第3章数学モデル

Solve Mixture Word Problems混合の文章題を解く

Now we’ll solve some more general applications of the mixture model. Grocers and bartenders use the mixture model to set a fair price for a product made from mixing two or more ingredients. Financial planners use the mixture model when they invest money in a variety of accounts and want to find the overall interest rate. Landscape designers use the mixture model when they have an assortment of plants and a fixed budget, and event coordinators do the same when choosing appetizers and entrees for a banquet.

英語のヒント

今度は混合のモデルを使った、より一般的な応用問題を解く。食料品店主やバーテンダーは、2種類以上の材料を混ぜて作る商品の適正価格を決めるために混合のモデルを使う。ファイナンシャルプランナーは、複数の口座に分けて投資したときの全体の利率を求めるために使う。造園設計者は、さまざまな植物を決まった予算でそろえるときに使い、催しの担当者も宴会の前菜や主菜を選ぶときに同じモデルを使う。

Our first mixture word problem will be making trail mix from raisins and nuts.

英語のヒント

最初の混合の文章題では、レーズンとナッツからトレイルミックスを作る。

Example 3.32例題 3.32

Henning is mixing raisins and nuts to make 10 pounds of trail mix. Raisins cost $2 a pound and nuts cost $6 a pound. If Henning wants his cost for the trail mix to be $5.20 a pound, how many pounds of raisins and how many pounds of nuts should he use?

英語のヒント

ヘニングはレーズンとナッツを混ぜて、トレイルミックスを10ポンド作る。レーズンは1ポンド2ドル、ナッツは1ポンド6ドルである。トレイルミックスの原価を1ポンド5.20ドルにするには、それぞれ何ポンド使えばよいか。

Solution解答

As before, we fill in a chart to organize our information.

英語のヒント

これまでと同様に、表を埋めて情報を整理する。

The 10 pounds of trail mix will come from mixing raisins and nuts.

英語のヒント

レーズンとナッツを混ぜて、10ポンドのトレイルミックスを作る。

\begin{matrix} Let x = number of pounds of raisins. \\ 10 - x = number of pounds of nuts \end{matrix}

\begin{matrix} 次のようにおく： x = レーズンの重さ（ポンド）。 \\ 10 - x = ナッツの重さ（ポンド） \end{matrix}

We enter the price per pound for each item.

英語のヒント

それぞれの1ポンドあたりの価格を記入する。

We multiply the number times the value to get the total value.

英語のヒント

量に単価を掛けて総額を求める。

4行4列の表。見出し行には左から「種類」「ポンド数」「1ポンドあたりの価格（ドル）」「総額（ドル）」とある。2行目はレーズン、x、2、2x。3行目はナッツ、10−x、6、6(10−x)。4行目はトレイルミックス、10、5.20、10×5.20。

Notice that the last line in the table gives the information for the total amount of the mixture.

英語のヒント

表の最後の行は、混ぜたもの全体の量についての情報を示していることに注意する。

We know the value of the raisins plus the value of the nuts will be the value of the trail mix.

英語のヒント

レーズンの金額とナッツの金額を足すと、トレイルミックスの金額になる。

Write the equation from the total values. 合計金額から方程式を書く。
Solve the equation. 方程式を解く。


Find the number of pounds of nuts. ナッツのポンド数を求める。

	8 pounds of nuts ナッツ8ポンド。
Check. $\begin{matrix} 2 ($2) + 8 ($6) & \overset{?}{=} & 10 ($5.20) \\ $4 + $48 & \overset{?}{=} & $52 \\ $52 & = & $52 ✓ \end{matrix}$ 確認する。 $\begin{matrix} 2 ($2) + 8 ($6) & \overset{?}{=} & 10 ($5.20) \\ $4 + $48 & \overset{?}{=} & $52 \\ $52 & = & $52 ✓ \end{matrix}$
	Henning mixed two pounds of raisins with eight pounds of nuts. ヘニングはレーズン2ポンドとナッツ8ポンドを混ぜた。

Try It (2)確認問題（2題）

We can also use the mixture model to solve investment problems using simple interest. We have used the simple interest formula,

I = P r t,

where

t

represented the number of years. When we just need to find the interest for one year,

t = 1,

so then

I = P r .

英語のヒント

混合のモデルは、単利による投資の問題にも使える。単利の公式

I = P r t

を使ってきた。ここで

t

は年数を表した。1年分の利息だけを求めるときは

t = 1

なので、

I = P r

となる。

Example 3.33例題 3.33

Stacey has $20,000 to invest in two different bank accounts. One account pays interest at 3% per year and the other account pays interest at 5% per year. How much should she invest in each account if she wants to earn 4.5% interest per year on the total amount?

英語のヒント

ステイシーは20,000ドルを2つの銀行口座に分けて預ける。一方の年利率は3%、他方は5%である。全体で年利率4.5%の利息を得るには、それぞれいくら預ければよいか。

Solution解答

We will fill in a chart to organize our information. We will use the simple interest formula to find the interest earned in the different accounts.

英語のヒント

表を埋めて情報を整理する。単利の公式を使って、各口座で得られる利息を求める。

The interest on the mixed investment will come from adding the interest from the account earning 3% and the interest from the account earning 5% to get the total interest on the $20,000.

英語のヒント

年利率3%の口座と年利率5%の口座の利息を足すと、分けて預けた20,000ドル全体の利息になる。

\begin{matrix} Let x & = & amount invested at 3%. \\ 20,000 - x & = & amount invested at 5% \end{matrix}

\begin{matrix} 次のようにおく： x & = & 利率3%で投資した額。 \\ 20,000 - x & = & 利率5%で投資した額 \end{matrix}

The amount invested is the principal for each account.

英語のヒント

各口座に預ける金額が元金である。

We enter the interest rate for each account.

英語のヒント

各口座の利率を記入する。

We multiply the amount invested times the rate to get the interest.

英語のヒント

預ける金額に利率を掛けて、利息を求める。

4行4列の表。見出し行には左から「種類」「投資額」「利率」「利息」とある。2行目は3%、x、0.03、0.03x。3行目は5%、20,000−x、0.05、0.05(20,000−x)。4行目は4.5%、20,000、0.045、0.045×20,000。

Notice that the total amount invested, 20,000, is the sum of the amount invested at 3% and the amount invested at 5%. And the total interest,

0.045 (20,000),

is the sum of the interest earned in the 3% account and the interest earned in the 5% account.

英語のヒント

預金の総額20,000は、3%で預ける金額と5%で預ける金額の和であることに注意する。また、利息の総額

0.045 (20,000)

は、3%の口座で得る利息と5%の口座で得る利息の和である。

As with the other mixture applications, the last column in the table gives us the equation to solve.

英語のヒント

ほかの混合の応用問題と同じく、表の最後の列から解くべき方程式が得られる。

Write the equation from the interest earned. Solve the equation. 得られる利息から方程式を書き、解く。	$\begin{matrix} 0.03 x + 0.05 (20,000 - x) & = & 0.045 (20,000) \\ 0.03 x + 1,000 - 0.05 x & = & 900 \\ - 0.02 x + 1,000 & = & 900 \\ - 0.02 x & = & - 100 \\ x & = & 5,000 \end{matrix}$ amount invested at 3% $\begin{matrix} 0.03 x + 0.05 (20,000 - x) & = & 0.045 (20,000) \\ 0.03 x + 1,000 - 0.05 x & = & 900 \\ - 0.02 x + 1,000 & = & 900 \\ - 0.02 x & = & - 100 \\ x & = & 5,000 \end{matrix}$ 3%で預ける金額。
Find the amount invested at 5%. 5%で預ける金額を求める。
Check. $\begin{matrix} 0.03 x + 0.05 (15,000 + x) & ≟ & 0.045 (20,000) \\ 150 + 750 & ≟ & 900 \\ 900 & = & 900 ✓ \end{matrix}$ 確認する。 $\begin{matrix} 0.03 x + 0.05 (15,000 + x) & ≟ & 0.045 (20,000) \\ 150 + 750 & ≟ & 900 \\ 900 & = & 900 ✓ \end{matrix}$
	Stacey should invest $5,000 in the account that earns 3% and $15,000 in the account that earns 5%. ステイシーは年利率3%の口座に5,000ドル、年利率5%の口座に15,000ドル預ければよい。

Try It (2)確認問題（2題）