第6章多項式

Multiply a Binomial by a Binomial Using the Vertical Method筆算を使って二項式どうしを掛ける

The FOIL method is usually the quickest method for multiplying two binomials, but it only works for binomials. You can use the Distributive Property to find the product of any two polynomials. Another method that works for all polynomials is the Vertical Method. It is very much like the method you use to multiply whole numbers. Look carefully at this example of multiplying two-digit numbers.

英語のヒント

二項式どうしを掛けるとき、FOIL法はたいてい最も速い方法だが、二項式にしか使えない。分配法則なら、どのような二つの多項式の積でも求められる。どの多項式にも使えるもう一つの方法が、縦に並べる筆算である。非負整数の掛け算の筆算とよく似ている。2桁の数どうしを掛ける次の例をよく見てみよう。

23×46の筆算。23の下に46、その下に部分積138と92、最下段に積1,058がある。右側の説明は「まず23に6を掛けて138を得る。次に23に4を掛け、部分積を正しい位にそろえる。最後に部分積を足す」。

Now we’ll apply this same method to multiply two binomials.

英語のヒント

同じ方法を、二項式どうしの掛け算に使ってみよう。

Example 6.44例題 6.44

Multiply using the Vertical Method:

(3 y - 1) (2 y - 6) .

英語のヒント

縦に並べる方法で掛ける：

(3 y - 1) (2 y - 6)

Solution解答

It does not matter which binomial goes on the top.

英語のヒント

どちらの二項式を上に置いてもよい。

\begin{matrix} \begin{matrix} Multiply 3 y - 1 by −6 . \\ Multiply 3 y - 1 by 2y. \\ Add like terms. \end{matrix} & \begin{matrix} 3 y - 1 \\ \underset{________}{\times 2 y - 6} \\ −18 y + 6 \\ \underset{_____________}{6 y^{2} - 2 y} \\ 6 y^{2} - 20 y + 6 \end{matrix} & \begin{matrix} partial product \\ partial product \\ product \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} 掛ける： 3 y - 1 を割る数： −6 . \\ 掛ける： 3 y - 1 に2yを掛ける。 \\ 同類項をまとめる。 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 y - 1 \\ \underset{________}{\times 2 y - 6} \\ −18 y + 6 \\ \underset{_____________}{6 y^{2} - 2 y} \\ 6 y^{2} - 20 y + 6 \end{matrix} & \begin{matrix} 部分積 \\ 部分積 \\ 積 \end{matrix} \end{matrix}

Notice the partial products are the same as the terms in the FOIL method.

英語のヒント

部分積が、FOIL法で得られる項と同じであることに注目しよう。

2列の図。左列は(3y−1)(2y−6)＝6y²−2y−18y＋6＝6y²−20y＋6。右列は同じ式の筆算で、部分積−18y＋6と6y²−2yを足し、6y²−20y＋6を得る。

Try It (2)確認問題（2題）

We have now used three methods for multiplying binomials. Be sure to practice each method, and try to decide which one you prefer. The methods are listed here all together, to help you remember them.

英語のヒント

二項式の掛け算で三つの方法を使った。それぞれを必ず練習し、どれが自分に合うか考えよう。覚えやすいように、ここにまとめて示す。

Multiply a Trinomial by a Binomial三項式に二項式を掛ける

We have multiplied monomials by monomials, monomials by polynomials, and binomials by binomials. Now we’re ready to multiply a trinomial by a binomial. Remember, FOIL will not work in this case, but we can use either the Distributive Property or the Vertical Method. We first look at an example using the Distributive Property.

英語のヒント

単項式どうし、単項式と多項式、二項式どうしの掛け算を学んだ。これで三項式と二項式を掛ける準備ができた。この場合、FOIL法は使えないが、分配法則か筆算を使える。まず、分配法則を使う例を見てみよう。

Example 6.45例題 6.45

Multiply using the Distributive Property:

(b + 3) (2 b^{2} - 5 b + 8) .

英語のヒント

分配法則を使って掛ける：

(b + 3) (2 b^{2} - 5 b + 8)

Solution解答


Distribute. 分配法則を使う。
Multiply. 掛ける。
Combine like terms. 同類項をまとめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Now let’s do this same multiplication using the Vertical Method.

英語のヒント

今度は同じ掛け算を筆算で行ってみよう。

Example 6.46例題 6.46

Multiply using the Vertical Method:

(b + 3) (2 b^{2} - 5 b + 8) .

英語のヒント

縦に並べる方法で掛ける：

(b + 3) (2 b^{2} - 5 b + 8)

Solution解答

It is easier to put the polynomial with fewer terms on the bottom because we get fewer partial products this way.

英語のヒント

項の少ない多項式を下に置くと、部分積が少なくなるので計算しやすい。

Multiply (2b² − 5b + 8) by 3. (2b²−5b＋8)に3を掛ける。
Multiply (2b² − 5b + 8) by b. (2b²−5b＋8)にbを掛ける。
Add like terms. 同類項を足す。

Try It (2)確認問題（2題）

We have now seen two methods you can use to multiply a trinomial by a binomial. After you practice each method, you’ll probably find you prefer one way over the other. We list both methods are listed here, for easy reference.

英語のヒント

三項式と二項式を掛ける二つの方法を見てきた。それぞれ練習すると、自分に合う方法が見つかるだろう。参照しやすいように、両方をここにまとめる。

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

FOIL Method for Multiplying Two Binomials—To multiply two binomials:
英語のヒント
二項式どうしを掛けるFOIL法――二つの二項式を掛けるには、次の手順を使う。
1. Multiply the First terms.
  英語のヒント
  それぞれの最初の項どうしを掛ける。
2. Multiply the Outer terms.
  英語のヒント
  外側の項どうしを掛ける。
3. Multiply the Inner terms.
  英語のヒント
  内側の項どうしを掛ける。
4. Multiply the Last terms.
  
  英語のヒント
  それぞれの最後の項どうしを掛ける。
Multiplying Two Binomials—To multiply binomials, use the:
英語のヒント
二項式どうしの掛け算――次の方法を使う。
- Distributive Property (Example 6.34)
  英語のヒント
  分配法則（例題6.34）
- FOIL Method (Example 6.39)
  英語のヒント
  FOIL法（例題6.39）
- Vertical Method (Example 6.44)
  
  英語のヒント
  筆算（例題6.44）
Multiplying a Trinomial by a Binomial—To multiply a trinomial by a binomial, use the:
英語のヒント
三項式と二項式の掛け算――次の方法を使う。
- Distributive Property (Example 6.45)
  英語のヒント
  分配法則（例題6.45）
- Vertical Method (Example 6.46)
  英語のヒント
  筆算（例題6.46）

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 173–236練習問題 173–236

Multiply a Polynomial by a Monomial

英語のヒント

多項式に単項式を掛ける

In the following exercises, multiply.

英語のヒント

次の各問で、掛け算をせよ。

Exercise 173問題 173

4 (w + 10)

Solution解き方

4 w + 40

Exercise 174問題 174

6 (b + 8)

Exercise 175問題 175

−3 (a + 7)

Solution解き方

−3 a - 21

Exercise 176問題 176

−5 (p + 9)

Exercise 177問題 177

2 (x - 7)

Solution解き方

2 x - 14

Exercise 178問題 178

7 (y - 4)

Exercise 179問題 179

−3 (k - 4)

Solution解き方

−3 k + 12

Exercise 180問題 180

−8 (j - 5)

Exercise 181問題 181

q (q + 5)

Solution解き方

q^{2} + 5 q

Exercise 182問題 182

k (k + 7)

Exercise 183問題 183

− b (b + 9)

Solution解き方

− b^{2} - 9 b

Exercise 184問題 184

− y (y + 3)

Exercise 185問題 185

− x (x - 10)

Solution解き方

− x^{2} + 10 x

Exercise 186問題 186

− p (p - 15)

Exercise 187問題 187

6 r (4 r + s)

Solution解き方

24 r^{2} + 6 r s

Exercise 188問題 188

5 c (9 c + d)

Exercise 189問題 189

12 x (x - 10)

Solution解き方

12 x^{2} - 120 x

Exercise 190問題 190

9 m (m - 11)

Exercise 191問題 191

−9 a (3 a + 5)

Solution解き方

−27 a^{2} - 45 a

Exercise 192問題 192

−4 p (2 p + 7)

Exercise 193問題 193

3 (p^{2} + 10 p + 25)

Solution解き方

3 p^{2} + 30 p + 75

Exercise 194問題 194

6 (y^{2} + 8 y + 16)

Exercise 195問題 195

−8 x (x^{2} + 2 x - 15)

Solution解き方

−8 x^{3} - 16 x^{2} + 120 x

Exercise 196問題 196

−5 t (t^{2} + 3 t - 18)

Exercise 197問題 197

5 q^{3} (q^{3} - 2 q + 6)

Solution解き方

5 q^{6} - 10 q^{4} + 30 q^{3}

Exercise 198問題 198

4 x^{3} (x^{4} - 3 x + 7)

Exercise 199問題 199

−8 y (y^{2} + 2 y - 15)

Solution解き方

−8 y^{3} - 16 y^{2} + 120 y

Exercise 200問題 200

−5 m (m^{2} + 3 m - 18)

Exercise 201問題 201

5 q^{3} (q^{2} - 2 q + 6)

Solution解き方

5 q^{5} - 10 q^{4} + 30 q^{3}

Exercise 202問題 202

9 r^{3} (r^{2} - 3 r + 5)

Exercise 203問題 203

−4 z^{2} (3 z^{2} + 12 z - 1)

Solution解き方

−12 z^{4} - 48 z^{3} + 4 z^{2}

Exercise 204問題 204

−3 x^{2} (7 x^{2} + 10 x - 1)

Exercise 205問題 205

(2 m - 9) m

Solution解き方

2 m^{2} - 9 m

Exercise 206問題 206

(8 j - 1) j

Exercise 207問題 207

(w - 6) \cdot 8

Solution解き方

8 w - 48

Exercise 208問題 208

(k - 4) \cdot 5

Exercise 209問題 209

4 (x + 10)

Solution解き方

4 x + 40

Exercise 210問題 210

6 (y + 8)

Exercise 211問題 211

15 (r - 24)

Solution解き方

15 r - 360

Exercise 212問題 212

12 (v - 30)

Exercise 213問題 213

−3 (m + 11)

Solution解き方

−3 m - 33

Exercise 214問題 214

−4 (p + 15)

Exercise 215問題 215

−8 (z - 5)

Solution解き方

−8 z + 40

Exercise 216問題 216

−3 (x - 9)

Exercise 217問題 217

u (u + 5)

Solution解き方

u^{2} + 5 u

Exercise 218問題 218

q (q + 7)

Exercise 219問題 219

n (n^{2} - 3 n)

Solution解き方

n^{3} - 3 n^{2}

Exercise 220問題 220

s (s^{2} - 6 s)

Exercise 221問題 221

6 x (4 x + y)

Solution解き方

24 x^{2} + 6 x y

Exercise 222問題 222

5 a (9 a + b)

Exercise 223問題 223

5 p (11 p - 5 q)

Solution解き方

55 p^{2} - 25 p q

Exercise 224問題 224

12 u (3 u - 4 v)

Exercise 225問題 225

3 (v^{2} + 10 v + 25)

Solution解き方

3 v^{2} + 30 v + 75

Exercise 226問題 226

6 (x^{2} + 8 x + 16)

Exercise 227問題 227

2 n (4 n^{2} - 4 n + 1)

Solution解き方

8 n^{3} - 8 n^{2} + 2 n

Exercise 228問題 228

3 r (2 r^{2} - 6 r + 2)

Exercise 229問題 229

−8 y (y^{2} + 2 y - 15)

Solution解き方

−8 y^{3} - 16 y^{2} + 120 y

Exercise 230問題 230

−5 m (m^{2} + 3 m - 18)

Exercise 231問題 231

5 q^{3} (q^{2} - 2 q + 6)

Solution解き方

5 q^{5} - 10 q^{4} + 30 q^{3}

Exercise 232問題 232

9 r^{3} (r^{2} - 3 r + 5)

Exercise 233問題 233

−4 z^{2} (3 z^{2} + 12 z - 1)

Solution解き方

−12 z^{4} - 48 z^{3} + 4 z^{2}

Exercise 234問題 234

−3 x^{2} (7 x^{2} + 10 x - 1)

Exercise 235問題 235

(2 y - 9) y

Solution解き方

2 y^{2} - 9 y

Exercise 236問題 236

(8 b - 1) b

Exercises 237–240練習問題 237–240

Multiply a Binomial by a Binomial

英語のヒント

二項式どうしを掛ける

In the following exercises, multiply the following binomials using: ⓐ the Distributive Property ⓑ the FOIL method ⓒ the Vertical Method.

英語のヒント

次の各問で、ⓐ 分配法則、ⓑ FOIL法、ⓒ 筆算を使って、二項式どうしを掛けよ。

Exercise 237問題 237

(w + 5) (w + 7)

Solution解き方

w^{2} + 12 w + 35

Exercise 238問題 238

(y + 9) (y + 3)

Exercise 239問題 239

(p + 11) (p - 4)

Solution解き方

p^{2} + 7 p - 44

Exercise 240問題 240

(q + 4) (q - 8)

Exercises 241–266練習問題 241–266

In the following exercises, multiply the binomials. Use any method.

英語のヒント

次の各問で、二項式どうしを掛けよ。方法は自由とする。

Exercise 241問題 241

(x + 8) (x + 3)

Solution解き方

x^{2} + 11 x + 24

Exercise 242問題 242

(y + 7) (y + 4)

Exercise 243問題 243

(y - 6) (y - 2)

Solution解き方

y^{2} - 8 y + 12

Exercise 244問題 244

(x - 7) (x - 2)

Exercise 245問題 245

(w - 4) (w + 7)

Solution解き方

w^{2} + 3 w - 28

Exercise 246問題 246

(q - 5) (q + 8)

Exercise 247問題 247

(p + 12) (p - 5)

Solution解き方

p^{2} + 7 p - 60

Exercise 248問題 248

(m + 11) (m - 4)

Exercise 249問題 249

(6 p + 5) (p + 1)

Solution解き方

6 p^{2} + 11 p + 5

Exercise 250問題 250

(7 m + 1) (m + 3)

Exercise 251問題 251

(2 t - 9) (10 t + 1)

Solution解き方

20 t^{2} - 88 t - 9

Exercise 252問題 252

(3 r - 8) (11 r + 1)

Exercise 253問題 253

(5 x - y) (3 x - 6)

Solution解き方

15 x^{2} - 3 x y - 30 x + 6 y

Exercise 254問題 254

(10 a - b) (3 a - 4)

Exercise 255問題 255

(a + b) (2 a + 3 b)

Solution解き方

2 a^{2} + 5 a b + 3 b^{2}

Exercise 256問題 256

(r + s) (3 r + 2 s)

Exercise 257問題 257

(4 z - y) (z - 6)

Solution解き方

4 z^{2} - 24 z - z y + 6 y

Exercise 258問題 258

(5 x - y) (x - 4)

Exercise 259問題 259

(x^{2} + 3) (x + 2)

Solution解き方

x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6

Exercise 260問題 260

(y^{2} - 4) (y + 3)

Exercise 261問題 261

(x^{2} + 8) (x^{2} - 5)

Solution解き方

x^{4} + 3 x^{2} - 40

Exercise 262問題 262

(y^{2} - 7) (y^{2} - 4)

Exercise 263問題 263

(5 a b - 1) (2 a b + 3)

Solution解き方

10 a^{2} b^{2} + 13 a b - 3

Exercise 264問題 264

(2 x y + 3) (3 x y + 2)

Exercise 265問題 265

(6 p q - 3) (4 p q - 5)

Solution解き方

24 p^{2} q^{2} - 42 p q + 15

Exercise 266問題 266

(3 r s - 7) (3 r s - 4)

Exercises 267–270練習問題 267–270

Multiply a Trinomial by a Binomial

英語のヒント

三項式に二項式を掛ける

In the following exercises, multiply using ⓐ the Distributive Property ⓑ the Vertical Method.

英語のヒント

次の各問で、ⓐ 分配法則、ⓑ 筆算を使って掛け算をせよ。

Exercise 267問題 267

(x + 5) (x^{2} + 4 x + 3)

Solution解き方

x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15

Exercise 268問題 268

(u + 4) (u^{2} + 3 u + 2)

Exercise 269問題 269

(y + 8) (4 y^{2} + y - 7)

Solution解き方

4 y^{3} + 33 y^{2} + y - 56

Exercise 270問題 270

(a + 10) (3 a^{2} + a - 5)

Exercises 271–274練習問題 271–274

In the following exercises, multiply. Use either method.

英語のヒント

次の練習問題では、どちらかの方法を使って掛け算をする。

Exercise 271問題 271

(w - 7) (w^{2} - 9 w + 10)

Solution解き方

w^{3} - 16 w^{2} + 73 w - 70

Exercise 272問題 272

(p - 4) (p^{2} - 6 p + 9)

Exercise 273問題 273

(3 q + 1) (q^{2} - 4 q - 5)

Solution解き方

3 q^{3} - 11 q^{2} - 19 q - 5

Exercise 274問題 274

(6 r + 1) (r^{2} - 7 r - 9)

Exercises 275–293練習問題 275–293

Mixed Practice

英語のヒント

総合練習

Exercise 275問題 275

(10 y - 6) + (4 y - 7)

Solution解き方

14 y - 13

Exercise 276問題 276

(15 p - 4) + (3 p - 5)

Exercise 277問題 277

(x^{2} - 4 x - 34) - (x^{2} + 7 x - 6)

Solution解き方

−11 x - 28

Exercise 278問題 278

(j^{2} - 8 j - 27) - (j^{2} + 2 j - 12)

Exercise 279問題 279

5 q (3 q^{2} - 6 q + 11)

Solution解き方

15 q^{3} - 30 q^{2} + 55 q

Exercise 280問題 280

8 t (2 t^{2} - 5 t + 6)

Exercise 281問題 281

(s - 7) (s + 9)

Solution解き方

s^{2} + 2 s - 63

Exercise 282問題 282

(x - 5) (x + 13)

Exercise 283問題 283

(y^{2} - 2 y) (y + 1)

Solution解き方

y^{3} - y^{2} - 2 y

Exercise 284問題 284

(a^{2} - 3 a) (4 a + 5)

Exercise 285問題 285

(3 n - 4) (n^{2} + n - 7)

Solution解き方

3 n^{3} - n^{2} - 25 n + 28

Exercise 286問題 286

(6 k - 1) (k^{2} + 2 k - 4)

Exercise 287問題 287

(7 p + 10) (7 p - 10)

Solution解き方

49 p^{2} - 100

Exercise 288問題 288

(3 y + 8) (3 y - 8)

Exercise 289問題 289

(4 m^{2} - 3 m - 7) m^{2}

Solution解き方

4 m^{4} - 3 m^{3} - 7 m^{2}

Exercise 290問題 290

(15 c^{2} - 4 c + 5) c^{4}

Exercise 291問題 291

(5 a + 7 b) (5 a + 7 b)

Solution解き方

25 a^{2} + 70 a b + 49 b^{2}

Exercise 292問題 292

(3 x - 11 y) (3 x - 11 y)

Exercise 293問題 293

(4 y + 12 z) (4 y - 12 z)

Solution解き方

16 y^{2} - 144 z^{2}