第5章連立一次方程式

Solve Applications of Systems of Equations by Elimination消去法で連立方程式の応用問題を解く

Some applications problems translate directly into equations in standard form, so we will use the elimination method to solve them. As before, we use our Problem Solving Strategy to help us stay focused and organized.

英語のヒント

標準形の方程式にそのまま表せる応用問題もあるので、加減法を使って解く。これまでどおり問題解決の手順を使い、焦点を保って整理しながら進める。

Example 5.32例題 5.32

The sum of two numbers is 39. Their difference is 9. Find the numbers.

英語のヒント

2つの数の和は39、差は9である。2つの数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	We are looking for two numbers. 2つの数を求める。
Step 3. Name what we are looking for. Choose a variable to represent that quantity. 手順3．求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。	Let $n =$ the first number. $m =$ the second number. $n =$ 1つ目の数、 $m =$ 2つ目の数、とする。
Step 4. Translate into a system of equations. The system is: 手順4．連立方程式に表す。次のようになる。	The sum of two numbers is 39. $n + m = 39$ Their difference is 9. $\begin{matrix} n - m = 9 \\ {\begin{matrix} n + m = 39 \\ n - m = 9 \end{matrix} \end{matrix}$ 2つの数の和は39。 $n + m = 39$ 差は9。 $\begin{matrix} n - m = 9 \\ {\begin{matrix} n + m = 39 \\ n - m = 9 \end{matrix} \end{matrix}$
Step 5. Solve the system of equations. To solve the system of equations, use elimination. The equations are in standard form and the coefficients of $m$ are opposites. Add. Solve for $n$ . Substitute $n = 24$ into one of the original equations and solve for $m$ . 手順5．加減法で連立方程式を解く。方程式は標準形で、 $m$ の係数が互いに符号が逆なので、足す。 $n$ を求める。元の方程式の1つに $n = 24$ を代入して $m$ を求める。	$\begin{matrix} \underset{____________}{{\begin{matrix} n + m = 39 \\ n - m = 9 \end{matrix}} \\ 2 n = 48 \\ n = 24 \\ n + m = 39 \\ 24 + m = 39 \\ m = 15 \end{matrix}$
Step 6. Check the answer. 手順6．答えを確認する。	Since $24 + 15 = 39$ and $24 - 15 = 9$ , the answers check. $24 + 15 = 39$ 、 $24 - 15 = 9$ なので、答えを確認できた。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The numbers are 24 and 15. 2つの数は24と15である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 5.33例題 5.33

Joe stops at a burger restaurant every day on his way to work. Monday he had one order of medium fries and two small sodas, which had a total of 620 calories. Tuesday he had two orders of medium fries and one small soda, for a total of 820 calories. How many calories are there in one order of medium fries? How many calories in one small soda?

英語のヒント

ジョーは毎日通勤途中にハンバーガー店に寄る。月曜はMサイズのポテト1つとSサイズの炭酸飲料2つで計620カロリー、火曜はMポテト2つとS炭酸飲料1つで計820カロリーだった。Mポテト1つとS炭酸飲料1つはそれぞれ何カロリーか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	We are looking for the number of calories in one order of medium fries and in one small soda. Mサイズのポテト1つとSサイズの炭酸飲料1つのカロリーを求める。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。	Let f = the number of calories in 1 order of medium fries. s = the number of calories in 1 small soda. f＝Mサイズのポテト1つのカロリー、s＝Sサイズの炭酸飲料1つのカロリー、とする。
Step 4. Translate into a system of equations: 手順4．連立方程式に表す。	one medium fries and two small sodas had a total of 620 calories Mポテト1つとS炭酸飲料2つは合計620カロリーだった。

	two medium fries and one small soda had a total of 820 calories. Mポテト2つとS炭酸飲料1つは合計820カロリーだった。

Our system is: 連立方程式は次のとおり。
Step 5. Solve the system of equations. To solve the system of equations, use elimination. The equations are in standard form. To get opposite coefficients of f, multiply the top equation by −2. 手順5．加減法で連立方程式を解く。方程式は標準形である。fの係数を互いに符号が逆の数にするため、上の方程式に−2を掛ける。
Simplify and add. 簡単にして足す。
Solve for s. sを求める。
Substitute s = 140 into one of the original equations and then solve for f. 元の方程式の1つにs=140を代入してfを求める。



Step 6. Check the answer. 手順6．答えを確認する。	Verify that these numbers make sense in the problem and that they are solutions to both equations. We leave this to you! この数が問題の状況に合い、両方の方程式の解であることを確かめる。自分で確認しよう。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The small soda has 140 calories and the fries have 340 calories. Sサイズの炭酸飲料は140カロリー、ポテトは340カロリーである。

Try It (2)確認問題（2題）

Question 2問題 2

To get her daily intake of fruit for the day, Sasha eats a banana and 8 strawberries on Wednesday for a calorie count of 145. On the following Wednesday, she eats two bananas and 5 strawberries for a total of 235 calories for the fruit. How many calories are there in a banana? How many calories are in a strawberry?

英語のヒント

サシャは1日分の果物を摂るため、水曜日にバナナ1本とイチゴ8個を食べ、145カロリーを摂取した。翌水曜日はバナナ2本とイチゴ5個で、果物の総カロリーは235だった。バナナ1本とイチゴ1個はそれぞれ何カロリーか。

Solution解答

There are 105 calories in a banana and 5 calories in a strawberry.

英語のヒント

バナナ1本は105カロリー、イチゴ1個は5カロリーである。

Choose the Most Convenient Method to Solve a System of Linear Equations連立一次方程式を解く最も使いやすい方法を選ぶ

When you will have to solve a system of linear equations in a later math class, you will usually not be told which method to use. You will need to make that decision yourself. So you’ll want to choose the method that is easiest to do and minimizes your chance of making mistakes.

英語のヒント

今後の数学の授業で連立一次方程式を解くとき、普通は方法を指定されない。自分で決める必要がある。したがって、最も簡単で間違いをしにくい方法を選びたい。

2行3列の表。見出しは「グラフ」「代入法」「加減法」。グラフの列は「状況を図で示す必要があるときに使う」。代入法の列は「一方がすでに変数について解かれているときに使う」。加減法の列は「方程式が標準形のときに使う」。

Example 5.34例題 5.34

For each system of linear equations decide whether it would be more convenient to solve it by substitution or elimination. Explain your answer.

英語のヒント

各連立一次方程式について、代入法と加減法のどちらが便利か判断し、理由を説明せよ。

ⓐ

{\begin{matrix} 3 x + 8 y = 40 \\ 7 x - 4 y = −32 \end{matrix}

ⓑ

{\begin{matrix} 5 x + 6 y = 12 \\ y = \frac{2}{3} x - 1 \end{matrix}

Solution解答

ⓐ $\begin{matrix} {\begin{matrix} 3 x + 8 y = 40 \\ 7 x - 4 y = −32 \end{matrix} \end{matrix}$
Since both equations are in standard form, using elimination will be most convenient.
英語のヒント
ⓐ $\begin{matrix} {\begin{matrix} 3 x + 8 y = 40 \\ 7 x - 4 y = −32 \end{matrix} \end{matrix}$ 両方とも標準形なので、加減法が最も便利である。
ⓑ $\begin{matrix} {\begin{matrix} 5 x + 6 y = 12 \\ y = \frac{2}{3} x - 1 \end{matrix} \end{matrix}$

>Since one equation is already solved for y, using substitution will be most convenient.

英語のヒント

>一方の方程式がすでにyについて解かれているので、代入法が最も便利である。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材