第1章基礎

Simplify Expressions with a Fraction Bar分数線を含む式を簡単にする

The line that separates the numerator from the denominator in a fraction is called a fraction bar. A fraction bar acts as grouping symbol. The order of operations then tells us to simplify the numerator and then the denominator. Then we divide.

英語のヒント

分数の分子と分母を分ける線を、分数線という。分数線は、まとまりを示す記号として働く。したがって演算の順序に従い、分子を簡単にし、次に分母を簡単にしてから割る。

To simplify the expression

\frac{5 - 3}{7 + 1},

we first simplify the numerator and the denominator separately. Then we divide.

英語のヒント

式

\frac{5 - 3}{7 + 1}

を簡単にするには、まず分子と分母を別々に簡単にし、その後に割る。

\frac{5 - 3}{7 + 1}

\frac{2}{8}

\frac{1}{4}

Example 1.74例題 1.74

Simplify:

\frac{4 - 2 (3)}{2^{2} + 2} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{4 - 2 (3)}{2^{2} + 2}

Solution解答

	$\frac{4 - 2 (3)}{2^{2} + 2}$
Use the order of operations to simpliy the numerator and the denominator. 演算の順序に従って、分子と分母を簡単にする。	$\frac{4 - 6}{4 + 2}$
Simplify the numerator and the denominator. 分子と分母を簡単にする。	$\frac{−2}{6}$
Simplify. A negative divided by a positive is negative. 簡単にする。負を正で割ると負になる。	$- \frac{1}{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Where does the negative sign go in a fraction? Usually the negative sign is in front of the fraction, but you will sometimes see a fraction with a negative numerator, or sometimes with a negative denominator. Remember that fractions represent division. When the numerator and denominator have different signs, the quotient is negative.

英語のヒント

分数の負号はどこに置くのだろうか。普通は分数全体の前だが、分子や分母に負号が付いていることもある。分数は割り算を表す。分子と分母の符号が異なると、商は負になる。

\begin{matrix} \frac{−1}{3} = - \frac{1}{3} & \frac{negative}{positive} = negative \\ \frac{1}{−3} = - \frac{1}{3} & \frac{positive}{negative} = negative \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{−1}{3} = - \frac{1}{3} & \frac{負の}{正の} = 負の \\ \frac{1}{−3} = - \frac{1}{3} & \frac{正の}{負の} = 負の \end{matrix}

Example 1.75例題 1.75

Simplify:

\frac{4 (−3) + 6 (−2)}{−3 (2) - 2} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{4 (−3) + 6 (−2)}{−3 (2) - 2}

Solution解答

Table 1.22表 1.22
	$\frac{4 (−3) + 6 (−2)}{−3 (2) - 2}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{−12 + (−12)}{−6 - 2}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{−24}{−8}$
Divide. 割る。	$3$

Try It (2)確認問題（2題）

Translate Phrases to Expressions with Fractions言葉による表現を分数を含む式に直す

Now that we have done some work with fractions, we are ready to translate phrases that would result in expressions with fractions.

英語のヒント

分数の計算を学んだので、今度は言葉を分数を含む式に直そう。

The English words quotient and ratio are often used to describe fractions. Remember that “quotient” means division. The quotient of

a

and

b

is the result we get from dividing

a

b,

\frac{a}{b} .

英語のヒント

分数の説明には、quotient（商）やratio（比）という英語がよく使われる。quotientは割り算に関係する語である。

a

と

b

の商とは、

a

を

b

で割って得られる値、つまり

\frac{a}{b}

である。

Example 1.76例題 1.76

Translate the English phrase into an algebraic expression: the quotient of the difference of m and n, and p.

英語のヒント

次の句を代数式に直せ。mとnの差をpで割った商。

Solution解答

We are looking for the quotient of the difference of m and n, and p. This means we want to divide the difference of

m and n by p .

英語のヒント

mとnの差をpで割った商を求める。つまり、次の二つの数の差を取り、それを割る：

m と n を割る数： p

\frac{m - n}{p}

Try It (2)確認問題（2題）

Key Concepts重要な概念

Equivalent Fractions Property: If $a, b, c$ are numbers where $b \neq 0, c \neq 0,$ then
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ and $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b} .$
英語のヒント
等しい分数の性質： $a, b, c$ が数で、 $b \neq 0, c \neq 0$ を満たすとき、 $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ かつ $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$ 。
Fraction Division: If $a, b, c and d$ are numbers where $b \neq 0, c \neq 0, and d \neq 0,$ then $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} .$ To divide fractions, multiply the first fraction by the reciprocal of the second.
英語のヒント
分数の除法： $a, b, c と d$ が数で、 $b \neq 0, c \neq 0, と d \neq 0$ を満たすとき、 $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ 。分数を割るには、最初の分数に二つ目の分数の逆数を掛ける。
Fraction Multiplication: If $a, b, c and d$ are numbers where $b \neq 0, and d \neq 0,$ then $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d} .$ To multiply fractions, multiply the numerators and multiply the denominators.
英語のヒント
分数の乗法： $a, b, c と d$ が数で、 $b \neq 0, と d \neq 0$ を満たすとき、 $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$ 。分数を掛けるには、分子同士と分母同士を掛ける。
Placement of Negative Sign in a Fraction: For any positive numbers $a and b,$ $\frac{- a}{b} = \frac{a}{- b} = - \frac{a}{b} .$
英語のヒント
分数の負号の位置：任意の正の数 $a と b$ について、 $\frac{- a}{b} = \frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}$ 。
Property of One: $\frac{a}{a} = 1;$ Any number, except zero, divided by itself is one.
英語のヒント
1の性質： $\frac{a}{a} = 1;$ 　ゼロ以外の数をその数自身で割ると、1になる。
Simplify a Fraction
英語のヒント
分数を約分する
1. Rewrite the numerator and denominator to show the common factors. If needed, factor the numerator and denominator into prime numbers first.
  英語のヒント
  共通の因数が分かるように分子と分母を書き直す。必要なら、先に分子と分母を素因数分解する。
2. Simplify using the equivalent fractions property by dividing out common factors.
  英語のヒント
  等しい分数の性質を使い、共通の因数を割って取り除く。
3. Multiply any remaining factors.
  英語のヒント
  残った因数をかけ合わせる。
Simplify an Expression with a Fraction Bar
英語のヒント
分数線を含む式を簡単にする
1. Simplify the expression in the numerator. Simplify the expression in the denominator.
  英語のヒント
  分子の式を簡単にする。分母の式を簡単にする。
2. Simplify the fraction.
  英語のヒント
  分数を約分する。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 343–346練習問題 343–346

Find Equivalent Fractions

英語のヒント

大きさの等しい分数を求める

In the following exercises, find three fractions equivalent to the given fraction. Show your work, using figures or algebra.

英語のヒント

次の練習問題では、与えられた分数と大きさの等しい分数を3つ求めよ。図または代数を使って、解く過程を示せ。

Exercise 343問題 343

\frac{3}{8}

Solution解き方

\frac{6}{16}, \frac{9}{24}, \frac{12}{32}

answers may vary

英語のヒント

\frac{6}{16}, \frac{9}{24}, \frac{12}{32}

　答えはさまざまである。

Exercise 344問題 344

\frac{5}{8}

Exercise 345問題 345

\frac{5}{9}

Solution解き方

\frac{10}{18}, \frac{15}{27}, \frac{20}{36}

answers may vary

英語のヒント

\frac{10}{18}, \frac{15}{27}, \frac{20}{36}

　答えはさまざまである。

Exercise 346問題 346

\frac{1}{8}

Exercises 347–356練習問題 347–356

Simplify Fractions

英語のヒント

分数を約分する

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 347問題 347

- \frac{40}{88}

Solution解き方

- \frac{5}{11}

Exercise 348問題 348

- \frac{63}{99}

Exercise 349問題 349

- \frac{108}{63}

Solution解き方

- \frac{12}{7}

Exercise 350問題 350

- \frac{104}{48}

Exercise 351問題 351

\frac{120}{252}

Solution解き方

\frac{10}{21}

Exercise 352問題 352

\frac{182}{294}

Exercise 353問題 353

- \frac{3 x}{12 y}

Solution解き方

- \frac{x}{4 y}

Exercise 354問題 354

- \frac{4 x}{32 y}

Exercise 355問題 355

\frac{14 x^{2}}{21 y}

Solution解き方

\frac{2 x^{2}}{3 y}

Exercise 356問題 356

\frac{24 a}{32 b^{2}}

Exercises 357–372練習問題 357–372

Multiply Fractions

英語のヒント

分数のかけ算

In the following exercises, multiply.

英語のヒント

次の各問で、掛け算せよ。

Exercise 357問題 357

\frac{3}{4} \cdot \frac{9}{10}

Solution解き方

\frac{27}{40}

Exercise 358問題 358

\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{7}

Exercise 359問題 359

- \frac{2}{3} (- \frac{3}{8})

Solution解き方

\frac{1}{4}

Exercise 360問題 360

- \frac{3}{4} (- \frac{4}{9})

Exercise 361問題 361

- \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{10}

Solution解き方

- \frac{1}{6}

Exercise 362問題 362

- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{15}

Exercise 363問題 363

(- \frac{14}{15}) (\frac{9}{20})

Solution解き方

- \frac{21}{50}

Exercise 364問題 364

(- \frac{9}{10}) (\frac{25}{33})

Exercise 365問題 365

(- \frac{63}{84}) (- \frac{44}{90})

Solution解き方

\frac{11}{30}

Exercise 366問題 366

(- \frac{33}{60}) (- \frac{40}{88})

Exercise 367問題 367

4 \cdot \frac{5}{11}

Solution解き方

\frac{20}{11}

Exercise 368問題 368

5 \cdot \frac{8}{3}

Exercise 369問題 369

\frac{3}{7} \cdot 21 n

Solution解き方

Exercise 370問題 370

\frac{5}{6} \cdot 30 m

Exercise 371問題 371

−8 (\frac{17}{4})

Solution解き方

−34

Exercise 372問題 372

(−1) (- \frac{6}{7})

Exercises 373–386練習問題 373–386

Divide Fractions

英語のヒント

分数のわり算

In the following exercises, divide.

英語のヒント

次の各問で、割り算せよ。

Exercise 373問題 373

\frac{3}{4} \div \frac{2}{3}

Solution解き方

\frac{9}{8}

Exercise 374問題 374

\frac{4}{5} \div \frac{3}{4}

Exercise 375問題 375

- \frac{7}{9} \div (- \frac{7}{4})

Solution解き方

\frac{4}{9}

Exercise 376問題 376

- \frac{5}{6} \div (- \frac{5}{6})

Exercise 377問題 377

\frac{3}{4} \div \frac{x}{11}

Solution解き方

\frac{33}{4 x}

Exercise 378問題 378

\frac{2}{5} \div \frac{y}{9}

Exercise 379問題 379

\frac{5}{18} \div (- \frac{15}{24})

Solution解き方

- \frac{4}{9}

Exercise 380問題 380

\frac{7}{18} \div (- \frac{14}{27})

Exercise 381問題 381

\frac{8 u}{15} \div \frac{12 v}{25}

Solution解き方

\frac{10 u}{9 v}

Exercise 382問題 382

\frac{12 r}{25} \div \frac{18 s}{35}

Exercise 383問題 383

−5 \div \frac{1}{2}

Solution解き方

−10

Exercise 384問題 384

−3 \div \frac{1}{4}

Exercise 385問題 385

\frac{3}{4} \div (−12)

Solution解き方

- \frac{1}{16}

Exercise 386問題 386

−15 \div (- \frac{5}{3})

Exercises 387–392練習問題 387–392

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 387問題 387

\frac{- \frac{8}{21}}{\frac{12}{35}}

Solution解き方

- \frac{10}{9}

Exercise 388問題 388

\frac{- \frac{9}{16}}{\frac{33}{40}}

Exercise 389問題 389

\frac{- \frac{4}{5}}{2}

Solution解き方

- \frac{2}{5}

Exercise 390問題 390

\frac{5}{\frac{3}{10}}

Exercise 391問題 391

\frac{\frac{m}{3}}{\frac{n}{2}}

Solution解き方

\frac{2 m}{3 n}

Exercise 392問題 392

\frac{- \frac{3}{8}}{- \frac{y}{12}}

Exercises 393–412練習問題 393–412

Simplify Expressions Written with a Fraction Bar

英語のヒント

分数線で書かれた式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 393問題 393

\frac{22 + 3}{10}

Solution解き方

\frac{5}{2}

Exercise 394問題 394

\frac{19 - 4}{6}

Exercise 395問題 395

\frac{48}{24 - 15}

Solution解き方

\frac{16}{3}

Exercise 396問題 396

\frac{46}{4 + 4}

Exercise 397問題 397

\frac{−6 + 6}{8 + 4}

Solution解き方

Exercise 398問題 398

\frac{−6 + 3}{17 - 8}

Exercise 399問題 399

\frac{4 \cdot 3}{6 \cdot 6}

Solution解き方

\frac{1}{3}

Exercise 400問題 400

\frac{6 \cdot 6}{9 \cdot 2}

Exercise 401問題 401

\frac{4^{2} - 1}{25}

Solution解き方

\frac{3}{5}

Exercise 402問題 402

\frac{7^{2} + 1}{60}

Exercise 403問題 403

\frac{8 \cdot 3 + 2 \cdot 9}{14 + 3}

Solution解き方

2 \frac{8}{17}

Exercise 404問題 404

\frac{9 \cdot 6 - 4 \cdot 7}{22 + 3}

Exercise 405問題 405

\frac{5 \cdot 6 - 3 \cdot 4}{4 \cdot 5 - 2 \cdot 3}

Solution解き方

\frac{9}{7}

Exercise 406問題 406

\frac{8 \cdot 9 - 7 \cdot 6}{5 \cdot 6 - 9 \cdot 2}

Exercise 407問題 407

\frac{5^{2} - 3^{2}}{3 - 5}

Solution解き方

−8

Exercise 408問題 408

\frac{6^{2} - 4^{2}}{4 - 6}

Exercise 409問題 409

\frac{7 \cdot 4 - 2 (8 - 5)}{9 \cdot 3 - 3 \cdot 5}

Solution解き方

\frac{11}{6}

Exercise 410問題 410

\frac{9 \cdot 7 - 3 (12 - 8)}{8 \cdot 7 - 6 \cdot 6}

Exercise 411問題 411

\frac{9 (8 - 2) - 3 (15 - 7)}{6 (7 - 1) - 3 (17 - 9)}

Solution解き方

\frac{5}{2}

Exercise 412問題 412

\frac{8 (9 - 2) - 4 (14 - 9)}{7 (8 - 3) - 3 (16 - 9)}

Exercises 413–416練習問題 413–416

Translate Phrases to Expressions with Fractions

英語のヒント

言葉による表現を分数を含む式に直す

In the following exercises, translate each English phrase into an algebraic expression.

英語のヒント

次の練習問題では、英語の各表現を代数式に直せ。

Exercise 413問題 413

the quotient of r and the sum of s and 10

英語のヒント

rをsと10の和で割った商

Solution解き方

\frac{r}{s + 10}

Exercise 414問題 414

the quotient of A and the difference of 3 and B

英語のヒント

Aを3とBの差で割った商

Exercise 415問題 415

the quotient of the difference of

x and y, and - 3

英語のヒント

x と y, と - 3

の差を割った商

Solution解き方

\frac{x - y}{−3}

Exercise 416問題 416

the quotient of the sum of

m and n, and 4 q

英語のヒント

m と n, と 4 q

の和を割った商