \\ Trinomial & x^{2} - 7 x + 12 & 9 y^{2} + 2 y - 8 & 6 m^{4} - m^{3} + 8 m & z^{4} + 3 z^{2} - 1 \end{matrix}

\begin{matrix} 多項式 & b + 1 & 4 y^{2} - 7 y + 2 & 4 x^{4} + x^{3} + 8 x^{2} - 9 x + 1 \\ 単項式 & 14 & 8 y^{2} & −9 x^{3} y^{5} & −13 \\ 二項式 & a + 7 & 4 b - 5 & y^{2} - 16 & 3 x^{3} - 9 x^{2} \\ 三項式 & x^{2} - 7 x + 12 & 9 y^{2} + 2 y - 8 & 6 m^{4} - m^{3} + 8 m & z^{4} + 3 z^{2} - 1 \end{matrix}

Notice that every monomial, binomial, and trinomial is also a polynomial. They are just special members of the “family” of polynomials and so they have special names. We use the words monomial, binomial, and trinomial when referring to these special polynomials and just call all the rest polynomials.

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単項式、二項式、三項式は、どれも多項式でもあることに注意しよう。多項式という「家族」の特別な一員なので、特別な名前が付いている。これらを指すときは単項式、二項式、三項式という語を使い、それ以外は単に多項式と呼ぶ。

Example 6.1例題 6.1

Determine whether each polynomial is a monomial, binomial, trinomial, or other polynomial.

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それぞれの多項式が、単項式・二項式・三項式、またはそれ以外の多項式のどれかを判定する。

ⓐ $4 y^{2} - 8 y - 6$
ⓑ $−5 a^{4} b^{2}$
ⓒ $2 x^{5} - 5 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x + 4$
ⓓ $13 - 5 m^{3}$
ⓔ $q$

Solution解答

	Polynomial 多項式	Number of terms 項の数	Type 種類
ⓐ	$4 y^{2} - 8 y - 6$	$3$	Trinomial 三項式
ⓑ	$−5 a^{4} b^{2}$	$1$	Monomial 単項式
ⓒ	$2 x^{5} - 5 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x + 4$	$5$	Polynomial 多項式
ⓓ	$13 - 5 m^{3}$	$2$	Binomial 二項式
ⓔ	$q$	$1$	Monomial 単項式

Try It (2)確認問題（2題）

Determine the Degree of Polynomials多項式の次数を求める

The degree of a polynomial and the degree of its terms are determined by the exponents of the variable.

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多項式の次数と各項の次数は、変数の指数によって決まる。

A monomial that has no variable, just a constant, is a special case. The degree of a constant is 0—it has no variable.

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変数を含まず、定数だけからなる単項式は特別な場合である。定数の次数は0であり、変数を持たない。

Let’s see how this works by looking at several polynomials. We’ll take it step by step, starting with monomials, and then progressing to polynomials with more terms.

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いくつかの多項式を見て、この仕組みを確かめよう。単項式から始め、項の多い多項式へと段階的に進める。

11行5列の表。第1列は行見出しである。「単項式」の行に14、8y²、−9x³y⁵、−13aが並び、その下の「次数」はそれぞれ0、2、8、1である。「二項式」の下には「各項の次数」「多項式の次数」がある。a＋7の各項の次数は0、1、多項式の次数は1。4b²−5bでは2、1と2。x²y²−16では4、0と4。3n³−9n²では3、2と3である。「三項式」の下にも「各項の次数」「多項式の次数」がある。x²−7x＋12では2、1、0と2。9a²＋6ab＋b²では2、2、2と2。6m⁴−m³n²＋8mn⁵では4、5、6と6。z⁴＋3z²−1では4、2、0と4である。最後の3行は「多項式」「各項の次数」「多項式の次数」。b＋1では1、0と1。4y²−7y＋2では2、1、0と2。4x⁴＋x³＋8x²−9x＋1では4、3、2、1、0と4である。

A polynomial is in standard form when the terms of a polynomial are written in descending order of degrees. Get in the habit of writing the term with the highest degree first.

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多項式の項を次数の高い順に並べた形を標準形という。次数が最も高い項を最初に書く習慣を付けよう。

Example 6.2例題 6.2

Find the degree of the following polynomials.

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次の多項式の次数を求めよ。

ⓐ $10 y$
ⓑ $4 x^{3} - 7 x + 5$
ⓒ $−15$
ⓓ $−8 b^{2} + 9 b - 2$
ⓔ $8 x y^{2} + 2 y$

Solution解答

ⓐ The exponent of $y$ is one. $y = y^{1}$ ⓐ $y$ の指数は1である。 $y = y^{1}$	$10 y$ The degree is 1. $10 y$ 　次数は1である。
ⓑ The highest degree of all the terms is 3. ⓑ 各項の次数の最大値は3である。	$4 x^{3} - 7 x + 5$ The degree is 3. $4 x^{3} - 7 x + 5$ 　次数は3である。
ⓒ The degree of a constant is 0. ⓒ 定数の次数は0である。	$−15$ The degree is 0. $−15$ 　次数は0である。
ⓓ The highest degree of all the terms is 2. ⓓ 各項の次数の最大値は2である。	$−8 b^{2} + 9 b - 2$ The degree is 2. $−8 b^{2} + 9 b - 2$ 　次数は2である。
ⓔ The highest degree of all the terms is 3. ⓔ 各項の次数の最大値は3である。	$8 x y^{2} + 2 y$ The degree is 3. $8 x y^{2} + 2 y$ 　次数は3である。

Try It (2)確認問題（2題）

第6章多項式

6.1 Add and Subtract Polynomials6.1 多項式の加法と減法

Learning Objectives学習目標

Identify Polynomials, Monomials, Binomials and Trinomials多項式・単項式・二項式・三項式を見分ける

Solution解答

Determine the Degree of Polynomials多項式の次数を求める

Solution解答

6.1 Add and Subtract Polynomials6.1　多項式の加法と減法