第3章数学モデル

Find Percent Increase and Percent Decrease増加率と減少率を求める

People in the media often talk about how much an amount has increased or decreased over a certain period of time. They usually express this increase or decrease as a percent.

英語のヒント

メディアでは、ある期間に数量がどれだけ増減したかがよく話題になる。この増減は、通常、百分率で表される。

To find the percent increase, first we find the amount of increase, the difference of the new amount and the original amount. Then we find what percent the amount of increase is of the original amount.

英語のヒント

増加率を求めるには、まず新しい量と元の量の差である増加量を求める。次に、その増加量が元の量の何パーセントかを求める。

Example 3.18例題 3.18

In 2011, the California governor proposed raising community college fees from $26 a unit to $36 a unit. Find the percent increase. (Round to the nearest tenth of a percent.)

英語のヒント

2011年、カリフォルニア州知事はコミュニティーカレッジの授業料を1単位当たり26ドルから36ドルへ引き上げることを提案した。増加率を求めよ。（百分率の小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めよ。）

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。		the percent increase 増加率
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。
Choose a variable to represent it. それを表す変数を選ぶ。		Let $p =$ the percent. $p =$ 百分率、とおく。
Step 4. Translate. Write a sentence that gives the information to find it. 手順4．数式に表す。求めるための情報を示す文を書く。
First find the amount of increase. まず増加量を求める。		new amount − original amount = increase 新しい量 − 元の量 = 増加量
		$36 - 26 = 10$
Find the percent. 百分率を求める。		Increase is what percent of the original amount? 増加量は元の量の何パーセントか。

Translate into an equation. 方程式で表す。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Divide by 26. 26で割る。
Change to percent form; round to the nearest tenth. 百分率に直し、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求める。
Step 6. Check. Does this make sense? 手順6．確認する。この結果は筋が通っているか。
Yes, 38.4% is close to $\frac{1}{3}$ , and 10 is close to $\frac{1}{3}$ of 26. 通っている。38.4%は $\frac{1}{3}$ に近く、10は26の $\frac{1}{3}$ に近い。
Step 7. Answer the question with a complete sentence. 手順7．完全な文で問いに答える。		The new fees represent a 38.5% increase over the old fees. 新しい授業料は、それまでの授業料から38.5%の増加となる。

Notice that we rounded the division to the nearest thousandth in order to round the percent to the nearest tenth.

英語のヒント

百分率を小数第1位まで求めるために、割り算では小数第4位を四捨五入して小数第3位まで求めたことに注意しよう。

Try It (2)確認問題（2題）

Finding the percent decrease is very similar to finding the percent increase, but now the amount of decrease is the difference of the original amount and the new amount. Then we find what percent the amount of decrease is of the original amount.

英語のヒント

減少率の求め方は増加率の求め方とよく似ているが、減少量は元の量と新しい量の差である。次に、その減少量が元の量の何パーセントかを求める。

Example 3.19例題 3.19

The average price of a gallon of gas in one city in June 2014 was $3.71. The average price in that city in July was $3.64. Find the percent decrease.

英語のヒント

ある都市の2014年6月のガソリン1ガロン当たりの平均価格は3.71ドルだった。同じ都市の7月の平均価格は3.64ドルだった。減少率を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。		the percent decrease 減少率
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。
Choose a variable to represent that quantity. その量を表す変数を選ぶ。		Let $p =$ the percent decrease. $p =$ 減少率、とおく。
Step 4. Translate. Write a sentence that gives the information to find it. 手順4．数式に表す。求めるための情報を示す文を書く。
First find the amount of decrease. まず減少量を求める。		$3.71 - 3.64 = 0.07$
Find the percent. 百分率を求める。		Decrease is what percent of the original amaount? 減少量は元の量の何パーセントか。

Translate into an equation. 方程式で表す。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Divide by 3.71. 3.71で割る。
Change to percent form; round to the nearest tenth. 百分率に直し、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求める。
Step 6. Check. Does this make sense? 手順6．確認する。この結果は筋が通っているか。
Yes, if the original price was $4, a 2% decrease would be 8 cents. 通っている。元の価格が4ドルなら、2%の減少は8セントになる。
Step 7. Answer the question with a complete sentence. 手順7．完全な文で問いに答える。		The price of gas decreased 1.9%. ガソリンの価格は1.9%下がった。

Try It (2)確認問題（2題）

Solve Simple Interest Applications単利の応用問題を解く

Do you know that banks pay you to keep your money? The money a customer puts in the bank is called the principal, P, and the money the bank pays the customer is called the interest. The interest is computed as a certain percent of the principal; called the rate of interest, r. We usually express rate of interest as a percent per year, and we calculate it by using the decimal equivalent of the percent. The variable t, (for time) represents the number of years the money is in the account.

英語のヒント

銀行がお金を預かる対価を払うことを知っているだろうか。顧客が銀行に預けるお金は元金Pと呼ばれ、銀行が顧客に払うお金は利息と呼ばれる。利息は元金の一定の割合として計算され、その割合を利率rという。利率は通常、1年当たりの百分率で表し、計算にはその百分率に対応する小数を使う。時間を表す変数tは、お金を口座に入れている年数を表す。

To find the interest we use the simple interest formula,

I = P r t .

英語のヒント

利息を求めるには、単利の公式

I = P r t

を使う。

Interest may also be calculated another way, called compound interest. This type of interest will be covered in later math classes.

英語のヒント

利息は、複利と呼ばれる別の方法でも計算できる。この種類の利息は、後の数学の授業で扱う。

The formula we use to calculate simple interest is

I = P r t .

To use the formula, we substitute in the values the problem gives us for the variables, and then solve for the unknown variable. It may be helpful to organize the information in a chart.

英語のヒント

単利の計算には公式

I = P r t

を使う。公式を使うには、問題で与えられた値を変数に代入し、未知の変数について解く。情報を表に整理すると役立つことがある。

Example 3.20例題 3.20

Nathaly deposited $12,500 in her bank account where it will earn 4% interest. How much interest will Nathaly earn in 5 years?

英語のヒント

ナタリーは銀行口座に12,500ドルを預け、4%の利息が付く。5年間でいくらの利息を得るか。

\begin{matrix} I & = & ? \\ P & = & $12,500 \\ r & = & 4 % \\ t & = & 5 years \end{matrix}

\begin{matrix} I & = & ? \\ P & = & $12,500 \\ r & = & 4 % \\ t & = & 5 年 \end{matrix}

Solution解答

Table 3.2表 3.2
Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	the amount of interest earned 得られる利息の額
Step 3. Name what we are looking for. Choose a variable to represent that quantity. 手順3．求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。	Let $I =$ the amount of interest. $I =$ 利息の額、とおく。
Step 4. Translate into an equation. Write the formula. Substitute in the given information. 手順4．方程式に表す。公式を書き、与えられた情報を代入する。	$\begin{matrix} I = P r t \\ I = (12,500) (.04) (5) \end{matrix}$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$I = 2,500$
Step 6. Check: Does this make sense? Is $2,500 a reasonable interest on $12,500? Yes. 手順6．確認する。この結果は筋が通っているか。12,500ドルに対する利息が2,500ドルなのは妥当か。妥当である。
Step 7. Answer the question with a complete sentence. 手順7．完全な文で問いに答える。	The interest is $2,500. 利息は2,500ドルである。

Try It (2)確認問題（2題）

There may be times when we know the amount of interest earned on a given principal over a certain length of time, but we don’t know the rate. To find the rate, we use the simple interest formula, substitute in the given values for the principal and time, and then solve for the rate.

英語のヒント

ある元金から一定期間に得られた利息の額はわかるが、利率がわからない場合もある。利率を求めるには単利の公式を使い、与えられた元金と期間の値を代入して、利率について解く。

Example 3.21例題 3.21

Loren loaned his brother $3,000 to help him buy a car. In 4 years his brother paid him back the $3,000 plus $660 in interest. What was the rate of interest?

英語のヒント

ローレンは兄弟が車を買うのを助けるために3,000ドルを貸した。4年後、兄弟は3,000ドルに660ドルの利息を加えて返した。利率はいくらだったか。

\begin{matrix} I & = & $660 \\ P & = & $3,000 \\ r & = & ? \\ t & = & 4 years \end{matrix}

\begin{matrix} I & = & $660 \\ P & = & $3,000 \\ r & = & ? \\ t & = & 4 年 \end{matrix}

Solution解答

Table 3.3表 3.3
Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	the rate of interest 利率
Step 3. Name what we are looking for. Choose a variable to represent that quantity. 手順3．求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。	Let $r =$ the rate of interest. $r =$ 利率、とおく。
Step 4. Translate into an equation. Write the formula. Substitute in the given information. 手順4．方程式に表す。公式を書き、与えられた情報を代入する。	$\begin{matrix} I = P r t \\ 660 = (3,000) r (4) \end{matrix}$
Step 5. Solve the equation. Divide. Change to percent form. 手順5．方程式を解く。割り算し、百分率に直す。	$\begin{matrix} 660 = (12,000) r \\ 0.055 = r \\ 5.5% = r \end{matrix}$
Step 6. Check: Does this make sense? $\begin{matrix} I = P r t \\ 660 \overset{?}{=} (3,000) (0.055) (4) \\ 660 = 660 ✓ \end{matrix}$ 手順6．確認する。この結果は筋が通っているか。 $\begin{matrix} I = P r t \\ 660 \overset{?}{=} (3,000) (0.055) (4) \\ 660 = 660 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question with a complete sentence. 手順7．完全な文で問いに答える。	The rate of interest was 5.5%. 利率は5.5%だった。

Notice that in this example, Loren’s brother paid Loren interest, just like a bank would have paid interest if Loren invested his money there.

英語のヒント

この例では、ローレンが銀行にお金を預けた場合に銀行が利息を払うのと同様に、兄弟がローレンに利息を払ったことに注目しよう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.22例題 3.22

Eduardo noticed that his new car loan papers stated that with a 7.5% interest rate, he would pay $6,596.25 in interest over 5 years. How much did he borrow to pay for his car?

英語のヒント

エドゥアルドは、新車ローンの書類に、利率7.5%で5年間に6,596.25ドルの利息を払うと書かれていることに気付いた。車の代金のためにいくら借りたか。

Solution解答

Table 3.4表 3.4
Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	the amount borrowed (the principal) 借りた額（元金）
Step 3. Name what we are looking for. Choose a variable to represent that quantity. 手順3．求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。	Let $P =$ principal borrowed. $P =$ 借りた元金、とおく。
Step 4. Translate into an equation. Write the formula. Substitute in the given information. 手順4．方程式に表す。公式を書き、与えられた情報を代入する。	$\begin{matrix} I & = & P r t \\ 6,596.25 & = & P (0.075) (5) \end{matrix}$
Step 5. Solve the equation. Divide. 手順5．方程式を解く。割り算する。	$\begin{matrix} 6,596.25 & = & 0.375 P \\ 17,590 & = & P \end{matrix}$
Step 6. Check: Does this make sense? $\begin{matrix} I & = & P r t \\ 6,596.25 & \overset{?}{=} & (17,590) (0.075) (5) \\ 6,596.25 & = & 6,596.25 ✓ \end{matrix}$ 手順6．確認する。この結果は筋が通っているか。 $\begin{matrix} I & = & P r t \\ 6,596.25 & \overset{?}{=} & (17,590) (0.075) (5) \\ 6,596.25 & = & 6,596.25 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question with a complete sentence. 手順7．完全な文で問いに答える。	The principal was $17,590. 元金は17,590ドルだった。

Try It (2)確認問題（2題）