第5章連立一次方程式

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 1–8練習問題 1–8

Determine Whether an Ordered Pair is a Solution of a System of Equations. In the following exercises, determine if the following points are solutions to the given system of equations.

英語のヒント

順序対が連立方程式の解かどうかを判定する次の各問では、各点が与えられた連立方程式の解かどうかを判定せよ。

Exercise 1問題 1

{\begin{matrix} 2 x - 6 y = 0 \\ 3 x - 4 y = 5 \end{matrix}

ⓐ

(3, 1)

ⓑ

(−3, 4)

Solution解き方

ⓐ yes ⓑ no

ⓐ はい　ⓑ いいえ

Exercise 2問題 2

{\begin{matrix} 7 x - 4 y = −1 \\ −3 x - 2 y = 1 \end{matrix}

ⓐ

(1, 2)

ⓑ

(1, −2)

Exercise 3問題 3

{\begin{matrix} 2 x + y = 5 \\ x + y = 1 \end{matrix}

ⓐ

(4, −3)

ⓑ

(2, 0)

Solution解き方

ⓐ yes ⓑ no

ⓐ はい　ⓑ いいえ

Exercise 4問題 4

{\begin{matrix} −3 x + y = 8 \\ - x + 2 y = −9 \end{matrix}

ⓐ

(−5, −7)

ⓑ

(−5, 7)

Exercise 5問題 5

{\begin{matrix} x + y = 2 \\ y = \frac{3}{4} x \end{matrix}

ⓐ

(\frac{8}{7}, \frac{6}{7})

ⓑ

(1, \frac{3}{4})

Solution解き方

ⓐ yes ⓑ no

ⓐ はい　ⓑ いいえ

Exercise 6問題 6

{\begin{matrix} x + y = 1 \\ y = \frac{2}{5} x \end{matrix}

ⓐ

(\frac{5}{7}, \frac{2}{7})

ⓑ

(5, 2)

Exercise 7問題 7

{\begin{matrix} x + 5 y = 10 \\ y = \frac{3}{5} x + 1 \end{matrix}

ⓐ

(−10, 4)

ⓑ

(\frac{5}{4}, \frac{7}{4})

Solution解き方

ⓐ no ⓑ yes

ⓐ いいえ　ⓑ はい

Exercise 8問題 8

{\begin{matrix} x + 3 y = 9 \\ y = \frac{2}{3} x - 2 \end{matrix}

ⓐ

(−6, 5)

ⓑ

(5, \frac{4}{3})

Exercises 9–50練習問題 9–50

Solve a System of Linear Equations by Graphing In the following exercises, solve the following systems of equations by graphing.

英語のヒント

連立一次方程式をグラフで解く次の各問では、連立方程式をグラフで解け。

Exercise 9問題 9

{\begin{matrix} 3 x + y = −3 \\ 2 x + 3 y = 5 \end{matrix}

Solution解き方

(−2, 3)

Exercise 10問題 10

{\begin{matrix} − x + y = 2 \\ 2 x + y = −4 \end{matrix}

Exercise 11問題 11

{\begin{matrix} −3 x + y = −1 \\ 2 x + y = 4 \end{matrix}

Solution解き方

(1, 2)

Exercise 12問題 12

{\begin{matrix} −2 x + 3 y = −3 \\ x + y = 4 \end{matrix}

Exercise 13問題 13

{\begin{matrix} y = x + 2 \\ y = −2 x + 2 \end{matrix}

Solution解き方

(0, 2)

Exercise 14問題 14

{\begin{matrix} y = x - 2 \\ y = −3 x + 2 \end{matrix}

Exercise 15問題 15

{\begin{matrix} y = \frac{3}{2} x + 1 \\ y = - \frac{1}{2} x + 5 \end{matrix}

Solution解き方

(2, 4)

Exercise 16問題 16

{\begin{matrix} y = \frac{2}{3} x - 2 \\ y = - \frac{1}{3} x - 5 \end{matrix}

Exercise 17問題 17

{\begin{matrix} - x + y = −3 \\ 4 x + 4 y = 4 \end{matrix}

Solution解き方

(2, −1)

Exercise 18問題 18

{\begin{matrix} x - y = 3 \\ 2 x - y = 4 \end{matrix}

Exercise 19問題 19

{\begin{matrix} −3 x + y = −1 \\ 2 x + y = 4 \end{matrix}

Solution解き方

(1, 2)

Exercise 20問題 20

{\begin{matrix} −3 x + y = −2 \\ 4 x - 2 y = 6 \end{matrix}

Exercise 21問題 21

{\begin{matrix} x + y = 5 \\ 2 x - y = 4 \end{matrix}

Solution解き方

(3, 2)

Exercise 22問題 22

{\begin{matrix} x - y = 2 \\ 2 x - y = 6 \end{matrix}

Exercise 23問題 23

{\begin{matrix} x + y = 2 \\ x - y = 0 \end{matrix}

Solution解き方

(1, 1)

Exercise 24問題 24

{\begin{matrix} x + y = 6 \\ x - y = −8 \end{matrix}

Exercise 25問題 25

{\begin{matrix} x + y = −5 \\ x - y = 3 \end{matrix}

Solution解き方

(−1, −4)

Exercise 26問題 26

{\begin{matrix} x + y = 4 \\ x - y = 0 \end{matrix}

Exercise 27問題 27

{\begin{matrix} x + y = −4 \\ - x + 2 y = −2 \end{matrix}

Solution解き方

(- 2, - 2)

Exercise 28問題 28

{\begin{matrix} - x + 3 y = 3 \\ x + 3 y = 3 \end{matrix}

Exercise 29問題 29

{\begin{matrix} −2 x + 3 y = 3 \\ x + 3 y = 12 \end{matrix}

Solution解き方

(3, 3)

Exercise 30問題 30

{\begin{matrix} 2 x - y = 4 \\ 2 x + 3 y = 12 \end{matrix}

Exercise 31問題 31

{\begin{matrix} 2 x + 3 y = 6 \\ y = −2 \end{matrix}

Solution解き方

(6, −2)

Exercise 32問題 32

{\begin{matrix} −2 x + y = 2 \\ y = 4 \end{matrix}

Exercise 33問題 33

{\begin{matrix} x - 3 y = −3 \\ y = 2 \end{matrix}

Solution解き方

(3, 2)

Exercise 34問題 34

{\begin{matrix} 2 x - 2 y = 8 \\ y = −3 \end{matrix}

Exercise 35問題 35

{\begin{matrix} 2 x - y = −1 \\ x = 1 \end{matrix}

Solution解き方

(1, 3)

Exercise 36問題 36

{\begin{matrix} x + 2 y = 2 \\ x = −2 \end{matrix}

Exercise 37問題 37

{\begin{matrix} x - 3 y = −6 \\ x = −3 \end{matrix}

Solution解き方

(−3, 1)

Exercise 38問題 38

{\begin{matrix} x + y = 4 \\ x = 1 \end{matrix}

Exercise 39問題 39

{\begin{matrix} 4 x - 3 y = 8 \\ 8 x - 6 y = 14 \end{matrix}

Solution解き方

no solution

英語のヒント

解なし

Exercise 40問題 40

{\begin{matrix} x + 3 y = 4 \\ −2 x - 6 y = 3 \end{matrix}

Exercise 41問題 41

{\begin{matrix} −2 x + 4 y = 4 \\ y = \frac{1}{2} x \end{matrix}

Solution解き方

no solution

英語のヒント

解なし

Exercise 42問題 42

{\begin{matrix} 3 x + 5 y = 10 \\ y = - \frac{3}{5} x + 1 \end{matrix}

Exercise 43問題 43

{\begin{matrix} x = −3 y + 4 \\ 2 x + 6 y = 8 \end{matrix}

Solution解き方

infinitely many solutions

英語のヒント

解は無数にある

Exercise 44問題 44

{\begin{matrix} 4 x = 3 y + 7 \\ 8 x - 6 y = 14 \end{matrix}

Exercise 45問題 45

{\begin{matrix} 2 x + y = 6 \\ −8 x - 4 y = −24 \end{matrix}

Solution解き方

infinitely many solutions

英語のヒント

解は無数にある

Exercise 46問題 46

{\begin{matrix} 5 x + 2 y = 7 \\ −10 x - 4 y = −14 \end{matrix}

Exercise 47問題 47

{\begin{matrix} x + 3 y = −6 \\ 4 y = - \frac{4}{3} x - 8 \end{matrix}

Solution解き方

infinitely many solutions

英語のヒント

解は無数にある

Exercise 48問題 48

{\begin{matrix} − x + 2 y = −6 \\ y = - \frac{1}{2} x - 1 \end{matrix}

Exercise 49問題 49

{\begin{matrix} −3 x + 2 y = −2 \\ y = − x + 4 \end{matrix}

Solution解き方

(2, 2)

Exercise 50問題 50

{\begin{matrix} - x + 2 y = −2 \\ y = − x - 1 \end{matrix}

Exercises 51–62練習問題 51–62

Determine the Number of Solutions of a Linear System Without graphing the following systems of equations, determine the number of solutions and then classify the system of equations.

英語のヒント

連立一次方程式の解の数を判定する次の各連立方程式について、グラフを描かずに解の数を判定し、分類せよ。

Exercise 51問題 51

{\begin{matrix} y = \frac{2}{3} x + 1 \\ −2 x + 3 y = 5 \end{matrix}

Solution解き方

0 solutions

英語のヒント

解は0個

Exercise 52問題 52

{\begin{matrix} y = \frac{1}{3} x + 2 \\ x - 3 y = 9 \end{matrix}

Exercise 53問題 53

{\begin{matrix} y = −2 x + 1 \\ 4 x + 2 y = 8 \end{matrix}

Solution解き方

0 solutions

英語のヒント

解は0個

Exercise 54問題 54

{\begin{matrix} y = 3 x + 4 \\ 9 x - 3 y = 18 \end{matrix}

Exercise 55問題 55

{\begin{matrix} y = \frac{2}{3} x + 1 \\ 2 x - 3 y = 7 \end{matrix}

Solution解き方

no solutions, inconsistent, independent

英語のヒント

解なし、不整合、独立。

Exercise 56問題 56

{\begin{matrix} 3 x + 4 y = 12 \\ y = −3 x - 1 \end{matrix}

Exercise 57問題 57

{\begin{matrix} 4 x + 2 y = 10 \\ 4 x - 2 y = −6 \end{matrix}

Solution解き方

consistent, 1 solution

英語のヒント

整合的、解は1つ。

Exercise 58問題 58

{\begin{matrix} 5 x + 3 y = 4 \\ 2 x - 3 y = 5 \end{matrix}

Exercise 59問題 59

{\begin{matrix} y = - \frac{1}{2} x + 5 \\ x + 2 y = 10 \end{matrix}

Solution解き方

infinitely many solutions

英語のヒント

解は無数にある

Exercise 60問題 60

{\begin{matrix} y = x + 1 \\ − x + y = 1 \end{matrix}

Exercise 61問題 61

{\begin{matrix} y = 2 x + 3 \\ 2 x - y = −3 \end{matrix}

Solution解き方

infinitely many solutions

英語のヒント

解は無数にある

Exercise 62問題 62

{\begin{matrix} 5 x - 2 y = 10 \\ y = \frac{5}{2} x - 5 \end{matrix}

Exercises 63–66練習問題 63–66

Solve Applications of Systems of Equations by Graphing In the following exercises, solve.

英語のヒント

連立方程式の応用問題をグラフで解く次の各問を解け。

Exercise 63問題 63

Molly is making strawberry infused water. For each ounce of strawberry juice, she uses three times as many ounces of water. How many ounces of strawberry juice and how many ounces of water does she need to make 64 ounces of strawberry infused water?

英語のヒント

モリーはイチゴ風味の水を作る。イチゴ果汁1オンスに対して、その3倍のオンス数の水を使う。64オンス作るには、果汁と水がそれぞれ何オンス必要か。

Solution解き方

Molly needs 16 ounces of strawberry juice and 48 ounces of water.

英語のヒント

モリーにはイチゴ果汁16オンスと水48オンスが必要である。

Exercise 64問題 64

Jamal is making a snack mix that contains only pretzels and nuts. For every ounce of nuts, he will use 2 ounces of pretzels. How many ounces of pretzels and how many ounces of nuts does he need to make 45 ounces of snack mix?

英語のヒント

ジャマルはプレッツェルとナッツだけのスナックミックスを作る。ナッツ1オンスに対してプレッツェル2オンスを使う。45オンス作るには、それぞれ何オンス必要か。

Exercise 65問題 65

Enrique is making a party mix that contains raisins and nuts. For each ounce of nuts, he uses twice the amount of raisins. How many ounces of nuts and how many ounces of raisins does he need to make 24 ounces of party mix?

英語のヒント

エンリケはレーズンとナッツのパーティーミックスを作る。ナッツ1オンスに対して、その2倍の量のレーズンを使う。24オンス作るには、それぞれ何オンス必要か。

Solution解き方

Enrique needs 8 ounces of nuts and 16 ounces of water.

英語のヒント

エンリケにはナッツ8オンスと水16オンスが必要である。

Exercise 66問題 66

Owen is making lemonade from concentrate. The number of quarts of water he needs is 4 times the number of quarts of concentrate. How many quarts of water and how many quarts of concentrate does Owen need to make 100 quarts of lemonade?

英語のヒント

オーウェンは濃縮液からレモネードを作る。必要な水のクォート数は濃縮液の4倍である。100クォート作るには、水と濃縮液がそれぞれ何クォート必要か。

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 67–68練習問題 67–68

Exercise 67問題 67

Leo is planning his spring flower garden. He wants to plant tulip and daffodil bulbs. He will plant 6 times as many daffodil bulbs as tulip bulbs. If he wants to plant 350 bulbs, how many tulip bulbs and how many daffodil bulbs should he plant?

英語のヒント

レオは春の花壇を計画しており、チューリップとスイセンの球根を植えたい。スイセンはチューリップの6倍の個数を植える。全部で350個植えるには、それぞれ何個植えればよいか。

Solution解き方

Leo should plant 50 tulips and 300 daffodils.

英語のヒント

レオはチューリップ50個とスイセン300個を植えればよい。

Exercise 68問題 68

A marketing company surveys 1,200 people. They surveyed twice as many females as males. How many males and females did they survey?

英語のヒント

マーケティング会社が1,200人を調査した。女性を男性の2倍の人数調べた。それぞれ何人を調査したか。

Writing Exercises記述問題

Exercises 69–70練習問題 69–70

Exercise 69問題 69

In a system of linear equations, the two equations have the same slope. Describe the possible solutions to the system.

英語のヒント

連立一次方程式の2つの方程式の傾きが同じである。ありうる解を説明せよ。

Solution解き方

Given that it is only known that the slopes of both linear equations are the same, there are either no solutions (the graphs of the equations are parallel) or infinitely many.

英語のヒント

両方の一次方程式の傾きが同じということだけが分かっている場合、解がない（グラフが平行）か、解が無数にあるかのいずれかである。

Exercise 70問題 70

In a system of linear equations, the two equations have the same intercepts. Describe the possible solutions to the system.

英語のヒント

連立一次方程式の2つの方程式の切片が同じである。ありうる解を説明せよ。

Self Check自己チェック

After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ身に付けたかを評価する。

4行4列の表。見出しは「できること」「自信を持ってできる」「少し助けがあればできる」「まだ分からない」。「できること」の列だけに内容があり、「順序対が連立方程式の解か判定する」「連立一次方程式をグラフで解く」「連立一次方程式の解の数を判定する」「連立方程式の応用問題をグラフで解く」とある。

If most of your checks were:

英語のヒント

ほとんどの項目で選んだ答えが次の場合：

…confidently. Congratulations! You have achieved the objectives in this section. Reflect on the study skills you used so that you can continue to use them. What did you do to become confident of your ability to do these things? Be specific.

英語のヒント

…自信を持ってできる。この節の目標を達成した。おめでとう。使った学習方法を振り返り、これからも活用しよう。自信を持ってできるようになるために何をしたか。具体的に考えよう。

…with some help. This must be addressed quickly because topics you do not master become potholes in your road to success. In math every topic builds upon previous work. It is important to make sure you have a strong foundation before you move on. Whom can you ask for help? Your fellow classmates and instructor are good resources. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?

英語のヒント

…少し助けがあればできる。早く対処する必要がある。身に付いていない内容は、成功への道のくぼみになるからである。数学の各内容は、それまでの学習の上に積み重なる。先に進む前にしっかりした土台を作ることが大切である。誰に助けを求められるか。クラスメートや教員が頼りになる。学内に数学の個別指導を受けられる場所はあるか。学習方法を改善できるか。

…no - I don’t get it! This is a warning sign and you must not ignore it. You should get help right away or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as you can to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.

英語のヒント

…まだ分からない。これは見過ごしてはいけない警告である。すぐに助けを求めないと、たちまち手に負えなくなる。できるだけ早く教員に会って状況を相談しよう。必要な助けを得る計画を一緒に立てられる。

coincident lines

一致する直線

Coincident lines are lines that have the same slope and same y-intercept.

英語のヒント

一致する直線とは、傾きとy切片が同じ直線である。

consistent system

整合的な連立方程式

A consistent system of equations is a system of equations with at least one solution.

英語のヒント

少なくとも1つの解がある連立方程式を整合的な連立方程式という。

dependent equations

従属する方程式

Two equations are dependent if all the solutions of one equation are also solutions of the other equation.

英語のヒント

一方の方程式の解がすべてもう一方の方程式の解でもある場合、その2つの方程式は従属である。

inconsistent system

不整合な連立方程式

An inconsistent system of equations is a system of equations with no solution.

英語のヒント

解がない連立方程式を不整合な連立方程式という。

independent equations

独立な方程式

Two equations are independent if they have different solutions.

英語のヒント

2つの方程式の解が異なる場合、その2つの方程式は独立である。

solutions of a system of equations

連立方程式の解

Solutions of a system of equations are the values of the variables that make all the equations true. A solution of a system of two linear equations is represented by an ordered pair (x, y).

英語のヒント

連立方程式の解とは、すべての方程式を成り立たせる変数の値である。2つの一次方程式からなる連立方程式の解は、順序対(x, y)で表される。

system of linear equations

連立一次方程式

When two or more linear equations are grouped together, they form a system of linear equations.

英語のヒント

2つ以上の一次方程式を組み合わせたものを連立一次方程式という。