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第5章連立一次方程式

5.6 Graphing Systems of Linear Inequalities5.6　連立一次不等式のグラフ

Learning Objectives学習目標

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:
英語のヒント
この節を終えると、次のことができるようになる。
  • Determine whether an ordered pair is a solution of a system of linear inequalities
    英語のヒント
    順序対が連立一次不等式の解かどうかを判断する
  • Solve a system of linear inequalities by graphing
    英語のヒント
    グラフを使って連立一次不等式を解く
  • Solve applications of systems of inequalities
    英語のヒント
    連立不等式の応用問題を解く
Before You Begin (3)準備問題（3題）

Determine Whether an Ordered Pair is a Solution of a System of Linear Inequalities順序対が連立一次不等式の解かどうかを調べる

The definition of a system of linear inequalities is very similar to the definition of a system of linear equations.
英語のヒント
連立一次不等式の定義は、連立一次方程式の定義とよく似ている。
A system of linear inequalities looks like a system of linear equations, but it has inequalities instead of equations. A system of two linear inequalities is shown below.
英語のヒント
連立一次不等式は連立一次方程式に似ているが、等式の代わりに不等式がある。2つの一次不等式からなる連立不等式を以下に示す。
{x+4y≥103x−2y<12
To solve a system of linear inequalities, we will find values of the variables that are solutions to both inequalities. We solve the system by using the graphs of each inequality and show the solution as a graph. We will find the region on the plane that contains all ordered pairs (x,y) that make both inequalities true.
英語のヒント
連立一次不等式を解くには、両方の不等式の解となる変数の値を求める。各不等式のグラフを使って解き、解をグラフで表す。両方の不等式を成り立たせるすべての順序対(x,y)を含む、平面上の領域を求める。
To determine if an ordered pair is a solution to a system of two inequalities, we substitute the values of the variables into each inequality. If the ordered pair makes both inequalities true, it is a solution to the system.
英語のヒント
ある順序対が2つの不等式からなる連立不等式の解かどうかを判断するには、変数の値をそれぞれの不等式に代入する。両方の不等式を成り立たせれば、その順序対は連立不等式の解である。
Example 5.51例題 5.51
Determine whether the ordered pair is a solution to the system. {x+4y≥103x−2y<12
英語のヒント
順序対が連立不等式の解かどうかを判断せよ。{x+4y≥103x−2y<12
ⓐ (−2, 4) ⓑ (3,1)

Solution解答

  1. ⓐ Is the ordered pair (−2, 4) a solution?
    英語のヒント
    ⓐ 順序対（−2, 4）は解か。
    「両方の不等式にx＝−2、y＝4を代入する」と書かれた図。第1の不等式x＋4y≧10は、−2＋4×4が10より大きいか小さい、すなわち14が10より大きいか小さいとなり、真である。第2の不等式3x−2y＜12は、3×（−2）−2×4＜12、すなわち−14＜12となり、真である。
The ordered pair (−2, 4) made both inequalities true. Therefore (−2, 4) is a solution to this system.
英語のヒント
順序対（−2, 4）は両方の不等式を成り立たせた。したがって、（−2, 4）はこの連立不等式の解である。
  1. ⓑ Is the ordered pair (3,1) a solution?
    英語のヒント
    ⓑ 順序対（3, 1）は解か。
    「両方の不等式にxに3、y＝1を代入する」と書かれた図。第1の不等式x＋4y≧10は、3＋4×1≧10、すなわちy≧10となり、偽である。第2の不等式3x−2y＜12は、3×3−2×1＜12、すなわち7＜12となり、真である。
The ordered pair (3,1) made one inequality true, but the other one false. Therefore (3,1) is not a solution to this system.
英語のヒント
順序対（3, 1）は一方の不等式を成り立たせたが、他方は成り立たせなかった。したがって、（3, 1）はこの連立不等式の解ではない。
Try It (2)確認問題（2題）

Solve a System of Linear Inequalities by Graphingグラフを使って連立一次不等式を解く

The solution to a single linear inequality is the region on one side of the boundary line that contains all the points that make the inequality true. The solution to a system of two linear inequalities is a region that contains the solutions to both inequalities. To find this region, we will graph each inequality separately and then locate the region where they are both true. The solution is always shown as a graph.
英語のヒント
1つの一次不等式の解は、境界線の片側にある領域で、その不等式を成り立たせるすべての点を含む。2つの一次不等式からなる連立不等式の解は、両方の不等式の解を含む領域である。この領域を求めるには、各不等式を別々に図示し、両方が成り立つ領域を見つける。解は常にグラフで表す。
Example 5.52例題 5.52

How to Solve a System of Linear inequalities連立一次不等式の解き方

Solve the system by graphing.
英語のヒント
グラフを使って連立不等式を解け。
{y≥2x−1y<x+1

Solution解答

3列と複数の行からなる表。第1行は「手順1：第1の不等式を図示する。y≧2x−1を図示する」。y≧2x−1とy＜x＋1の2式が示されている。続いて「境界線を描く。直線y＝2x−1を描く。不等号が≧なので実線にする。不等式が成り立つ側の領域を塗る。検査点に（0, 0）を選ぶ。これはy≧2x−1の解なので、境界線の左側を塗る」とある。x-y座標平面に直線を描いた図があり、直線の左側が塗られている。
第2行は「手順2：同じ座標平面に第2の不等式を図示する。同じ座標平面にy＜x＋1を図示する。境界線を描く。直線y＝x＋1を描く。不等号が＜なので破線にする」。x-y座標平面に2本の直線を描いた図がある。一方の直線の左側と、他方の直線の右側が塗られ、塗られた部分が重なる小さな領域がある。続いて「不等式が成り立つ側の領域を塗る。再び検査点に（0, 0）を用いる。これは解なので、直線y＝x＋1のその側を塗る」とある。
第3行は「手順3：塗られた部分が重なる領域が解である。境界線の交点はy＜x＋1の解ではないので、この連立不等式の解ではない。紫色の領域内のすべての点が解である」。
第4行は「手順4：検査点を選んで確かめる。（−1, −1）を検査点にする。（−1, −1）はy≧2x−1の解か。−1≧2×（−1）−1、すなわち−1≧−3で、真である」。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 5.53例題 5.53
Solve the system by graphing. {x−y>3y<−15x+4
英語のヒント
グラフを使って連立方程式を解け。{x−y>3y<−15x+4

Solution解答

Graph x − y > 3, by graphing x − y = 3 and
testing a point.

The intercepts are x = 3 and y = −3 and the boundary
line will be dashed.

Test (0, 0). It makes the inequality false. So,
shade the side that does not contain (0, 0) red.
x−y＝3を描き、点を代入して確かめることでx−y＞3を図示する。切片はx＝3とy＝−3で、境界線は破線にする。（0, 0）を代入すると、不等式は成り立たない。したがって、（0, 0）を含まない側を赤く塗る。
.
Graph y<−15x+4 by graphing y=−15x+4
using the slope m=−15 and y−intercept
b = 4. The boundary line will be dashed.

Test (0, 0). It makes the inequality true, so shade the side that contains (0, 0) blue.

Choose a test point in the solution and verify that it is a solution to both inequalities.
傾きm=−15とy切片b＝4を使ってy=−15x+4を描き、y<−15x+4を図示する。境界線は破線にする。（0, 0）を代入すると不等式が成り立つので、（0, 0）を含む側を青く塗る。解の領域から検査点を選び、両方の不等式の解であることを確認する。
.
The point of intersection of the two lines is not included as both boundary lines were dashed. The solution is the area shaded twice which is the darker-shaded region.
英語のヒント
両方の境界線が破線なので、2直線の交点は解に含まれない。2度塗られた濃い色の領域が解である。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 5.54例題 5.54
Solve the system by graphing. {x−2y<5y>−4
英語のヒント
グラフを使って連立方程式を解け。{x−2y<5y>−4

Solution解答

Graph x−2y<5, by graphing x−2y=5 and testing a point.
The intercepts are x = 5 and y = −2.5 and the boundary line will be dashed.

Test (0, 0). It makes the inequality true. So, shade the side
that contains (0, 0) red.
x−2y=5を描き、点を代入して確かめることでx−2y<5を図示する。切片はx＝5とy＝−2.5で、境界線は破線にする。（0, 0）を代入すると不等式が成り立つので、（0, 0）を含む側を赤く塗る。
.
Graph y > −4, by graphing y = −4 and recognizing that it is a
horizontal line through y = −4. The boundary line will be dashed.

Test (0, 0). It makes the inequality true. So, shade (blue)
the side that contains (0, 0) blue.
y＝−4がy＝−4を通る水平な直線であることを使ってこれを描き、y＞−4を図示する。境界線は破線にする。（0, 0）を代入すると不等式が成り立つので、（0, 0）を含む側を青く塗る。
.
The point (0, 0) is in the solution and we have already found it to be a solution of each inequality. The point of intersection of the two lines is not included as both boundary lines were dashed.
英語のヒント
点（0, 0）は解の領域に含まれ、各不等式の解であることもすでに確かめた。両方の境界線が破線なので、2直線の交点は解に含まれない。
The solution is the area shaded twice which is the darker-shaded region.
英語のヒント
2度塗られた濃い色の領域が解である。
Try It (2)確認問題（2題）
Systems of linear inequalities where the boundary lines are parallel might have no solution. We’ll see this in Example 5.55.
英語のヒント
境界線が平行な連立一次不等式には、解がない場合がある。例題5.55で見てみよう。
Example 5.55例題 5.55
Solve the system by graphing. {4x+3y≥12y<−43x+1
英語のヒント
グラフを使って連立方程式を解け。{4x+3y≥12y<−43x+1

Solution解答

Graph 4x+3y≥12, by graphing 4x+3y=12 and testing a point.
The intercepts are x = 3 and y = 4 and the boundary line will be solid.

Test (0, 0). It makes the inequality false. So,
shade the side that does not contain (0, 0) red.
4x+3y=12を描き、点を代入して確かめることで4x+3y≥12を図示する。切片はx＝3とy＝4で、境界線は実線にする。（0, 0）を代入すると不等式は成り立たない。したがって、（0, 0）を含まない側を赤く塗る。
.
Graph y<−43x+1 by graphing y=−43x+1 using the
slope m=43 and the y-intercept b = 1. The boundary line will be dashed.

Test (0, 0). It makes the inequality true. So,
shade the side that contains (0, 0) blue.
傾きm=43とy切片b＝1を使ってy=−43x+1を描き、y<−43x+1を図示する。境界線は破線にする。（0, 0）を代入すると不等式が成り立つので、（0, 0）を含む側を青く塗る。
.
There is no point in both shaded regions, so the system has no solution. This system has no solution.
英語のヒント
両方の塗られた領域に属する点はないので、連立不等式に解はない。この連立不等式には解がない。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 5.56例題 5.56
Solve the system by graphing. {y>12x−4x−2y<−4
英語のヒント
グラフを使って連立方程式を解け。{y>12x−4x−2y<−4

Solution解答

Graph y>12x−4 by graphing y=12x−4
using the slope m=12 and the intercept
b = −4. The boundary line will be dashed.
Test (0, 0). It makes the inequality true. So,
shade the side that contains (0, 0) red.
傾きm=12と切片b＝−4を使ってy=12x−4を描き、y>12x−4を図示する。境界線は破線にする。（0, 0）を代入すると不等式が成り立つので、（0, 0）を含む側を赤く塗る。
.
Graph x−2y<−4 by graphing x−2y=−4 and testing a point.
The intercepts are x = −4 and y = 2 and the boundary
line will be dashed.

Choose a test point in the solution and verify
that it is a solution to both inequalities.
x−2y=−4を描き、点を代入して確かめることでx−2y<−4を図示する。切片はx＝−4とy＝2で、境界線は破線にする。解の領域から検査点を選び、両方の不等式の解であることを確認する。
.
No point on the boundary lines is included in the solution as both lines are dashed.
英語のヒント
両方の境界線が破線なので、境界線上の点は解に含まれない。
The solution is the region that is shaded twice, which is also the solution to x−2y<−4.
英語のヒント
2度塗られた領域が解であり、それはx−2y<−4の解でもある。
Try It (2)確認問題（2題）