第5章連立一次方程式

5.2 Solving Systems of Equations by Substitution5.2　代入法で連立方程式を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve a system of equations by substitution
英語のヒント
代入法で連立方程式を解く
Solve applications of systems of equations by substitution
英語のヒント
代入法で連立方程式の応用問題を解く

Before You Begin (4)準備問題（4題）

Solving systems of linear equations by graphing is a good way to visualize the types of solutions that may result. However, there are many cases where solving a system by graphing is inconvenient or imprecise. If the graphs extend beyond the small grid with x and y both between −10 and 10, graphing the lines may be cumbersome. And if the solutions to the system are not integers, it can be hard to read their values precisely from a graph.

英語のヒント

連立一次方程式をグラフで解くと、どのような解が生じるかを視覚的に理解できる。しかし、グラフで解くのが不便だったり不正確だったりする場合も多い。グラフがx、yともに−10から10までの小さな格子をはみ出すと、直線を描くのが厄介になることがある。また、解が整数でない場合、グラフから値を正確に読み取るのは難しい。

In this section, we will solve systems of linear equations by the substitution method.

英語のヒント

この節では、代入法で連立一次方程式を解く。

Solve a System of Equations by Substitution代入法で連立方程式を解く

We will use the same system we used first for graphing.

英語のヒント

グラフで最初に解いたものと同じ連立方程式を使う。

{\begin{matrix} 2 x + y = 7 \\ x - 2 y = 6 \end{matrix}

We will first solve one of the equations for either x or y. We can choose either equation and solve for either variable—but we’ll try to make a choice that will keep the work easy.

英語のヒント

まず、一方の方程式をxかyについて解く。どちらの方程式でどちらの変数について解いてもよいが、計算が簡単になるように選ぼう。

Then we substitute that expression into the other equation. The result is an equation with just one variable—and we know how to solve those!

英語のヒント

その式をもう一方の方程式に代入する。すると変数が1つだけの方程式になり、その解き方はすでに知っている。

After we find the value of one variable, we will substitute that value into one of the original equations and solve for the other variable. Finally, we check our solution and make sure it makes both equations true.

英語のヒント

一方の変数の値を求めたら、元の方程式の1つに代入して他方の変数を求める。最後に、両方の方程式が成り立つことを確認する。

We’ll fill in all these steps now in Example 5.13.

英語のヒント

例題5.13で、これらの手順をすべて実行する。

Example 5.13例題 5.13

How to Solve a System of Equations by Substitution代入法による連立方程式の解き方

Solve the system by substitution.

{\begin{matrix} 2 x + y = 7 \\ x - 2 y = 6 \end{matrix}

英語のヒント

代入法で連立方程式を解け。

{\begin{matrix} 2 x + y = 7 \\ x - 2 y = 6 \end{matrix}

Solution解答

3列6行の図。1行目は「手順1．一方の方程式をどちらかの変数について解く」。中央には「最初の方程式をyについて解く」。第3列に2x+y=7とx−2y=6があり、2x+y=7がy=7−2xになることを示す。

2行目は「手順2．手順1の式をもう一方の方程式に代入する」「2つ目の方程式のyを7−2xに置き換える」。x−2y=6がx−2(7−2x)=6になることを示す。

3行目は「手順3．得られた方程式を解く」「変数が1つだけの方程式になった。解き方は分かっている」。x−2(7−2x)=6がx−14+4x=6、5x=20となり、x=4と示す。

4行目は「手順4．手順3の解を元の方程式の1つに代入し、もう一方の変数を求める」「最初の方程式を使い、xを4に置き換える」。2x+y=7が2(4)+y=7、8+y=7となり、y=−1と示す。

5行目は「手順5．解を順序対で書く」「順序対は(x, y)」、続いて(4, −1)とある。

6行目は「手順6．順序対が元の両方の方程式の解か確認する」「両方に(4, −1)を代入し、どちらも成り立つことを確かめる」。2x+y=7が2(4)+(−1)=7、7=7となる。x−2y=6は4−2(−1)=6、6−6となる。「両方の方程式が成り立つ。(4, −1)が連立方程式の解」とある。

Try It (2)確認問題（2題）

Solve a system of equations by substitution.代入法で連立方程式を解く。

Solve one of the equations for either variable.
英語のヒント
一方の方程式を、どちらかの変数について解く。
Substitute the expression from Step 1 into the other equation.
英語のヒント
手順1で得た式をもう一方の方程式に代入する。
Solve the resulting equation.
英語のヒント
得られた方程式を解く。
Substitute the solution in Step 3 into one of the original equations to find the other variable.
英語のヒント
手順3で得た解を元の方程式の一方に代入し、もう一方の変数の値を求める。
Write the solution as an ordered pair.
英語のヒント
解を順序対で表す。
Check that the ordered pair is a solution to both original equations.
英語のヒント
その順序対が元の両方の方程式の解であることを確認する。

If one of the equations in the system is given in slope–intercept form, Step 1 is already done! We’ll see this in Example 5.14.

英語のヒント

一方の方程式が傾き切片形式で与えられていれば、手順1はすでに終わっている。例題5.14で見よう。

Example 5.14例題 5.14

Solve the system by substitution.

英語のヒント

代入法で連立方程式を解け。

{\begin{matrix} x + y = −1 \\ y = x + 5 \end{matrix}

Solution解答

The second equation is already solved for y. We will substitute the expression in place of y in the first equation.

英語のヒント

2つ目の方程式はすでにyについて解かれている。最初の方程式のyの代わりに、その式を代入する。


The second equation is already solved for y. We will substitute into the first equation. 2つ目の方程式はすでにyについて解かれている。最初の方程式に代入する。
Replace the y with x + 5. yをx+5に置き換える。
Solve the resulting equation for x. 得られた方程式をxについて解く。


Substitute x = −3 into y = x + 5 to find y. y=x+5にx=−3を代入してyを求める。

The ordered pair is (−3, 2). 順序対は(−3, 2)である。
Check the ordered pair in both equations: $\begin{matrix} \begin{matrix} x + y & = & - 1 \\ - 3 + 2 & \overset{?}{=} & - 1 \\ - 1 & = & - 1 ✓ \end{matrix} & \begin{matrix} y & = & x + 5 \\ 2 & \overset{?}{=} & - 3 + 5 \\ 2 & = & 2 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$ その順序対を両方の方程式に代入して確認する： $\begin{matrix} \begin{matrix} x + y & = & - 1 \\ - 3 + 2 & \overset{?}{=} & - 1 \\ - 1 & = & - 1 ✓ \end{matrix} & \begin{matrix} y & = & x + 5 \\ 2 & \overset{?}{=} & - 3 + 5 \\ 2 & = & 2 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$
	The solution is (−3, 2). 解は(−3, 2)である。

Try It (2)確認問題（2題）

If the equations are given in standard form, we’ll need to start by solving for one of the variables. In this next example, we’ll solve the first equation for y.

英語のヒント

方程式が標準形で与えられている場合は、まず一方の変数について解く必要がある。次の例では、最初の方程式をyについて解く。

Example 5.15例題 5.15

Solve the system by substitution.

{\begin{matrix} 3 x + y = 5 \\ 2 x + 4 y = −10 \end{matrix}

英語のヒント

代入法で連立方程式を解け。

{\begin{matrix} 3 x + y = 5 \\ 2 x + 4 y = −10 \end{matrix}

Solution解答

We need to solve one equation for one variable. Then we will substitute that expression into the other equation.

英語のヒント

一方の方程式を1つの変数について解く必要がある。その式をもう一方の方程式に代入する。

Solve for y. Substitute into the other equation. yについて解き、もう一方の方程式に代入する。
Replace the y with −3x + 5. yを−3x+5に置き換える。
Solve the resulting equation for x. 得られた方程式をxについて解く。

Substitute x = 3 into 3x + y = 5 to find y. 3x+y=5にx=3を代入してyを求める。

The ordered pair is (3, −4). 順序対は(3, −4)である。
Check the ordered pair in both equations: $\begin{matrix} \begin{matrix} 3 x + y & = & 5 \\ 3 \cdot 3 + (- 4) & \overset{?}{=} & 5 \\ 9 - 4 & \overset{?}{=} & 5 \\ 5 & = & 5 ✓ \end{matrix} & \begin{matrix} 2 x + 4 y & = & - 10 \\ 2 \cdot 3 + 4 (- 4) & = & - 10 \\ 6 - 16 & \overset{?}{=} & - 10 \\ - 10 & = & - 10 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$ その順序対を両方の方程式に代入して確認する： $\begin{matrix} \begin{matrix} 3 x + y & = & 5 \\ 3 \cdot 3 + (- 4) & \overset{?}{=} & 5 \\ 9 - 4 & \overset{?}{=} & 5 \\ 5 & = & 5 ✓ \end{matrix} & \begin{matrix} 2 x + 4 y & = & - 10 \\ 2 \cdot 3 + 4 (- 4) & = & - 10 \\ 6 - 16 & \overset{?}{=} & - 10 \\ - 10 & = & - 10 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$
	The solution is (3, −4). 解は(3, −4)である。

Try It (2)確認問題（2題）

In Example 5.15 it was easiest to solve for y in the first equation because it had a coefficient of 1. In Example 5.16 it will be easier to solve for x.

英語のヒント

例題5.15では、最初の方程式のyの係数が1だったので、yについて解くのが最も簡単だった。例題5.16ではxについて解くほうが簡単になる。

Example 5.16例題 5.16

Solve the system by substitution.

{\begin{matrix} x - 2 y = −2 \\ 3 x + 2 y = 34 \end{matrix}

英語のヒント

代入法で連立方程式を解け。

{\begin{matrix} x - 2 y = −2 \\ 3 x + 2 y = 34 \end{matrix}

Solution解答

We will solve the first equation for

x

and then substitute the expression into the second equation.

英語のヒント

最初の方程式を

x

について解き、その式を2つ目の方程式に代入する。


Solve for x. Substitute into the other equation. xについて解き、もう一方の方程式に代入する。
Replace the x with 2y − 2. xを2y−2に置き換える。
Solve the resulting equation for y. 得られた方程式をyについて解く。
Substitute y = 5 into x − 2y = −2 to find x. x−2y=−2にy=5を代入してxを求める。
The ordered pair is (8, 5). 順序対は(8, 5)である。
Check the ordered pair in both equations: $\begin{matrix} \begin{matrix} x - 2 y & = & - 2 \\ 8 - 2 \cdot 5 & \overset{?}{=} & - 2 \\ 8 - 10 & \overset{?}{=} & - 2 \\ - 2 & = & - 2 ✓ \end{matrix} & \begin{matrix} 3 x + 2 y & = & 34 \\ 3 \cdot 8 + 2 \cdot 5 & \overset{?}{=} & 34 \\ 24 + 10 & \overset{?}{=} & 34 \\ 34 & = & 34 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$ その順序対を両方の方程式に代入して確認する： $\begin{matrix} \begin{matrix} x - 2 y & = & - 2 \\ 8 - 2 \cdot 5 & \overset{?}{=} & - 2 \\ 8 - 10 & \overset{?}{=} & - 2 \\ - 2 & = & - 2 ✓ \end{matrix} & \begin{matrix} 3 x + 2 y & = & 34 \\ 3 \cdot 8 + 2 \cdot 5 & \overset{?}{=} & 34 \\ 24 + 10 & \overset{?}{=} & 34 \\ 34 & = & 34 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$
	The solution is (8, 5). 解は(8, 5)である。

Try It (2)確認問題（2題）

When both equations are already solved for the same variable, it is easy to substitute!

英語のヒント

両方の方程式がすでに同じ変数について解かれていれば、代入は簡単である。

Example 5.17例題 5.17

Solve the system by substitution.

{\begin{matrix} y = −2 x + 5 \\ y = \frac{1}{2} x \end{matrix}

英語のヒント

代入法で連立方程式を解け。

{\begin{matrix} y = −2 x + 5 \\ y = \frac{1}{2} x \end{matrix}

Solution解答

Since both equations are solved for y, we can substitute one into the other.

英語のヒント

両方の方程式がyについて解かれているので、一方を他方に代入できる。

Substitute $\frac{1}{2} x$ for y in the first equation. 最初の方程式のyに $\frac{1}{2} x$ を代入する。
Replace the y with $\frac{1}{2} x .$ yを $\frac{1}{2} x$ に置き換える。
Solve the resulting equation. Start by clearing the fraction. 得られた方程式を解く。まず分数をなくす。
Solve for x. xについて解く。

Substitute x = 2 into y = $\frac{1}{2} x$ to find y. y= $\frac{1}{2} x$ にx=2を代入してyを求める。
The ordered pair is (2,1). 順序対は(2, 1)である。
Check the ordered pair in both equations: $\begin{matrix} \begin{matrix} y & = & \frac{1}{2} x \\ 1 & \overset{?}{=} & \frac{1}{2} \cdot 2 \\ 1 & = & 1 ✓ \end{matrix} & \begin{matrix} y & = & - 2 x + 5 \\ 1 & \overset{?}{=} & - 2 \cdot 2 + 5 \\ 1 & = & - 4 + 5 \\ 1 & = & 1 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$ その順序対を両方の方程式に代入して確認する： $\begin{matrix} \begin{matrix} y & = & \frac{1}{2} x \\ 1 & \overset{?}{=} & \frac{1}{2} \cdot 2 \\ 1 & = & 1 ✓ \end{matrix} & \begin{matrix} y & = & - 2 x + 5 \\ 1 & \overset{?}{=} & - 2 \cdot 2 + 5 \\ 1 & = & - 4 + 5 \\ 1 & = & 1 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$
	The solution is (2,1). 解は(2, 1)である。

Try It (2)確認問題（2題）

Be very careful with the signs in the next example.

英語のヒント

次の例では、符号に十分注意しよう。

Example 5.18例題 5.18

Solve the system by substitution.

{\begin{matrix} 4 x + 2 y = 4 \\ 6 x - y = 8 \end{matrix}

英語のヒント

代入法で連立方程式を解け。

{\begin{matrix} 4 x + 2 y = 4 \\ 6 x - y = 8 \end{matrix}

Solution解答

We need to solve one equation for one variable. We will solve the first equation for y.

英語のヒント

一方の方程式を1つの変数について解く必要がある。最初の方程式をyについて解く。


Solve the first equation for y. 最初の方程式をyについて解く。
Substitute −2x + 2 for y in the second equation. 2つ目の方程式のyに−2x+2を代入する。
Replace the y with −2x + 2. yを−2x+2に置き換える。
Solve the equation for x. 方程式をxについて解く。

Substitute $x = \frac{5}{4}$ into 4x + 2y = 4 to find y. 4x+2y=4に $x = \frac{5}{4}$ を代入してyを求める。
The ordered pair is $(\frac{5}{4}, - \frac{1}{2}) .$ 順序対は $(\frac{5}{4}, - \frac{1}{2})$ である。
Check the ordered pair in both equations. $\begin{matrix} \begin{matrix} 4 x + 2 y & = & 4 \\ 4 (\frac{5}{4}) + 2 (- \frac{1}{2}) & \overset{?}{=} & 4 \\ 5 - 1 & \overset{?}{=} & 4 \\ 4 & = & 4 ✓ \end{matrix} & \begin{matrix} 6 x - y & = & 8 \\ 6 (\frac{5}{4}) - (- \frac{1}{2}) & \overset{?}{=} & 8 \\ \frac{15}{4} - (- \frac{1}{2}) & \overset{?}{=} & 8 \\ \frac{16}{2} & \overset{?}{=} & 8 \\ 8 & = & 8 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$ 両方の方程式で順序対を確認する。 $\begin{matrix} \begin{matrix} 4 x + 2 y & = & 4 \\ 4 (\frac{5}{4}) + 2 (- \frac{1}{2}) & \overset{?}{=} & 4 \\ 5 - 1 & \overset{?}{=} & 4 \\ 4 & = & 4 ✓ \end{matrix} & \begin{matrix} 6 x - y & = & 8 \\ 6 (\frac{5}{4}) - (- \frac{1}{2}) & \overset{?}{=} & 8 \\ \frac{15}{4} - (- \frac{1}{2}) & \overset{?}{=} & 8 \\ \frac{16}{2} & \overset{?}{=} & 8 \\ 8 & = & 8 ✓ \end{matrix} \end{matrix}$
	The solution is $(\frac{5}{4}, - \frac{1}{2}) .$ 解は $(\frac{5}{4}, - \frac{1}{2})$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

In Example 5.19, it will take a little more work to solve one equation for x or y.

英語のヒント

例題5.19では、一方の方程式をxかyについて解くのに、もう少し手間がかかる。

Example 5.19例題 5.19

Solve the system by substitution.

{\begin{matrix} 4 x - 3 y = 6 \\ 15 y - 20 x = −30 \end{matrix}

英語のヒント

代入法で連立方程式を解け。

{\begin{matrix} 4 x - 3 y = 6 \\ 15 y - 20 x = −30 \end{matrix}

Solution解答

We need to solve one equation for one variable. We will solve the first equation for x.

英語のヒント

一方の方程式を1つの変数について解く必要がある。最初の方程式をxについて解く。


Solve the first equation for x. 最初の方程式をxについて解く。
Substitute $\frac{3}{4} y + \frac{3}{2}$ for x in the second equation. 2つ目の方程式のxに $\frac{3}{4} y + \frac{3}{2}$ を代入する。
Replace the x with $\frac{3}{4} y + \frac{3}{2} .$ xを $\frac{3}{4} y + \frac{3}{2}$ に置き換える。
Solve for y. yについて解く。

Since 0 = 0 is a true statement, the system is consistent. The equations are dependent. The graphs of these two equations would give the same line. The system has infinitely many solutions.

英語のヒント

0=0は真なので、連立方程式は整合的である。方程式は従属している。2つの方程式のグラフは同じ直線になる。連立方程式の解は無数にある。

Try It (2)確認問題（2題）

Look back at the equations in Example 5.19. Is there any way to recognize that they are the same line?

英語のヒント

例題5.19の方程式を振り返ろう。同じ直線だと見抜く方法はあるだろうか。

Let’s see what happens in the next example.

英語のヒント

次の例では何が起きるか見よう。

Example 5.20例題 5.20

Solve the system by substitution.

{\begin{matrix} 5 x - 2 y = −10 \\ y = \frac{5}{2} x \end{matrix}

英語のヒント

代入法で連立方程式を解け。

{\begin{matrix} 5 x - 2 y = −10 \\ y = \frac{5}{2} x \end{matrix}

Solution解答

The second equation is already solved for y, so we can substitute for y in the first equation.

英語のヒント

2つ目の方程式はすでにyについて解かれているので、最初の方程式のyに代入できる。

Substitute x for y in the first equation. 最初の方程式のyにxを代入する。
Replace the y with $\frac{5}{2} x .$ yを $\frac{5}{2} x$ に置き換える。
Solve for x. xについて解く。

Since 0 = −10 is a false statement the equations are inconsistent. The graphs of the two equation would be parallel lines. The system has no solutions.

英語のヒント

0=−10は偽なので、方程式は不整合である。2つの方程式のグラフは平行な直線になる。連立方程式に解はない。

Try It (2)確認問題（2題）

第5章連立一次方程式

5.2 Solving Systems of Equations by Substitution5.2 代入法で連立方程式を解く

Learning Objectives学習目標

Solve a System of Equations by Substitution代入法で連立方程式を解く

How to Solve a System of Equations by Substitution代入法による連立方程式の解き方

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

5.2 Solving Systems of Equations by Substitution5.2　代入法で連立方程式を解く