プリンキピア

第3章数学モデル

3.2 Solve Percent Applications3.2　百分率の応用問題を解く

Learning Objectives学習目標

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:
英語のヒント
この節を終えると、次のことができるようになる。
  • Translate and solve basic percent equations
    英語のヒント
    百分率の基本的な方程式を立てて解く
  • Solve percent applications
    英語のヒント
    百分率の応用問題を解く
  • Find percent increase and percent decrease
    英語のヒント
    増加率と減少率を求める
  • Solve simple interest applications
    英語のヒント
    単利の応用問題を解く
  • Solve applications with discount or mark-up
    英語のヒント
    値引きや価格への上乗せの応用問題を解く
Before You Begin (6)準備問題（6題）

Translate and Solve Basic Percent Equations百分率の基本的な方程式を立てて解く

We will solve percent equations using the methods we used to solve equations with fractions or decimals. Without the tools of algebra, the best method available to solve percent problems was by setting them up as proportions. Now as an algebra student, you can just translate English sentences into algebraic equations and then solve the equations.
英語のヒント
分数や小数を含む方程式を解いたときの方法を使って、百分率の方程式を解く。代数の道具を使わない場合、百分率の問題を解く最もよい方法は比例式を立てることだった。今は代数を学んでいるので、英文を代数の方程式に表し、その方程式を解けばよい。
We can use any letter you like as a variable, but it is a good idea to choose a letter that will remind us of what you are looking for. We must be sure to change the given percent to a decimal when we put it in the equation.
英語のヒント
変数には好きな文字を使えるが、何を求めているか思い出せる文字を選ぶとよい。与えられた百分率を方程式に入れるときには、必ず小数に直す。
Example 3.12例題 3.12
Translate and solve: What number is 35% of 90?
英語のヒント
数式に表して解け。90の35%はいくつか。

Solution解答
.
Translate into algebra. Let n= the number.
代数式に表す。n=求める数、とおく。
.
Remember "of" means multiply, "is" means equals.
「of」は掛け算、「is」は等しいことを表すのを思い出そう。
Multiply.
掛ける。
.
31.5 is 35% of 90
31.5は90の35%である。
Try It (2)確認問題（2題）
We must be very careful when we translate the words in the next example. The unknown quantity will not be isolated at first, like it was in Example 3.12. We will again use direct translation to write the equation.
英語のヒント
次の例題の言葉を数式に表すときは、十分に注意する必要がある。例題3.12のように、未知の量が最初から単独になっているわけではない。今回も、言葉を直接数式に表して方程式を書く。
Example 3.13例題 3.13
Translate and solve: 6.5% of what number is $1.17?
英語のヒント
数式に表して解け。いくらの6.5%が1.17ドルか。

Solution解答
.
Translate. Let n= the number.
数式に表す。n=求める数、とおく。
.
Multiply.
掛ける。
.
Divide both sides by 0.065 and simplify.
両辺を0.065で割って簡単にする。
.
6.5% of$18 is $1.17
$18の6.5%は$1.17である。
Try It (2)確認問題（2題）
In the next example, we are looking for the percent.
英語のヒント
次の例題では、百分率を求める。
Example 3.14例題 3.14
Translate and solve: 144 is what percent of 96?
英語のヒント
数式に表して解け。144は96の何パーセントか。

Solution解答
.
Translate into algebra. Let p= the percent.
代数で表す。p=（割合）とおく。
.
Multiply.
掛ける。
.
Divide by 96 and simplify.
96で割って簡単にする。
.
Convert to percent.
百分率に直す。
.
144 is 150% of 96
144は96の150%である。
Note that we are asked to find percent, so we must have our final result in percent form.
英語のヒント
百分率を求めるよう問われているので、最終結果は百分率で示す必要があることに注意しよう。
Try It (2)確認問題（2題）

Solve Applications of Percent百分率の応用問題を解く

Many applications of percent—such as tips, sales tax, discounts, and interest—occur in our daily lives. To solve these applications we’ll translate to a basic percent equation, just like those we solved in previous examples. Once we translate the sentence into a percent equation, we know how to solve it.
英語のヒント
チップ、売上税、値引き、利息など、百分率を使う場面は日常生活に多い。これらの応用問題を解くには、先の例題で解いたものと同じような、基本的な百分率の方程式に表す。文を百分率の方程式に表せれば、その解き方はわかっている。
We will restate the problem solving strategy we used earlier for easy reference.
英語のヒント
参照しやすいように、先に使った問題解決の手順をもう一度示す。
Now that we have the strategy to refer to, and have practiced solving basic percent equations, we are ready to solve percent applications. Be sure to ask yourself if your final answer makes sense—since many of the applications will involve everyday situations, you can rely on your own experience.
英語のヒント
参照できる手順があり、基本的な百分率の方程式を解く練習もしたので、百分率の応用問題を解く準備ができた。最後の答えが筋の通ったものか、必ず自問しよう。多くの応用問題は日常の状況を扱うので、自分自身の経験を頼りにできる。
Example 3.15例題 3.15
Dezohn and his girlfriend enjoyed a nice dinner at a restaurant and his bill was $68.50. He wants to leave an 18% tip. If the tip will be 18% of the total bill, how much tip should he leave?
英語のヒント
デゾーンは恋人とレストランで楽しい夕食をとり、請求額は68.50ドルだった。18%のチップを置きたいと考えている。チップが請求総額の18%なら、いくら置くべきか。

Solution解答

Step 1. Read the problem.
手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for.
手順2．何を求めるのかを明らかにする。
the amount of tip should Dezohn leave
デゾーンが置くべきチップの額
Step 3. Name what we are looking for.
手順3．求めるものを文字で表す。
Choose a variable to represent it.
それを表す変数を選ぶ。
Let t = amount of tip.
t=チップの額、とおく。
Step 4. Translate into an equation.
手順4．方程式に表す。
.
Write a sentence that gives the information to find it.
それを求めるための情報を文で書く。
.
Translate the sentence into an equation.
文を方程式で表す。
.
Step 5. Solve the equation. Multiply.
手順5．方程式を解く。掛け算する。
.
Step 6. Check. Does this make sense?
手順6．確認する。この結果は筋が通っているか。
Yes, 20% of $70 is $14.
通っている。70ドルの20%は14ドルである。
Step 7. Answer the question with a complete sentence.
手順7．完全な文で問いに答える。
Dezohn should leave a tip of $12.33.
デゾーンは12.33ドルのチップを置くべきである。
Notice that we used t to represent the unknown tip.
英語のヒント
未知のチップの額を表すためにtを使ったことに注目しよう。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 3.16例題 3.16
The label on Masao’s breakfast cereal said that one serving of cereal provides 85 milligrams (mg) of potassium, which is 2% of the recommended daily amount. What is the total recommended daily amount of potassium?
英語のヒント
マサオの朝食用シリアルの表示には、1食分に85ミリグラム（mg）のカリウムが含まれ、それが1日の推奨量の2%であると書かれていた。1日のカリウム推奨量はいくらか。

Solution解答

Step 1. Read the problem.
手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for.
手順2．何を求めるのかを明らかにする。
the total amount of potassium that is recommended
カリウムの推奨総量
Step 3. Name what we are looking for.
手順3．求めるものを文字で表す。
Choose a variable to represent it.
それを表す変数を選ぶ。
Let a= total amount of potassium.
a=（カリウムの全体量）とおく。
Step 4. Translate. Write a sentence that gives the information to find it.
手順4．数式に表す。求めるための情報を示す文を書く。
.
Translate into an equation.
方程式で表す。
.
Step 5. Solve the equation.
手順5　方程式を解く。
.
Step 6. Check. Does this make sense?
手順6．確認する。この結果は筋が通っているか。
Yes, 2% is a small percent and 85 is a small part of 4,250.
通っている。2%は小さい割合であり、85は4,250の小さな部分である。
Step 7. Answer the question with a complete sentence.
手順7．完全な文で問いに答える。
The amount of potassium that is recommended is 4,250 mg.
カリウムの推奨量は4,250mgである。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 3.17例題 3.17
Mitzi received some gourmet brownies as a gift. The wrapper said each brownie was 480 calories, and had 240 calories of fat. What percent of the total calories in each brownie comes from fat?
英語のヒント
ミッツィーは贈り物に上等なブラウニーをもらった。包装には1個480カロリー、そのうち脂肪によるものが240カロリーと書かれていた。1個の総カロリーの何パーセントが脂肪によるものか。

Solution解答

Step 1. Read the problem.
手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for.
手順2．何を求めるのかを明らかにする。
the percent of the total calories from fat
総カロリーのうち脂肪由来の割合
Step 3. Name what we are looking for.
手順3．求めるものを文字で表す。
Choose a variable to represent it.
それを表す変数を選ぶ。
Let p= percent of fat.
p=脂肪による割合、とおく。
Step 4. Translate. Write a sentence that gives the information to find it.
手順4．数式に表す。求めるための情報を示す文を書く。
.
Translate into an equation.
方程式で表す。
.
Step 5. Solve the equation.
手順5　方程式を解く。
.
Divide by 480.
480で割る。
.
Put in a percent form.
百分率で表す。
.
Step 6. Check. Does this make sense?
手順6．確認する。この結果は筋が通っているか。
Yes, 240 is half of 480, so 50% makes sense.
通っている。240は480の半分なので、50%は妥当である。
Step 7. Answer the question with a complete sentence.
手順7．完全な文で問いに答える。
Of the total calories in each brownie, 50% is fat.
ブラウニー1個の総カロリーのうち、50%が脂肪由来である。
Try It (2)確認問題（2題）