第6章多項式

6.2 Use Multiplication Properties of Exponents6.2　指数の乗法に関する性質を使う

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Simplify expressions with exponents
英語のヒント
指数を含む式を簡単にする
Simplify expressions using the Product Property for Exponents
英語のヒント
同じ底の累乗の積の法則を使って式を簡単にする
Simplify expressions using the Power Property for Exponents
英語のヒント
累乗の累乗の法則を使って式を簡単にする
Simplify expressions using the Product to a Power Property
英語のヒント
積の累乗の性質を使って式を簡単にする
Simplify expressions by applying several properties
英語のヒント
複数の性質を使って式を簡単にする
Multiply monomials
英語のヒント
単項式の乗法

Before You Begin (2)準備問題（2題）

Simplify Expressions with Exponents指数を含む式を簡単にする

Remember that an exponent indicates repeated multiplication of the same quantity. For example,

2^{4}

means to multiply 2 by itself 4 times, so

2^{4}

means

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

英語のヒント

指数は、同じ量を繰り返し掛けることを表すと学んだ。例えば

2^{4}

は、2を4個掛けるという意味である。したがって、

2^{4}

は

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

を表す。

Let’s review the vocabulary for expressions with exponents.

英語のヒント

指数を含む式の用語を復習しよう。

Before we begin working with variable expressions containing exponents, let’s simplify a few expressions involving only numbers.

英語のヒント

指数を含む文字式を扱う前に、数だけを含む式をいくつか簡単にしてみよう。

Example 6.16例題 6.16

Simplify: ⓐ

4^{3}

ⓑ

7^{1}

ⓒ

{(\frac{5}{6})}^{2}

ⓓ

{(0.63)}^{2} .

英語のヒント

簡単にせよ。ⓐ

4^{3}

　ⓑ

7^{1}

　ⓒ

{(\frac{5}{6})}^{2}

　ⓓ

{(0.63)}^{2}

Solution解答

ⓐ	$4^{3}$
Multiply three factors of 4. 因数4を3個掛ける。	$4 \cdot 4 \cdot 4$
Simplify. 簡単にする。	$64$
ⓑ	$7^{1}$
Multiply one factor of 7. 因数7を1個使う。	$7$
ⓒ	${(\frac{5}{6})}^{2}$
Multiply two factors. 2つの因数を掛ける。	$(\frac{5}{6}) (\frac{5}{6})$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{25}{36}$
ⓓ	${(0.63)}^{2}$
Multiply two factors. 2つの因数を掛ける。	$(0.63) (0.63)$
Simplify. 簡単にする。	$0.3969$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.17例題 6.17

Simplify: ⓐ

{(−5)}^{4}

ⓑ

− 5^{4} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(−5)}^{4}

ⓑ

− 5^{4}

Solution解答

ⓐ	${(−5)}^{4}$
Multiply four factors of $−5$ . 因数 $−5$ を4個掛ける。	$(−5) (−5) (−5) (−5)$
Simplify. 簡単にする。	$625$
ⓑ	$− 5^{4}$
Multiply four factors of 5. 因数5を4個掛ける。	$− (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5)$
Simplify. 簡単にする。	$−625$

Try It (2)確認問題（2題）

Notice the similarities and differences in Example 6.17ⓐ and Example 6.17ⓑ ! Why are the answers different? As we follow the order of operations in part ⓐ the parentheses tell us to raise the

(−5)

to the 4^th power. In part ⓑ we raise just the 5 to the 4^th power and then take the opposite.

英語のヒント

例題6.17ⓐと例題6.17ⓑの共通点と違いに注目しよう。答えが違うのはなぜか。計算の順序に従うと、ⓐでは括弧によって

(−5)

全体を4^th乗する。一方、ⓑでは5だけを4^th乗してから、符号を逆にする。

Simplify Expressions Using the Product Property for Exponents同じ底の累乗の積の法則を使って式を簡単にする

You have seen that when you combine like terms by adding and subtracting, you need to have the same base with the same exponent. But when you multiply and divide, the exponents may be different, and sometimes the bases may be different, too.

英語のヒント

足し算や引き算で同類項をまとめるときには、底も指数も同じでなければならないと学んだ。しかし掛け算や割り算では、指数が違っていてもよく、底が違う場合もある。

We’ll derive the properties of exponents by looking for patterns in several examples.

英語のヒント

いくつかの例の規則性を探して、指数法則を導こう。

First, we will look at an example that leads to the Product Property.

英語のヒント

まず、同じ底の累乗の積の性質につながる例を見る。


What does this mean? How many factors altogether? これは何を意味するか。因数は全部で何個あるか。
So, we have したがって、次のようになる。
Notice that 5 is the sum of the exponents, 2 and 3. 5は、指数2と3の和であることに注目する。

We write:

英語のヒント

次のように書く：

\begin{matrix} x^{2} \cdot x^{3} \\ x^{2 + 3} \\ x^{5} \end{matrix}

The base stayed the same and we added the exponents. This leads to the Product Property for Exponents.

英語のヒント

底はそのままで、指数を足した。ここから、同じ底の累乗の積の性質が得られる。

An example with numbers helps to verify this property.

英語のヒント

数を使った例で、この性質を確かめられる。

\begin{matrix} 2^{2} \cdot 2^{3} & \overset{?}{=} & 2^{2 + 3} \\ 4 \cdot 8 & \overset{?}{=} & 2^{5} \\ 32 & = & 32 ✓ \end{matrix}

Example 6.18例題 6.18

Simplify:

y^{5} \cdot y^{6} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

y^{5} \cdot y^{6}

Solution解答


Use the product property, a^m · aⁿ = a^m+n. 積の法則a^m・aⁿ＝a^m+nを使う。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.19例題 6.19

Simplify: ⓐ

2^{5} \cdot 2^{9}

ⓑ

3 \cdot 3^{4} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

2^{5} \cdot 2^{9}

ⓑ

3 \cdot 3^{4}

Solution解答

ⓐ

Use the product property, a^m · aⁿ = a^m+n.
積の法則a^m・aⁿ＝a^m+nを使う。

Simplify.
簡単にする。
ⓑ

Use the product property, a^m · aⁿ = a^m+n.
積の法則a^m・aⁿ＝a^m+nを使う。

Simplify.
簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.20例題 6.20

Simplify: ⓐ

a^{7} \cdot a

ⓑ

x^{27} \cdot x^{13} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

a^{7} \cdot a

ⓑ

x^{27} \cdot x^{13}

Solution解答

ⓐ

Rewrite, a = a¹.
a＝a¹と書き換える。

Use the product property, a^m · aⁿ = a^m+n.
積の法則a^m・aⁿ＝a^m+nを使う。

Simplify.
簡単にする。
ⓑ

Notice, the bases are the same, so add the exponents.
底が同じなので、指数を足す。

Simplify.
簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

We can extend the Product Property for Exponents to more than two factors.

英語のヒント

同じ底の累乗の積の法則は、因数が三つ以上の場合にも拡張できる。

Example 6.21例題 6.21

Simplify:

d^{4} \cdot d^{5} \cdot d^{2} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

d^{4} \cdot d^{5} \cdot d^{2}

Solution解答


Add the exponents, since bases are the same. 底が同じなので、指数を足す。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）


Rewrite, a = a¹. a＝a¹と書き換える。
Use the product property, a^m · aⁿ = a^m+n. 積の法則a^m・aⁿ＝a^m+nを使う。
Simplify. 簡単にする。


Notice, the bases are the same, so add the exponents. 底が同じなので、指数を足す。
Simplify. 簡単にする。

第6章多項式

6.2 Use Multiplication Properties of Exponents6.2 指数の乗法に関する性質を使う

Learning Objectives学習目標

Simplify Expressions with Exponents指数を含む式を簡単にする

Solution解答

Solution解答

Simplify Expressions Using the Product Property for Exponents同じ底の累乗の積の法則を使って式を簡単にする

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

6.2 Use Multiplication Properties of Exponents6.2　指数の乗法に関する性質を使う