第6章多項式

Divide Monomials単項式の除法

You have now been introduced to all the properties of exponents and used them to simplify expressions. Next, you’ll see how to use these properties to divide monomials. Later, you’ll use them to divide polynomials.

英語のヒント

指数法則を一通り学び、式を簡単にするために使ってきた。次に、これらの性質を使って単項式を割る方法を見る。後では、多項式の割り算にも使う。

Example 6.72例題 6.72

Find the quotient:

56 x^{7} \div 8 x^{3} .

英語のヒント

商を求める：

56 x^{7} \div 8 x^{3}

Solution解答

	$56 x^{7} \div 8 x^{3}$
Rewrite as a fraction. 分数として書き直す。	$\frac{56 x^{7}}{8 x^{3}}$
Use fraction multiplication. 分数の掛け算の形を使う。	$\frac{56}{8} \cdot \frac{x^{7}}{x^{3}}$
Simplify and use the Quotient Property. 式を簡単にし、同じ底の累乗の商の性質を使う。	$7 x^{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.73例題 6.73

Find the quotient:

\frac{45 a^{2} b^{3}}{−5 a b^{5}} .

英語のヒント

商を求める：

\frac{45 a^{2} b^{3}}{−5 a b^{5}}

Solution解答

	$\frac{45 a^{2} b^{3}}{−5 a b^{5}}$
Use fraction multiplication. 分数の掛け算の形を使う。	$\frac{45}{−5} \cdot \frac{a^{2}}{a} \cdot \frac{b^{3}}{b^{5}}$
Simplify and use the Quotient Property. 式を簡単にし、同じ底の累乗の商の性質を使う。	$−9 \cdot a \cdot \frac{1}{b^{2}}$
Multiply. 掛ける。	$- \frac{9 a}{b^{2}}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 6.74例題 6.74

Find the quotient:

\frac{24 a^{5} b^{3}}{48 a b^{4}} .

英語のヒント

商を求める：

\frac{24 a^{5} b^{3}}{48 a b^{4}}

Solution解答

	$\frac{24 a^{5} b^{3}}{48 a b^{4}}$
Use fraction multiplication. 分数の掛け算の形を使う。	$\frac{24}{48} \cdot \frac{a^{5}}{a} \cdot \frac{b^{3}}{b^{4}}$
Simplify and use the Quotient Property. 式を簡単にし、同じ底の累乗の商の性質を使う。	$\frac{1}{2} \cdot a^{4} \cdot \frac{1}{b}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{a^{4}}{2 b}$

Try It (2)確認問題（2題）

Once you become familiar with the process and have practiced it step by step several times, you may be able to simplify a fraction in one step.

英語のヒント

手順に慣れ、段階を追って何回か練習すれば、分数を1つの手順で簡単にできるようになるだろう。

Example 6.75例題 6.75

Find the quotient:

\frac{14 x^{7} y^{12}}{21 x^{11} y^{6}} .

英語のヒント

商を求める：

\frac{14 x^{7} y^{12}}{21 x^{11} y^{6}}

Solution解答

Be very careful to simplify

\frac{14}{21}

by dividing out a common factor, and to simplify the variables by subtracting their exponents.

英語のヒント

\frac{14}{21}

は共通の因数で割って簡単にし、変数の部分は指数を引いて簡単にすることに、十分注意しよう。

	$\frac{14 x^{7} y^{12}}{21 x^{11} y^{6}}$
Simplify and use the Quotient Property. 式を簡単にし、同じ底の累乗の商の性質を使う。	$\frac{2 y^{6}}{3 x^{4}}$

Try It (2)確認問題（2題）

In all examples so far, there was no work to do in the numerator or denominator before simplifying the fraction. In the next example, we’ll first find the product of two monomials in the numerator before we simplify the fraction. This follows the order of operations. Remember, a fraction bar is a grouping symbol.

英語のヒント

これまでの例では、分数を簡単にする前に、分子や分母で計算する必要はなかった。次の例では、まず分子の二つの単項式を掛けてから分数を簡単にする。これは計算の順序に従ったものである。分数線も、式をひとまとまりにする記号だと思い出そう。

Example 6.76例題 6.76

Find the quotient:

\frac{(6 x^{2} y^{3}) (5 x^{3} y^{2})}{(3 x^{4} y^{5})} .

英語のヒント

商を求める：

\frac{(6 x^{2} y^{3}) (5 x^{3} y^{2})}{(3 x^{4} y^{5})}

Solution解答

	$\frac{(6 x^{2} y^{3}) (5 x^{3} y^{2})}{(3 x^{4} y^{5})}$
Simplify the numerator. 分子を簡単にする。	$\frac{30 x^{5} y^{5}}{3 x^{4} y^{5}}$
Simplify. 簡単にする。	$10 x$

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Quotient Property for Exponents:
英語のヒント
同じ底の累乗の商の法則：
- If $a$ is a real number, $a \neq 0$ , and $m, n$ are whole numbers, then:
  $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, m > n and \frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{m - n}}, n > m$
  英語のヒント
  $a$ が実数で $a \neq 0$ 、 $m, n$ が非負整数ならば、次が成り立つ。 $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, m > n と \frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{m - n}}, n > m$
Zero Exponent
英語のヒント
指数が0の場合
- If $a$ is a non-zero number, then $a^{0} = 1$ .
  
  英語のヒント
  $a$ が0でない数なら、 $a^{0} = 1$ である。
Quotient to a Power Property for Exponents:
英語のヒント
商の累乗の法則：
- If $a$ and $b$ are real numbers, $b \neq 0,$ and $m$ is a counting number, then:
  ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$
  英語のヒント
  $a$ と $b$ が実数で $b \neq 0$ 、 $m$ が正の整数ならば、次が成り立つ。 ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$
- To raise a fraction to a power, raise the numerator and denominator to that power.
  
  英語のヒント
  分数を累乗するには、分子と分母をそれぞれその指数で累乗する。
Summary of Exponent Properties
英語のヒント
指数に関する性質のまとめ
- If $a, b$ are real numbers and $m, n$ are whole numbers, then
  $\begin{matrix} Product Property & a^{m} \cdot a^{n} & = & a^{m + n} \\ Power Property & {(a^{m})}^{n} & = & a^{m \cdot n} \\ Product to a Power & {(a b)}^{m} & = & a^{m} b^{m} \\ Quotient Property & \frac{a^{m}}{a^{n}} & = & a^{m - n}, a \neq 0, m > n \\ \frac{a^{m}}{a^{n}} & = & \frac{1}{a^{n - m}}, a \neq 0, n > m \\ Zero Exponent Definition & a^{o} & = & 1, a \neq 0 \\ Quotient to a Power Property & {(\frac{a}{b})}^{m} & = & \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0 \end{matrix}$
  英語のヒント
  $a, b$ が実数、 $m, n$ が非負整数ならば、次が成り立つ。 $\begin{matrix} 同じ底の累乗の積の法則 & a^{m} \cdot a^{n} & = & a^{m + n} \\ 累乗の累乗の法則 & {(a^{m})}^{n} & = & a^{m \cdot n} \\ 積の累乗の法則 & {(a b)}^{m} & = & a^{m} b^{m} \\ 同じ底の累乗の商の法則 & \frac{a^{m}}{a^{n}} & = & a^{m - n}, a \neq 0, m > n \\ \frac{a^{m}}{a^{n}} & = & \frac{1}{a^{n - m}}, a \neq 0, n > m \\ 指数0の定義 & a^{o} & = & 1, a \neq 0 \\ 商の累乗の法則 & {(\frac{a}{b})}^{m} & = & \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0 \end{matrix}$

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 356–363練習問題 356–363

Simplify Expressions Using the Quotient Property for Exponents

英語のヒント

同じ底の累乗の商の法則を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 356問題 356

ⓐ

\frac{x^{18}}{x^{3}}

ⓑ

\frac{5^{12}}{5^{3}}

Exercise 357問題 357

ⓐ

\frac{y^{20}}{y^{10}}

ⓑ

\frac{7^{16}}{7^{2}}

Solution解き方

ⓐ

y^{10}

ⓑ

7^{14}

Exercise 358問題 358

ⓐ

\frac{p^{21}}{p^{7}}

ⓑ

\frac{4^{16}}{4^{4}}

Exercise 359問題 359

ⓐ

\frac{u^{24}}{u^{3}}

ⓑ

\frac{9^{15}}{9^{5}}

Solution解き方

ⓐ

u^{21}

ⓑ

9^{10}

Exercise 360問題 360

ⓐ

\frac{q^{18}}{q^{36}}

ⓑ

\frac{10^{2}}{10^{3}}

Exercise 361問題 361

ⓐ

\frac{t^{10}}{t^{40}}

ⓑ

\frac{8^{3}}{8^{5}}

Solution解き方

ⓐ

\frac{1}{t^{30}}

ⓑ

\frac{1}{64}

Exercise 362問題 362

ⓐ

\frac{b}{b^{9}}

ⓑ

\frac{4}{4^{6}}

Exercise 363問題 363

ⓐ

\frac{x}{x^{7}}

ⓑ

\frac{10}{10^{3}}

Solution解き方

ⓐ

\frac{1}{x^{6}}

ⓑ

\frac{1}{100}

Exercises 364–373練習問題 364–373

Simplify Expressions with Zero Exponents

英語のヒント

指数が0の式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 364問題 364

ⓐ

20^{0}

ⓑ

b^{0}

Exercise 365問題 365

ⓐ

13^{0}

ⓑ

k^{0}

Solution解き方

ⓐ 1 ⓑ 1

Exercise 366問題 366

ⓐ

− 27^{0}

ⓑ

− (27^{0})

Exercise 367問題 367

ⓐ

− 15^{0}

ⓑ

− (15^{0})

Solution解き方

ⓐ

−1

ⓑ

−1

Exercise 368問題 368

ⓐ

{(25 x)}^{0}

ⓑ

25 x^{0}

Exercise 369問題 369

ⓐ

{(6 y)}^{0}

ⓑ

6 y^{0}

Solution解き方

ⓐ 1 ⓑ 6

Exercise 370問題 370

ⓐ

{(12 x)}^{0}

ⓑ

{(−56 p^{4} q^{3})}^{0}

Exercise 371問題 371

ⓐ

7 y^{0}

{(17 y)}^{0}

ⓑ

{(−93 c^{7} d^{15})}^{0}

Solution解き方

ⓐ 7 ⓑ 1

Exercise 372問題 372

ⓐ

12 n^{0} - 18 m^{0}

ⓑ

{(12 n)}^{0} - {(18 m)}^{0}

Exercise 373問題 373

ⓐ

15 r^{0} - 22 s^{0}

ⓑ

{(15 r)}^{0} - {(22 s)}^{0}

Solution解き方

ⓐ

−7

ⓑ 0

Exercises 374–377練習問題 374–377

Simplify Expressions Using the Quotient to a Power Property

英語のヒント

商の累乗の性質を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 374問題 374

ⓐ

{(\frac{3}{4})}^{3}

ⓑ

{(\frac{p}{2})}^{5}

ⓒ

{(\frac{x}{y})}^{6}

Exercise 375問題 375

ⓐ

{(\frac{2}{5})}^{2}

ⓑ

{(\frac{x}{3})}^{4}

ⓒ

{(\frac{a}{b})}^{5}

Solution解き方

ⓐ

\frac{4}{25}

ⓑ

\frac{x^{4}}{81}

ⓒ

\frac{a^{5}}{b^{5}}

Exercise 376問題 376

ⓐ

{(\frac{a}{3 b})}^{4}

ⓑ

{(\frac{5}{4 m})}^{2}

Exercise 377問題 377

ⓐ

{(\frac{x}{2 y})}^{3}

ⓑ

{(\frac{10}{3 q})}^{4}

Solution解き方

ⓐ

\frac{x^{3}}{8 y^{3}}

ⓑ

\frac{10,000}{81 q^{4}}

Exercises 378–405練習問題 378–405

Simplify Expressions by Applying Several Properties

英語のヒント

複数の性質を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 378問題 378

\frac{{(a^{2})}^{3}}{a^{4}}

Exercise 379問題 379

\frac{{(p^{3})}^{4}}{p^{5}}

Solution解き方

p^{7}

Exercise 380問題 380

\frac{{(y^{3})}^{4}}{y^{10}}

Exercise 381問題 381

\frac{{(x^{4})}^{5}}{x^{15}}

Solution解き方

x^{5}

Exercise 382問題 382

\frac{u^{6}}{{(u^{3})}^{2}}

Exercise 383問題 383

\frac{v^{20}}{{(v^{4})}^{5}}

Solution解き方

Exercise 384問題 384

\frac{m^{12}}{{(m^{8})}^{3}}

Exercise 385問題 385

\frac{n^{8}}{{(n^{6})}^{4}}

Solution解き方

\frac{1}{n^{16}}

Exercise 386問題 386

{(\frac{p^{9}}{p^{3}})}^{5}

Exercise 387問題 387

{(\frac{q^{8}}{q^{2}})}^{3}

Solution解き方

q^{18}

Exercise 388問題 388

{(\frac{r^{2}}{r^{6}})}^{3}

Exercise 389問題 389

{(\frac{m^{4}}{m^{7}})}^{4}

Solution解き方

\frac{1}{m^{12}}

Exercise 390問題 390

{(\frac{p}{r^{11}})}^{2}

Exercise 391問題 391

{(\frac{a}{b^{6}})}^{3}

Solution解き方

\frac{a^{3}}{b^{18}}

Exercise 392問題 392

{(\frac{w^{5}}{x^{3}})}^{8}

Exercise 393問題 393

{(\frac{y^{4}}{z^{10}})}^{5}

Solution解き方

\frac{y^{20}}{z^{50}}

Exercise 394問題 394

{(\frac{2 j^{3}}{3 k})}^{4}

Exercise 395問題 395

{(\frac{3 m^{5}}{5 n})}^{3}

Solution解き方

\frac{27 m^{15}}{125 n^{3}}

Exercise 396問題 396

{(\frac{3 c^{2}}{4 d^{6}})}^{3}

Exercise 397問題 397

{(\frac{5 u^{7}}{2 v^{3}})}^{4}

Solution解き方

\frac{625 u^{28}}{16 v^{^{12}}}

Exercise 398問題 398

{(\frac{k^{2} k^{8}}{k^{3}})}^{2}

Exercise 399問題 399

{(\frac{j^{2} j^{5}}{j^{4}})}^{3}

Solution解き方

j^{9}

Exercise 400問題 400

\frac{{(t^{2})}^{5} {(t^{4})}^{2}}{{(t^{3})}^{7}}

Exercise 401問題 401

\frac{{(q^{3})}^{6} {(q^{2})}^{3}}{{(q^{4})}^{8}}

Solution解き方

\frac{1}{q^{8}}

Exercise 402問題 402

\frac{{(−2 p^{2})}^{4} {(3 p^{4})}^{2}}{{(−6 p^{3})}^{2}}

Exercise 403問題 403

\frac{{(−2 k^{3})}^{2} {(6 k^{2})}^{4}}{{(9 k^{4})}^{2}}

Solution解き方

64 k^{6}

Exercise 404問題 404

\frac{{(−4 m^{3})}^{2} {(5 m^{4})}^{3}}{{(−10 m^{6})}^{3}}

Exercise 405問題 405

\frac{{(−10 n^{2})}^{3} {(4 n^{5})}^{2}}{{(2 n^{8})}^{2}}

Solution解き方

−4,000

Exercises 406–421練習問題 406–421

Divide Monomials

英語のヒント

単項式の除法

In the following exercises, divide the monomials.

英語のヒント

次の練習問題では、単項式どうしを割る。

Exercise 406問題 406

56 b^{8} \div 7 b^{2}

Exercise 407問題 407

63 v^{10} \div 9 v^{2}

Solution解き方

7 v^{8}

Exercise 408問題 408

−88 y^{15} \div 8 y^{3}

Exercise 409問題 409

−72 u^{12} \div 12 u^{4}

Solution解き方

−6 u^{8}

Exercise 410問題 410

\frac{45 a^{6} b^{8}}{−15 a^{10} b^{2}}

Exercise 411問題 411

\frac{54 x^{9} y^{3}}{−18 x^{6} y^{15}}

Solution解き方

- \frac{3 x^{3}}{y^{12}}

Exercise 412問題 412

\frac{15 r^{4} s^{9}}{18 r^{9} s^{2}}

Exercise 413問題 413

\frac{20 m^{8} n^{4}}{30 m^{5} n^{9}}

Solution解き方

\frac{2 m^{3}}{3 n^{5}}

Exercise 414問題 414

\frac{18 a^{4} b^{8}}{−27 a^{9} b^{5}}

Exercise 415問題 415

\frac{45 x^{5} y^{9}}{−60 x^{8} y^{6}}

Solution解き方

\frac{−3 y^{3}}{4 x^{3}}

Exercise 416問題 416

\frac{64 q^{11} r^{9} s^{3}}{48 q^{6} r^{8} s^{5}}

Exercise 417問題 417

\frac{65 a^{10} b^{8} c^{5}}{42 a^{7} b^{6} c^{8}}

Solution解き方

\frac{65 a^{3} b^{2}}{42 c^{3}}

Exercise 418問題 418

\frac{(10 m^{5} n^{4}) (5 m^{3} n^{6})}{25 m^{7} n^{5}}

Exercise 419問題 419

\frac{(−18 p^{4} q^{7}) (−6 p^{3} q^{8})}{−36 p^{12} q^{10}}

Solution解き方

\frac{−3 q^{5}}{p^{5}}

Exercise 420問題 420

\frac{(6 a^{4} b^{3}) (4 a b^{5})}{(12 a^{2} b) (a^{3} b)}

Exercise 421問題 421

\frac{(4 u^{2} v^{5}) (15 u^{3} v)}{(12 u^{3} v) (u^{4} v)}

Solution解き方

\frac{5 v^{4}}{u^{2}}

Exercises 422–435練習問題 422–435

Mixed Practice

英語のヒント

総合練習

Exercise 422問題 422

ⓐ

24 a^{5} + 2 a^{5}

ⓑ

24 a^{5} - 2 a^{5}

ⓒ

24 a^{5} \cdot 2 a^{5}

ⓓ

24 a^{5} \div 2 a^{5}

Exercise 423問題 423

ⓐ

15 n^{10} + 3 n^{10}

ⓑ

15 n^{10} - 3 n^{10}

ⓒ

15 n^{10} \cdot 3 n^{10}

ⓓ

15 n^{10} \div 3 n^{10}

Solution解き方

ⓐ

18 n^{10}

ⓑ

12 n^{10}

ⓒ

45 n^{20}

ⓓ 5

Exercise 424問題 424

ⓐ

p^{4} \cdot p^{6}

ⓑ

{(p^{4})}^{6}

Exercise 425問題 425

ⓐ

q^{5} \cdot q^{3}

ⓑ

{(q^{5})}^{3}

Solution解き方

ⓐ

q^{8}

ⓑ

q^{15}

Exercise 426問題 426

ⓐ

\frac{y^{3}}{y}

ⓑ

\frac{y}{y^{3}}

Exercise 427問題 427

ⓐ

\frac{z^{6}}{z^{5}}

ⓑ

\frac{z^{5}}{z^{6}}

Solution解き方

ⓐ

z

ⓑ

\frac{1}{z}

Exercise 428問題 428

(8 x^{5}) (9 x) \div 6 x^{3}

Exercise 429問題 429

(4 y) (12 y^{7}) \div 8 y^{2}

Solution解き方

6 y^{6}

Exercise 430問題 430

\frac{27 a^{7}}{3 a^{3}} + \frac{54 a^{9}}{9 a^{5}}

Exercise 431問題 431

\frac{32 c^{11}}{4 c^{5}} + \frac{42 c^{9}}{6 c^{3}}

Solution解き方

15 c^{6}

Exercise 432問題 432

\frac{32 y^{5}}{8 y^{2}} - \frac{60 y^{10}}{5 y^{7}}

Exercise 433問題 433

\frac{48 x^{6}}{6 x^{4}} - \frac{35 x^{9}}{7 x^{7}}

Solution解き方

3 x^{2}

Exercise 434問題 434

\frac{63 r^{6} s^{3}}{9 r^{4} s^{2}} - \frac{72 r^{2} s^{2}}{6 s}

Exercise 435問題 435

\frac{56 y^{4} z^{5}}{7 y^{3} z^{3}} - \frac{45 y^{2} z^{2}}{5 y}

Solution解き方

− y z^{2}