プリンキピア

第3章数学モデル

3.6 Solve Applications with Linear Inequalities3.6　一次不等式の応用問題を解く

Learning Objectives学習目標

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:
英語のヒント
この節を終えると、次のことができるようになる。
  • Solve applications with linear inequalities
    英語のヒント
    一次不等式の応用問題を解く
Before You Begin (2)準備問題（2題）

Solve Applications with Linear Inequalities一次不等式の応用問題を解く

Many real-life situations require us to solve inequalities. In fact, inequality applications are so common that we often do not even realize we are doing algebra. For example, how many gallons of gas can be put in the car for $20? Is the rent on an apartment affordable? Is there enough time before class to go get lunch, eat it, and return? How much money should each family member’s holiday gift cost without going over budget?
英語のヒント
実生活の多くの場面では、不等式を解く必要がある。実際、不等式の応用はあまりに身近なので、代数を使っていることにさえ気付かないことが多い。例えば、20ドルで車にガソリンを何ガロン入れられるか。アパートの家賃を払えるか。授業前に昼食を買いに行き、食べて戻る時間は十分にあるか。予算を超えずに、家族への祝日の贈り物にそれぞれいくら使えるか。
The method we will use to solve applications with linear inequalities is very much like the one we used when we solved applications with equations. We will read the problem and make sure all the words are understood. Next, we will identify what we are looking for and assign a variable to represent it. We will restate the problem in one sentence to make it easy to translate into an inequality. Then, we will solve the inequality.
英語のヒント
一次不等式の応用問題を解く方法は、方程式の応用問題で使った方法とよく似ている。問題を読み、すべての言葉を理解する。次に、求めるものを特定し、それを表す変数を決める。不等式に表しやすいよう、問題を1つの文で言い換える。その後、不等式を解く。
Example 3.53例題 3.53
Emma got a new job and will have to move. Her monthly income will be $5,625. To qualify to rent an apartment, Emma’s monthly income must be at least three times as much as the rent. What is the highest rent Emma will qualify for?
英語のヒント
エマは新しい仕事に就き、引っ越す必要がある。月収は5,625ドルになる。アパートを借りる資格を得るには、月収が家賃の3倍以上でなければならない。エマが借りられる家賃の上限はいくらか。

Solution解答

Step 1. Read the problem.
手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for.
手順2．何を求めるのかを明らかにする。
the highest rent Emma will qualify for
エマが借りられる家賃の上限。
Step 3. Name what we are looking for.
Choose a variable to represent that quantity.
手順3．求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。

Let r= the rent.
r=家賃、とする。
Step 4. Translate into an inequality.
      First write a sentence that gives the information to find it.
手順4．不等式に表す。まず、求めるための情報を含む文を書く。

Emma's monthly income must be at least three times the rent.
エマの月収は家賃の3倍以上でなければならない。
Step 5. Solve the inequality.

      Remember, a>x has the same meaning as x<a.
手順5．不等式を解く。a>xとx<aは同じ意味であることを思い出す。
5,625≥3r1,875≥rr≤1,875
Step 6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
      A maximum rent of $1,875 seems reasonable for an income of $5,625.
手順6．答えを問題に戻し、筋が通ることを確かめる。月収5,625ドルに対して家賃の上限が1,875ドルというのは妥当そうである。
Step 7. Answer the question with a complete sentence.
手順7．完全な文で問いに答える。
The maximum rent is $1,875.
家賃の上限は1,875ドルである。
Table 3.18表 3.18
Try It (2)確認問題（2題）
Sometimes an application requires the solution to be a whole number, but the algebraic solution to the inequality is not a whole number. In that case, we must round the algebraic solution to a whole number. The context of the application will determine whether we round up or down. To check applications like this, we will round our answer to a number that is easy to compute with and make sure that number makes the inequality true.
英語のヒント
応用問題では答えに非負整数が必要でも、不等式の代数的な解が整数でないことがある。その場合、代数的な解を整数に丸めなければならない。切り上げるか切り捨てるかは、問題の状況によって決まる。このような問題の確認では、計算しやすい数に丸め、その数で不等式が成り立つことを確かめる。
Example 3.54例題 3.54
Dawn won a mini-grant of $4,000 to buy tablet computers for her classroom. The tablets she would like to buy cost $254.12 each, including tax and delivery. What is the maximum number of tablets Dawn can buy?
英語のヒント
ドーンは教室のタブレット端末購入のために4,000ドルの小口助成金を得た。買いたい端末は税金と送料を含め1台254.12ドルである。最大何台買えるか。

Solution解答

Step 1. Read the problem.
手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for.
手順2．何を求めるのかを明らかにする。
the maximum number of tablets Dawn can buy
ドーンが買えるタブレット端末の最大台数。
Step 3. Name what we are looking for.
Choose a variable to represent that quantity.
手順3．求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。

Let n= the number of tablets.
n=端末の台数、とする。
Step 4. Translate. Write a sentence that gives the information to find it.
      Translate into an inequality.
手順4．数式に表す。求めるための情報を示す文を書き、その文を不等式に表す。
$254.12 times the number of tablets is no more than $4,000.
254.12n≤4,000
254.12ドルに端末の台数を掛けた額は4,000ドル以下である。254.12n≤4,000
Step 5. Solve the inequality.

      But n must be a whole number of tablets, so round to 15.
手順5．不等式を解く。ただし、端末の台数nは整数でなければならないので、15に丸める。
n≤15.74
n≤15
Step 6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
      Rounding down the price to $250, 15 tablets would cost $3,750,
      while 16 tablets would be $4,000. So a maximum of 15 tablets at
      $254.12 seems reasonable.
手順6．答えを問題に戻し、筋が通ることを確かめる。価格を250ドルに切り下げると、15台は3,750ドル、16台は4,000ドルとなる。したがって、1台254.12ドルなら最大15台というのは妥当そうである。
Step 7. Answer the question with a complete sentence.
手順7．完全な文で問いに答える。
Dawn can buy a maximum of 15 tablets.
ドーンは最大15台のタブレット端末を買える。
Table 3.19表 3.19
Try It (2)確認問題（2題）
Example 3.55例題 3.55
Pete works at a computer store. His weekly pay will be either a fixed amount, $925, or $500 plus 12% of his total sales. How much should his total sales be for his variable pay option to exceed the fixed amount of $925?
英語のヒント
ピートはコンピューター店で働く。週給は定額925ドルか、500ドルに総売上の12%を加えた額のどちらかである。歩合を含む週給が定額の925ドルを超えるには、総売上はいくら必要か。

Solution解答

Step 1. Read the problem.
手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for.
手順2．何を求めるのかを明らかにする。
the total sales needed for his variable pay option to exceed the fixed amount of $925
歩合を含む週給が定額925ドルを超えるために必要な総売上。
Step 3. Name what we are looking for.
Choose a variable to represent that quantity.
手順3．求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。

Let s= the total sales.
s=総売上、とする。
Step 4. Translate. Write a sentence that gives the information to find it.
      Translate into an inequality. Remember to
      convert the percent to a decimal.
手順4．数式に表す。求めるための情報を含む文を書く。不等式に表す。パーセントを小数に直すことを忘れない。

500+0.12s>925
Step 5. Solve the inequality.
手順5．不等式を解く。
0.12s>425s>3,541.66—
Step 6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
      If we round the total sales up to $4,000, we see that
      500+0.12(4,000)=980, which is more than $925.
手順6．答えを問題に戻し、筋が通ることを確かめる。総売上を4,000ドルに切り上げると、500+0.12(4,000)=980となり、925ドルを超える。
Step 7. Answer the question with a complete sentence.
手順7．完全な文で問いに答える。
The total sales must be more than $3,541.67.
総売上は3,541.67ドルを超えなければならない。
Table 3.20表 3.20
Try It (2)確認問題（2題）
Example 3.56例題 3.56
Sergio and Lizeth have a very tight vacation budget. They plan to rent a car from a company that charges $75 a week plus $0.25 a mile. How many miles can they travel and still keep within their $200 budget?
英語のヒント
セルジオとリゼスの旅行予算には余裕がほとんどない。週75ドルに1マイルあたり0.25ドルが加わる会社で車を借りる計画である。200ドルの予算内で何マイル走れるか。

Solution解答

Step 1. Read the problem.
手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for.
手順2．何を求めるのかを明らかにする。
the number of miles Sergio and Lizeth can travel
セルジオとリゼスが走れるマイル数。
Step 3. Name what we are looking for.
Choose a variable to represent that quantity.
手順3．求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。

Let m= the number of miles.
m=マイル数、とする。
Step 4. Translate. Write a sentence that gives the information to find it.

      Translate into an inequality.
手順4．数式に表す。求めるための情報を示す文を書き、その文を不等式に表す。
$75 plus 0.25 times the number of miles is less than or equal to $200.

75+0.25m≤200
75ドルにマイル数の0.25倍を加えた額は200ドル以下である。75+0.25m≤200
Step 5. Solve the inequality.
手順5．不等式を解く。
0.25m≤125m≤500miles
0.25m≤125m≤500マイル
Step 6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
      Yes, 75+0.25(500)=200.
手順6．答えを問題に戻し、筋が通ることを確かめる。確かに75+0.25(500)=200である。
Step 7. Write a sentence that answers the question.
手順7．問題に答える文を書く。
Sergio and Lizeth can travel 500 miles and still stay on budget.
セルジオとリゼスは予算内で500マイル走れる。
Table 3.21表 3.21
Try It (2)確認問題（2題）
A common goal of most businesses is to make a profit. Profit is the money that remains when the expenses have been subtracted from the money earned. In the next example, we will find the number of jobs a small businessman needs to do every month in order to make a certain amount of profit.
英語のヒント
多くの事業に共通する目標は利益を出すことである。利益とは、稼いだ金額から経費を引いて残る金額である。次の例では、ある額の利益を出すために小規模事業者が毎月何件の仕事を必要とするか求める。
Example 3.57例題 3.57
Elliot has a landscape maintenance business. His monthly expenses are $1,100. If he charges $60 per job, how many jobs must he do to earn a profit of at least $4,000 a month?
英語のヒント
エリオットは庭の維持管理業を営んでいる。月の経費は1,100ドルである。1件60ドル請求するとき、月4,000ドル以上の利益を得るには何件の仕事をしなければならないか。

Solution解答

Step 1. Read the problem.
手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for.
手順2．何を求めるのかを明らかにする。
the number of jobs Elliot needs
エリオットに必要な仕事の件数。
Step 3. Name what we are looking for. Choose a variable to represent it.
手順3．求めるものに名前を付ける。それを表す変数を選ぶ。
Let j= the number of jobs.
j=仕事の件数、とする。
Step 4. Translate Write a sentence that gives the information to find it.
手順4．数式に表す。求めるための情報を含む文を書く。
$60 times the number of jobs minus $1,100 is at least $4,000.
60ドルに仕事の件数を掛け、1,100ドルを引いた額は4,000ドル以上である。
Translate into an inequality.
不等式に表す。
.
.
Step 5. Solve the inequality.
手順5．不等式を解く。
.
Step 6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
If Elliot did 90 jobs, his profit would be 60(90)−1,100, or $4,300. This is more than $4,000.
手順6．答えを問題に戻し、筋が通ることを確かめる。エリオットが90件働くと、利益は60(90)−1,100、すなわち$4,300となる。これは$4,000より多い。
Step 7. Write a sentence that answer the question.
手順7．問題に答える文を書く。
Elliot must work at least 85 jobs.
エリオットは少なくとも85件の仕事をしなければならない。
Try It (2)確認問題（2題）
Sometimes life gets complicated! There are many situations in which several quantities contribute to the total expense. We must make sure to account for all the individual expenses when we solve problems like this.
英語のヒント
生活はときに複雑になる。いくつもの量が総費用に関係する場面は多い。このような問題を解くときは、個々の費用をすべて計算に入れなければならない。
Example 3.58例題 3.58
Brenda’s best friend is having a destination wedding and the event will require 3 nights in a hotel. Brenda has $500 in savings and can earn $15 an hour babysitting. She expects to pay $350 airfare, $375 for food and entertainment and $60 a night for her share of a hotel room. How many hours must she babysit to have enough money to pay for the trip?
英語のヒント
ブレンダの親友が旅行先で結婚式を挙げるため、ホテルに3泊する必要がある。ブレンダは500ドル貯めており、ベビーシッターで時給15ドル稼げる。航空運賃350ドル、食事と娯楽375ドル、ホテルの自己負担分1泊60ドルを見込んでいる。旅行代金を払うために何時間ベビーシッターをしなければならないか。

Solution解答

Step 1. Read the problem.
手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for.
手順2．何を求めるのかを明らかにする。
the number of hours Brenda must babysit
ブレンダがベビーシッターをしなければならない時間。
Step 3. Name what we are looking for.
Choose a variable to represent that quantity.
手順3．求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。
Let h= the number of hours.
h=時間数、とする。
Step 4. Translate.
Write a sentence that gives the information to find it.


      Translate into an inequality.
手順4．数式に表す。求めるための情報を含む文を書く。不等式に表す。
The expenses must be less than or equal to the income.
The cost of airfare plus the cost of food and entertainment and
the hotel bill must be less than or equal to the savings plus
the amount earned babysitting.
$350+$375+$60(3)≤$500+$15h
支出は収入以下でなければならない。航空運賃、食事・娯楽費、ホテル代の合計は、貯金とベビーシッターで稼ぐ額の合計以下でなければならない。$350+$375+$60(3)≤$500+$15h
Step 5. Solve the inequality.
手順5．不等式を解く。
905≤500+15h405≤15h27≤hh≥27
Step 6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
      We substitute 27 into the inequality.
905≤500+15h905≤500+15(27)905≤905
手順6．答えを問題に戻し、筋が通ることを確かめる。不等式に27を代入する。 905≤500+15h905≤500+15(27)905≤905
Step 7. Write a sentence that answers the question.
手順7．問題に答える文を書く。
Brenda must babysit at least 27 hours.
ブレンダは少なくとも27時間ベビーシッターをしなければならない。
Try It (2)確認問題（2題）