第3章数学モデル

Solve Ticket and Stamp Word Problems切符と切手についての文章題を解く

Problems involving tickets or stamps are very much like coin problems. Each type of ticket and stamp has a value, just like each type of coin does. So to solve these problems, we will follow the same steps we used to solve coin problems.

英語のヒント

切符や切手の問題は硬貨の問題とよく似ている。切符や切手は、硬貨と同じように種類ごとに額が決まっている。したがって、これらの問題も硬貨の問題と同じ手順で解く。

Example 3.29例題 3.29

At a school concert, the total value of tickets sold was $1,506. Student tickets sold for $6 each and adult tickets sold for $9 each. The number of adult tickets sold was five less than three times the number of student tickets sold. How many student tickets and how many adult tickets were sold?

英語のヒント

学校の演奏会で、切符の売上総額は1,506ドルだった。生徒用は1枚6ドル、大人用は1枚9ドルだった。売れた大人用切符の枚数は、生徒用の枚数の3倍より5枚少なかった。それぞれ何枚売れたか。

Solution解答

Step 1. Read the problem.

英語のヒント

手順1　問題を読む。

Determine the types of tickets involved. There are student tickets and adult tickets.
英語のヒント
どの種類のチケットが出てくるかを確認する。生徒用チケットと大人用チケットがある。
Create a table to organize the information.
英語のヒント
表を作って情報を整理する。

3行4列で、4列目の下にセルが1つ追加された表。見出し行には左から「種類」「枚数」「単価（ドル）」「総額（ドル）」とある。2行目は生徒、空欄、6、空欄。3行目は大人、空欄、9、空欄。追加のセルは1506。

Step 2. Identify what we are looking for.

英語のヒント

手順2．何を求めるのかを明らかにする。

We are looking for the number of student and adult tickets.
英語のヒント
生徒用と大人用の切符の枚数を求める。

Step 3. Name. Represent the number of each type of ticket using variables.

英語のヒント

手順3．文字で表す。種類ごとのチケットの枚数を変数で表す。

We know the number of adult tickets sold was five less than three times the number of student tickets sold.

英語のヒント

売れた大人用切符の枚数は、生徒用の枚数の3倍より5枚少ないことが分かっている。

Let s be the number of student tickets.
英語のヒント
生徒用切符の枚数をsとする。
Then $3 s - 5$ is the number of adult tickets
英語のヒント
すると、大人用切符の枚数は $3 s - 5$ である。

Multiply the number times the value to get the total value of each type of ticket.

英語のヒント

枚数に金額を掛けて、それぞれの種類のチケットの総額を求める。

3行4列で、4列目の下にセルが1つ追加された表。見出し行には左から「種類」「枚数」「単価（ドル）」「総額（ドル）」とある。2行目は生徒、s、6、6s。3行目は大人、3s−5、9、9(3s−5)。追加のセルは1506。

Step 4. Translate. Write the equation by adding the total values of each type of ticket.

英語のヒント

手順4．数式に表す。種類ごとの切符の総額を足して方程式を書く。

6 s + 9 (3 s - 5) = 1506

Step 5. Solve the equation.

英語のヒント

手順5　方程式を解く。

\begin{matrix} 6 s + 27 s - 45 & = & 1506 \\ 33 s - 45 & = & 1506 \\ 33 s & = & 1551 \\ s & = & 47 student tickets \end{matrix}

\begin{matrix} 6 s + 27 s - 45 & = & 1506 \\ 33 s - 45 & = & 1506 \\ 33 s & = & 1551 \\ s & = & 47 枚の学生チケット \end{matrix}

\begin{matrix} 3 s - 5 \\ 3 (47) - 5 \end{matrix}

136 adult tickets

大人用切符136枚。

Step 6. Check the answer.

英語のヒント

手順6．答えを確認する。

There were 47 student tickets at $6 each and 136 adult tickets at $9 each. Is the total value $1,506? We find the total value of each type of ticket by multiplying the number of tickets times its value then add to get the total value of all the tickets sold.

英語のヒント

1枚6ドルの生徒用切符47枚と、1枚9ドルの大人用切符136枚があった。総額は1,506ドルになるか。それぞれ枚数に単価を掛けて総額を求め、両方を足して売れた切符すべての総額を求める。

\begin{matrix} 47 \cdot 6 & = & 282 \\ 136 \cdot 9 & = & \underset{_____}{1,224} \\ 1,506 ✓ \end{matrix}

Step 7. Answer the question. They sold 47 student tickets and 136 adult tickets.

英語のヒント

手順7．問題に答える。生徒用切符47枚と大人用切符136枚が売れた。

Try It (2)確認問題（2題）

We have learned how to find the total number of tickets when the number of one type of ticket is based on the number of the other type. Next, we’ll look at an example where we know the total number of tickets and have to figure out how the two types of tickets relate.

英語のヒント

一方の種類の切符の枚数が他方の枚数を基に表されるとき、切符の総枚数を求める方法を学んだ。次は総枚数が分かっていて、2種類の枚数の関係を考える例を見る。

Suppose Bianca sold a total of 100 tickets. Each ticket was either an adult ticket or a child ticket. If she sold 20 child tickets, how many adult tickets did she sell?

英語のヒント

ビアンカが切符を全部で100枚売ったとする。切符は大人用か子ども用のいずれかである。子ども用を20枚売ったなら、大人用は何枚売ったか。

Did you say ‘80’? How did you figure that out? Did you subtract 20 from 100?
英語のヒント
「80枚」と答えただろうか。どう考えたか。100から20を引いただろうか。

If she sold 45 child tickets, how many adult tickets did she sell?

英語のヒント

子ども用を45枚売ったなら、大人用は何枚売ったか。

Did you say ‘55’? How did you find it? By subtracting 45 from 100?
英語のヒント
「55枚」と答えただろうか。どう求めたか。100から45を引いただろうか。

What if she sold 75 child tickets? How many adult tickets did she sell?

英語のヒント

子ども用を75枚売った場合はどうか。大人用は何枚売ったか。

The number of adult tickets must be $100 - 75 .$ She sold 25 adult tickets.
英語のヒント
大人用の枚数は $100 - 75$ のはずである。大人用を25枚売った。

Now, suppose Bianca sold x child tickets. Then how many adult tickets did she sell? To find out, we would follow the same logic we used above. In each case, we subtracted the number of child tickets from 100 to get the number of adult tickets. We now do the same with x.

英語のヒント

今度はビアンカが子ども用をx枚売ったとする。大人用は何枚売ったか。上と同じ考え方で求める。どの場合も、100から子ども用の枚数を引いて大人用の枚数を求めた。xについても同じようにする。

We have summarized this below.

英語のヒント

これを下にまとめた。

5行2列の表。見出し行には左から「子ども用切符」「大人用切符」とある。2行目は20と80。3行目は45と55。4行目は75と25。5行目はxと100+x。

We can apply these techniques to other examples

英語のヒント

これらの方法をほかの例にも使うことができる。

Example 3.30例題 3.30

Galen sold 810 tickets for his church’s carnival for a total of $2,820. Children’s tickets cost $3 each and adult tickets cost $5 each. How many children’s tickets and how many adult tickets did he sell?

英語のヒント

ゲイレンは教会の催しの切符を810枚売り、総額は2,820ドルだった。子ども用は1枚3ドル、大人用は1枚5ドルだった。それぞれ何枚売ったか。

Solution解答

Step 1. Read the problem.

英語のヒント

手順1　問題を読む。

Determine the types of tickets involved. There are children tickets and adult tickets.
英語のヒント
切符の種類を確認する。子ども用と大人用がある。
Create a table to organize the information.
英語のヒント
表を作って情報を整理する。

3行4列で、4列目の下にセルが1つ追加された表。見出し行には左から「種類」「枚数」「単価（ドル）」「総額（ドル）」とある。2行目は子ども、空欄、3、空欄。3行目は大人、空欄、5、空欄。追加のセルは2820。

Step 2. Identify what we are looking for.

英語のヒント

手順2．何を求めるのかを明らかにする。

We are looking for the number of children and adult tickets.
英語のヒント
子ども用と大人用の切符の枚数を求める。

Step 3. Name. Represent the number of each type of ticket using variables.

英語のヒント

手順3．文字で表す。種類ごとのチケットの枚数を変数で表す。

We know the total number of tickets sold was 810. This means the number of children’s tickets plus the number of adult tickets must add up to 810.
英語のヒント
売れた切符は全部で810枚である。つまり、子ども用と大人用の枚数を足すと810になる。
Let c be the number of children tickets.
英語のヒント
子ども用切符の枚数をcとする。
Then $810 - c$ is the number of adult tickets.
英語のヒント
すると、大人用切符の枚数は $810 - c$ である。
Multiply the number times the value to get the total value of each type of ticket.
英語のヒント
枚数に金額を掛けて、それぞれの種類のチケットの総額を求める。

3行4列で、4列目の下にセルが1つ追加された表。見出し行には左から「種類」「枚数」「単価（ドル）」「総額（ドル）」とある。2行目は子ども、c、3、3c。3行目は大人、810−c、5、5(810−c)。追加のセルは2820。

Step 4. Translate.

英語のヒント

手順4．置き換える。

Write the equation by adding the total values of each type of ticket.
英語のヒント
種類ごとの切符の総額を足して方程式を書く。

Step 5. Solve the equation.

英語のヒント

手順5　方程式を解く。

\begin{matrix} 3 c + 5 (810 - c) & = & 2,820 \\ 3 c + 4,050 - 5 c & = & 2,820 \\ - 2 c & = & −1,230 \\ c & = & 615 children tickets \end{matrix}

\begin{matrix} 3 c + 5 (810 - c) & = & 2,820 \\ 3 c + 4,050 - 5 c & = & 2,820 \\ - 2 c & = & −1,230 \\ c & = & 615 枚の子供チケット \end{matrix}

How many adults?

英語のヒント

大人は何人か。

810 - c

810 - 615

195 adult tickets

195 枚の大人チケット

Step 6. Check the answer. There were 615 children’s tickets at $3 each and 195 adult tickets at $5 each. Is the total value $2,820?

英語のヒント

手順6．答えを確認する。1枚3ドルの子ども用切符615枚と、1枚5ドルの大人用切符195枚があった。総額は2,820ドルになるか。

\begin{matrix} 615 \cdot 3 & = & 1845 \\ 195 \cdot 5 & = & \underset{____}{975} \\ 2,820 ✓ \end{matrix}

Step 7. Answer the question. Galen sold 615 children’s tickets and 195 adult tickets.

英語のヒント

手順7．問題に答える。ゲイレンは子ども用切符615枚と大人用切符195枚を売った。

Try It (2)確認問題（2題）

Now, we’ll do one where we fill in the table all at once.

英語のヒント

今度は表を一度に埋める例を扱う。

Example 3.31例題 3.31

Monica paid $8.36 for stamps. The number of 41-cent stamps was four more than twice the number of two-cent stamps. How many 41-cent stamps and how many two-cent stamps did Monica buy?

英語のヒント

モニカは切手に8.36ドル払った。41セント切手の枚数は、2セント切手の枚数の2倍より4枚多かった。それぞれ何枚買ったか。

Solution解答

The types of stamps are 41-cent stamps and two-cent stamps. Their names also give the value!

英語のヒント

切手は41セント切手と2セント切手である。名前から額面も分かる。

“The number of 41-cent stamps was four more than twice the number of two-cent stamps.”

英語のヒント

「41セント切手の枚数は、2セント切手の枚数の2倍より4枚多かった。」

\begin{matrix} Let x = number of 2-cent stamps. \\ 2 x + 4 = number of 41-cent stamps \end{matrix}

\begin{matrix} 次のようにおく： x = 2セント切手の枚数。 \\ 2 x + 4 = 41セント切手の枚数 \end{matrix}

3行4列で、4列目の下にセルが1つ追加された表。見出し行には左から「種類」「枚数」「額面（ドル）」「総額（ドル）」とある。2行目は41セント切手、2x+4、0.41、0.41(2x+4)。3行目は2セント切手、x、0.02、0.02x。追加のセルは8.36。

Table 3.9表 3.9
Write the equation from the total values. 合計金額から方程式を書く。	$\begin{matrix} 0.41 (2 x + 4) + 0.02 x = 8.36 \end{matrix}$
Solve the equation. 方程式を解く。	$\begin{matrix} 0.82 x + 1.64 + 0.02 x & = & 8.36 \\ 0.84 x + 1.64 & = & 8.36 \\ 0.84 x & = & 6.72 \\ x & = & 8 \end{matrix}$
Monica bought eight two-cent stamps. モニカは2セント切手を8枚買った。	$2 x + 4 for x = 8 .$ $2 x + 4 ここで x = 8$
Find the number of 41-cent stamps she bought be evaluating. 式の値を計算して、買った41セント切手の枚数を求める。	$\begin{matrix} 2 x + 4 \\ 2 (8) + 4 \\ 20 \end{matrix}$
Check. 確かめる。	$\begin{matrix} 8 (0.02) + 20 (0.41) & \overset{?}{=} & 8.36 \\ 0.16 + 8.20 & \overset{?}{=} & 8.36 \\ 8.36 & = & 8.36 ✓ \end{matrix}$
	Monica bought eight two-cent stamps and 20 41-cent stamps. モニカは2セント切手8枚と41セント切手20枚を買った。

Try It (2)確認問題（2題）