第3章数学モデル

3.3 Solve Mixture Applications3.3　混合の応用問題を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve coin word problems
英語のヒント
硬貨の文章題を解く
Solve ticket and stamp word problems
英語のヒント
チケットと切手の文章題を解く
Solve mixture word problems
英語のヒント
混合の文章題を解く
Use the mixture model to solve investment problems using simple interest
英語のヒント
混合のモデルを使い、単利による投資の問題を解く

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Solve Coin Word Problems硬貨についての文章題を解く

In mixture problems, we will have two or more items with different values to combine together. The mixture model is used by grocers and bartenders to make sure they set fair prices for the products they sell. Many other professionals, like chemists, investment bankers, and landscapers also use the mixture model.

英語のヒント

混合の問題では、価値の異なる2つ以上のものを組み合わせる。食料品店主やバーテンダーは、販売する商品に適正な価格を付けるために混合のモデルを使う。化学者、投資銀行家、造園業者など、ほかにも多くの専門家が混合のモデルを使う。

Additional Resources追加教材

We will start by looking at an application everyone is familiar with—money!

英語のヒント

まず、誰もがよく知っているお金の応用から見ていこう。

Imagine that we take a handful of coins from a pocket or purse and place them on a desk. How would we determine the value of that pile of coins? If we can form a step-by-step plan for finding the total value of the coins, it will help us as we begin solving coin word problems.

英語のヒント

ポケットや財布から一握りの硬貨を取り出し、机に置くところを想像しよう。その硬貨の山の金額をどう求めるだろうか。硬貨の総額を求めるための段階的な計画を立てられれば、これから硬貨の文章題を解く助けになる。

So what would we do? To get some order to the mess of coins, we could separate the coins into piles according to their value. Quarters would go with quarters, dimes with dimes, nickels with nickels, and so on. To get the total value of all the coins, we would add the total value of each pile.

英語のヒント

何をすればよいだろうか。ばらばらの硬貨を整理するため、額面ごとに山に分けられる。25セント硬貨は25セント硬貨、10セント硬貨は10セント硬貨、5セント硬貨は5セント硬貨というようにまとめる。すべての硬貨の総額を求めるには、それぞれの山の総額を足す。

How would we determine the value of each pile? Think about the dime pile—how much is it worth? If we count the number of dimes, we’ll know how many we have—the number of dimes.

英語のヒント

それぞれの山の金額をどう求めるだろうか。10セント硬貨の山を考えよう。いくらになるだろうか。硬貨を数えれば、何枚あるか、つまり10セント硬貨の枚数がわかる。

But this does not tell us the value of all the dimes. Say we counted 17 dimes, how much are they worth? Each dime is worth $0.10—that is the value of one dime. To find the total value of the pile of 17 dimes, multiply 17 by $0.10 to get $1.70. This is the total value of all 17 dimes. This method leads to the following model.

英語のヒント

しかし、これだけでは10セント硬貨全部の金額はわからない。17枚数えたとすると、いくらになるだろうか。10セント硬貨1枚は0.10ドルであり、これが1枚の額面である。17枚の山の総額を求めるには、17に0.10ドルを掛けて1.70ドルを得る。これが17枚全部の総額である。この方法から次のモデルが得られる。

The number of dimes times the value of each dime equals the total value of the dimes.

英語のヒント

10セント硬貨の枚数に1枚の額面を掛けると、10セント硬貨の総額になる。

\begin{matrix} n u m b e r \cdot v a l u e & = & t o t a l v a l u e \\ 17 \cdot $0.10 & = & $ 1.70 \end{matrix}

\begin{matrix} 枚数 \cdot 1枚の価値 & = & 総額 \\ 17 \cdot $0.10 & = & $ 1.70 \end{matrix}

We could continue this process for each type of coin, and then we would know the total value of each type of coin. To get the total value of all the coins, add the total value of each type of coin.

英語のヒント

それぞれの種類の硬貨についてこの計算を続ければ、種類ごとの総額がわかる。すべての硬貨の総額を求めるには、種類ごとの総額を足す。

Let’s look at a specific case. Suppose there are 14 quarters, 17 dimes, 21 nickels, and 39 pennies.

英語のヒント

具体的な場合を見てみよう。25セント硬貨が14枚、10セント硬貨が17枚、5セント硬貨が21枚、1セント硬貨が39枚あるとする。

5行4列で、4列目の下にセルが1つ追加された表。見出し行には左から「種類」「枚数」「額面（ドル）」「総額（ドル）」とある。2行目は25セント硬貨、14、0.25、3.50。3行目は10セント硬貨、17、0.10、1.70。4行目は5セント硬貨、21、0.05、1.05。5行目は1セント硬貨、39、0.01、0.39。追加のセルには6.64とある。

The total value of all the coins is $6.64.

英語のヒント

すべての硬貨の総額は6.64ドルである。

Notice how the chart helps organize all the information! Let’s see how we use this method to solve a coin word problem.

英語のヒント

表によってすべての情報を整理できることに注目しよう。この方法を使って硬貨の文章題を解く方法を見てみよう。

Example 3.26例題 3.26

Adalberto has $2.25 in dimes and nickels in his pocket. He has nine more nickels than dimes. How many of each type of coin does he have?

英語のヒント

アダルベルトのポケットには、10セント硬貨と5セント硬貨が合わせて2.25ドル入っている。5セント硬貨は10セント硬貨より9枚多い。それぞれの硬貨を何枚持っているか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Make sure all the words and ideas are understood.

英語のヒント

手順1．問題を読む。すべての言葉と考え方を理解していることを確認する。

Determine the types of coins involved.
Think about the strategy we used to find the value of the handful of coins. The first thing we need is to notice what types of coins are involved. Adalberto has dimes and nickels.
英語のヒント
硬貨の種類を確認する。一握りの硬貨の金額を求めるために使った手順を考えよう。最初に必要なのは、どの種類の硬貨があるかに気付くことである。アダルベルトは10セント硬貨と5セント硬貨を持っている。
Create a table to organize the information. See chart below.
英語のヒント
情報を整理する表を作る。以下の表を見よう。
- Label the columns “type,” “number,” “value,” “total value.”
  英語のヒント
  列に「種類」「枚数」「額面」「総額」という見出しを付ける。
- List the types of coins.
  英語のヒント
  硬貨の種類を書き並べる。
- Write in the value of each type of coin.
  英語のヒント
  各種類の硬貨の額面を書き込む。
- Write in the total value of all the coins.
  英語のヒント
  すべての硬貨の合計金額を書き入れる。
We can work this problem all in cents or in dollars. Here we will do it in dollars and put in the dollar sign ($) in the table as a reminder.
The value of a dime is $0.10 and the value of a nickel is $0.05. The total value of all the coins is $2.25. The table below shows this information.
英語のヒント
この問題はすべてセントでもドルでも計算できる。ここではドルで計算し、わかるように表にドル記号（$）を入れる。10セント硬貨の額面は0.10ドル、5セント硬貨の額面は0.05ドルである。すべての硬貨の総額は2.25ドルである。以下の表にこの情報を示す。

Step 2. Identify what we are looking for.

英語のヒント

手順2．何を求めるのかを明らかにする。

We are asked to find the number of dimes and nickels Adalberto has.
英語のヒント
求めるのは、アダルベルトが持つ10セント硬貨と5セント硬貨の枚数である。

Step 3. Name what we are looking for. Choose a variable to represent that quantity.

英語のヒント

手順3．求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。

Use variable expressions to represent the number of each type of coin and write them in the table.
英語のヒント
それぞれの種類の硬貨の枚数を文字式で表し、表に書く。
Multiply the number times the value to get the total value of each type of coin.
英語のヒント
枚数に額面を掛け、種類ごとの合計金額を求める。

Next we counted the number of each type of coin. In this problem we cannot count each type of coin—that is what you are looking for—but we have a clue. There are nine more nickels than dimes. The number of nickels is nine more than the number of dimes.

英語のヒント

先ほどは次に、種類ごとの硬貨の枚数を数えた。この問題では、各種類の硬貨を数えることはできない。それが求めたいものだからである。しかし手がかりはある。5セント硬貨は10セント硬貨より9枚多い。つまり、5セント硬貨の枚数は10セント硬貨の枚数より9多い。

\begin{matrix} Let d & = & number of dimes. \\ d + 9 & = & number of nickels \end{matrix}

\begin{matrix} 次のようにおく： d & = & 10セント硬貨の枚数。 \\ d + 9 & = & 5セント硬貨の枚数 \end{matrix}

Fill in the “number” column in the table to help get everything organized.

英語のヒント

すべてを整理するため、表の「枚数」の列を埋める。

3行4列で、4列目の下にセルが1つ追加された表。見出し行には左から「種類」「枚数」「額面（ドル）」「総額（ドル）」とある。2行目は10セント硬貨、d、0.10、空白。3行目は5セント硬貨、d+9、0.05、空白。追加のセルには2.25とある。

Now we have all the information we need from the problem!

英語のヒント

これで、問題から必要な情報がすべて得られた。

We multiply the number times the value to get the total value of each type of coin. While we do not know the actual number, we do have an expression to represent it.

英語のヒント

枚数に額面を掛けて、それぞれの種類の硬貨の総額を求める。実際の枚数はわからないが、それを表す式はある。

And so now multiply

n u m b e r \cdot v a l u e = t o t a l v a l u e .

See how this is done in the table below.

英語のヒント

そこで、

枚数 \cdot 1枚の価値 = 総額

の掛け算をする。以下の表でその方法を見よう。

3行4列で、4列目の下にセルが1つ追加された表。見出し行には左から「種類」「枚数」「額面（ドル）」「総額（ドル）」とある。2行目は10セント硬貨、d、0.10、0.10d。3行目は5セント硬貨、d+9、0.05、0.05(d+9)。追加のセルには2.25とある。

Notice that we made the heading of the table show the model.

英語のヒント

表の見出しにモデルが表れるようにしたことに注目しよう。

Step 4. Translate into an equation. It may be helpful to restate the problem in one sentence. Translate the English sentence into an algebraic equation.

英語のヒント

手順4．方程式に表す。問題を1つの文に書き直すと役立つことがある。その英文を代数の方程式に表す。

Write the equation by adding the total values of all the types of coins.

英語のヒント

すべての種類の硬貨の総額を足して方程式を書く。

Step 5. Solve the equation using good algebra techniques.

英語のヒント

手順5．適切な代数の手法を使って方程式を解く。

Now solve this equation. 次に、この方程式を解く。
Distribute. 分配法則を使う。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract 0.45 from each side. 両辺から0.45を引く。
Divide. 割る。
So there are 12 dimes. したがって10セント硬貨は12枚ある。
The number of nickels is $d + 9$ . 5セント硬貨の枚数は $d + 9$ である。

	21

Step 6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense.

英語のヒント

手順6．答えを元の問題に照らし、意味が通ることを確かめる。

Does this check?

英語のヒント

確かに成り立つか。

Table 3.7表 3.7
12 dimes 10セント硬貨12枚	$12 (0.10) = 1.20$
21 nickels 5セント硬貨21枚	$\begin{matrix} 21 (0.05) = \underset{____}{1.05} \\ $2.25 ✓ \end{matrix}$

Step 7. Answer the question with a complete sentence.

英語のヒント

手順7．完全な文で問いに答える。

Adalberto has twelve dimes and twenty-one nickels.
英語のヒント
アダルベルトは10セント硬貨12枚と5セント硬貨21枚を持っている。

If this were a homework exercise, our work might look like the following.

英語のヒント

これが宿題の問題なら、解答は次のようになるだろう。

罫線入りルーズリーフに書かれた宿題。「アダルベルトのポケットには10セント硬貨と5セント硬貨が合わせて2ドル25セント入っている。5セント硬貨は10セント硬貨より9枚多い。それぞれ何枚持っているか」と書かれている。その下に表がある。最初の行は見出し行で、それぞれのセルが下の列の名前を示す。左端のセルは「種類」である。2つ目のセルには「枚数×額面=総額」とあり、「枚数」「額面」「総額」のそれぞれに1列が対応する。したがって「枚数」の列の内容に「額面」の列の内容を掛けると「総額」の列の内容になる。2行目では「種類」が10セント硬貨、「枚数」がd、「額面」が0.10、「総額」が0.10dである。3行目では「種類」が5セント硬貨、「枚数」がd+9、「額面」が0.05、「総額」が0.05(d+9)である。さらに1行下の「総額」の列に、2.25のセルがある。表の下には0.10d+0.05d+0.45=2.25、その下に0.15d+0.45=2.25、その下に0.15d=1.80とある。右側にはd+9とあり、12+9、すなわち5セント硬貨21枚になる。さらに右に、10セント硬貨12枚と5セント硬貨21枚で2ドル25セントになるかを確かめる段階が示される。12×0.10=1.20、21×(0.05)=1.05、1.20+1.05=2.25である。

Try It (2)確認問題（2題）

Solve Coin Word Problems.硬貨の文章題を解く。

Read the problem. Make sure all the words and ideas are understood.
英語のヒント
問題を読む。すべての言葉と考え方を理解していることを確認する。
- Determine the types of coins involved.
  英語のヒント
  どの種類の硬貨が出てくるかを確認する。
- Create a table to organize the information.
  英語のヒント
  表を作って情報を整理する。
- Label the columns “type,” “number,” “value,” “total value.”
  英語のヒント
  列に「種類」「枚数」「額面」「総額」という見出しを付ける。
- List the types of coins.
  英語のヒント
  硬貨の種類を書き並べる。
- Write in the value of each type of coin.
  英語のヒント
  各種類の硬貨の額面を書き込む。
- Write in the total value of all the coins.
  英語のヒント
  すべての硬貨の合計金額を書き入れる。
Identify what we are looking for.
英語のヒント
何を求めるのかを明らかにする。
Name what we are looking for. Choose a variable to represent that quantity.
英語のヒント
求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。
- Use variable expressions to represent the number of each type of coin and write them in the table.
  英語のヒント
  それぞれの種類の硬貨の枚数を文字式で表し、表に書く。
- Multiply the number times the value to get the total value of each type of coin.
  英語のヒント
  枚数に額面を掛け、種類ごとの合計金額を求める。
Translate into an equation.
It may be helpful to restate the problem in one sentence with all the important information. Then, translate the sentence into an equation.
Write the equation by adding the total values of all the types of coins.
英語のヒント
方程式に表す。重要な情報をすべて含む1つの文に問題を書き直すと役立つことがある。次に、その文を方程式に表す。すべての種類の硬貨の総額を足して方程式を書く。
Solve the equation using good algebra techniques.
英語のヒント
適切な代数の手順を使って方程式を解く。
Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
英語のヒント
答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
Answer the question with a complete sentence.
英語のヒント
完全な文で問いに答える。

Example 3.27例題 3.27

Maria has $2.43 in quarters and pennies in her wallet. She has twice as many pennies as quarters. How many coins of each type does she have?

英語のヒント

マリアの財布には、25セント硬貨と1セント硬貨が合わせて2.43ドルある。1セント硬貨は25セント硬貨の2倍の枚数ある。それぞれ何枚持っているか。

Solution解答

Step 1. Read the problem.

英語のヒント

手順1　問題を読む。

Determine the types of coins involved.

英語のヒント

どの種類の硬貨が出てくるかを確認する。

We know that Maria has quarters and pennies.

英語のヒント

マリアが持っているのは25セント硬貨と1セント硬貨である。

Create a table to organize the information.

英語のヒント

表を作って情報を整理する。

Label the columns “type,” “number,” “value,” “total value.”
英語のヒント
列に「種類」「枚数」「額面」「総額」という見出しを付ける。
List the types of coins.
英語のヒント
硬貨の種類を書き並べる。
Write in the value of each type of coin.
英語のヒント
各種類の硬貨の額面を書き込む。
Write in the total value of all the coins.
英語のヒント
すべての硬貨の合計金額を書き入れる。

3行4列で、4列目の下にセルが1つ追加された表。見出し行には左から「種類」「枚数」「額面（ドル）」「総額（ドル）」とある。2行目は25セント硬貨、空白、0.25、空白。3行目は1セント硬貨、空白、0.01、空白。追加のセルには2.43とある。

Step 2. Identify what you are looking for.

英語のヒント

手順2　何を求めるのかを明らかにする。

We are looking for the number of quarters and pennies.
英語のヒント
25セント硬貨と1セント硬貨の枚数を求める。

Step 3. Name. Represent the number of quarters and pennies using variables.

英語のヒント

手順3．文字で表す。変数を使って25セント硬貨と1セント硬貨の枚数を表す。

We know Maria has twice as many pennies as quarters. The number of pennies is defined in terms of quarters.
英語のヒント
マリアの1セント硬貨は25セント硬貨の2倍の枚数である。1セント硬貨の枚数は、25セント硬貨の枚数を使って定義する。
Let q represent the number of quarters.
英語のヒント
qで25セント硬貨の枚数を表す。
Then the number of pennies is 2q.
英語のヒント
すると1セント硬貨の枚数は2qである。

3行4列で、4列目の下にセルが1つ追加された表。見出し行には左から「種類」「枚数」「額面（ドル）」「総額（ドル）」とある。2行目は25セント硬貨、q、0.25、空白。3行目は1セント硬貨、2q、0.01、空白。追加のセルには2.43とある。

Multiply the ‘number’ and the ‘value’ to get the ‘total value’ of each type of coin.

英語のヒント

「枚数」と「額面」を掛け、種類ごとの「合計金額」を求める。

Step 4. Translate. Write the equation by adding the ‘total value’ of all the types of coins.

英語のヒント

手順4．数式に表す。すべての種類の硬貨の「総額」を足して方程式を書く。

Table 3.8表 3.8
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$\begin{matrix} 0.25 q + 0.01 (2 q) & = & 2.43 \end{matrix}$
Multiply. 掛ける。	$\begin{matrix} 0.25 q + 0.02 q & = & 2.43 \end{matrix}$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$\begin{matrix} 0.27 q & = & 2.43 \end{matrix}$
Divide by 0.27. 0.27で割る。	$\begin{matrix} q & = & 9 quarters \end{matrix}$ $\begin{matrix} q & = & 9 枚の25セント硬貨 \end{matrix}$
The number of pennies is $2 q$ . 1セント硬貨の枚数は $2 q$ である。	$\begin{matrix} 2 q \\ 2 \cdot 9 \\ 18 pennies \end{matrix}$ $\begin{matrix} 2 q \\ 2 \cdot 9 \\ 18枚の1セント硬貨 \end{matrix}$
Step 6. Check the answer in the problem. 手順6．問題に照らして答えを確認する。
Maria has 9 quarters and 18 pennies. Does this make $2.43? マリアは25セント硬貨9枚と1セント硬貨18枚を持っている。これで2.43ドルになるか。
$\begin{matrix} 9 quarters & 9 (0.25) & = & 2.25 \\ 18 pennies & 18 (0.01) & = & \underset{____}{0.18} \\ Total & $2.43 ✓ \end{matrix}$ $\begin{matrix} 9枚の25セント硬貨 & 9 (0.25) & = & 2.25 \\ 18枚の1セント硬貨 & 18 (0.01) & = & \underset{____}{0.18} \\ 合計 & $2.43 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	Maria has nine quarters and eighteen pennies. マリアは25セント硬貨9枚と1セント硬貨18枚を持っている。

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example, we’ll show only the completed table—remember the steps we take to fill in the table.

英語のヒント

次の例題では完成した表だけを示す。表を埋める手順を思い出そう。

Example 3.28例題 3.28

Danny has $2.14 worth of pennies and nickels in his piggy bank. The number of nickels is two more than ten times the number of pennies. How many nickels and how many pennies does Danny have?

英語のヒント

ダニーの貯金箱には、1セント硬貨と5セント硬貨が合わせて2.14ドルある。5セント硬貨の枚数は、1セント硬貨の枚数の10倍より2枚多い。5セント硬貨と1セント硬貨をそれぞれ何枚持っているか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Determine the types of coins involved. どの種類の硬貨が出てくるかを確認する。	pennies and nickels 1セント硬貨と5セント硬貨
Create a table. 表を作る。
Write in the value of each type of coin. 各種類の硬貨の額面を書き込む。	Pennies are worth $0.01. Nickels are worth $0.05. 1セント硬貨は0.01ドル、5セント硬貨は0.05ドルである。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	the number of pennies and nickels 1セント硬貨と5セント硬貨の枚数
Step 3. Name. Represent the number of each type of coin using variables. 手順3．文字で表す。変数を使って各種類の硬貨の枚数を表す。
The number of nickels is defined in terms of the number of pennies, so start with pennies. 5セント硬貨の枚数が1セント硬貨の枚数を使って定義されているので、1セント硬貨から始める。	Let $p =$ number of pennies. $p =$ 1セント硬貨の枚数、とおく。
The number of nickels is two more than ten times the number of pennies. 5セント硬貨の枚数は、1セント硬貨の枚数の10倍より2枚多い。	$10 p + 2 =$ number of nickels. $10 p + 2 =$ 5セント硬貨の枚数。
Multiply the number and the value to get the total value of each type of coin. 枚数と額面を掛け、種類ごとの合計金額を求める。

Step 4. Translate. Write the equation by adding the total value of all the types of coins. 手順4．数式に表す。すべての種類の硬貨の総額を足して方程式を書く。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
How many nickels? 5セント硬貨は何枚か。
Step 6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense Danny has four pennies and 42 nickels. Is the total value $2.14? $\begin{matrix} 4 (0.01) + 42 (0.05) & ≟ & 2.14 \\ 2.14 & = & 2.14 ✓ \end{matrix}$ 手順6．答えを問題に戻して、筋が通っていることを確認する。ダニーは1セント硬貨4枚と5セント硬貨42枚を持っている。総額は2.14ドルになるか。 $\begin{matrix} 4 (0.01) + 42 (0.05) & ≟ & 2.14 \\ 2.14 & = & 2.14 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	Danny has four pennies and 42 nickels. ダニーは1セント硬貨4枚と5セント硬貨42枚を持っている。

Try It (2)確認問題（2題）

第3章数学モデル

3.3 Solve Mixture Applications3.3 混合の応用問題を解く

Learning Objectives学習目標

Solve Coin Word Problems硬貨についての文章題を解く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

3.3 Solve Mixture Applications3.3　混合の応用問題を解く