第5章連立一次方程式

Key Concepts重要な概念

Solve a system of equations by substitution
英語のヒント
代入法で連立方程式を解く
1. Solve one of the equations for either variable.
  英語のヒント
  一方の方程式を、どちらかの変数について解く。
2. Substitute the expression from Step 1 into the other equation.
  英語のヒント
  手順1で得た式をもう一方の方程式に代入する。
3. Solve the resulting equation.
  英語のヒント
  得られた方程式を解く。
4. Substitute the solution in Step 3 into one of the original equations to find the other variable.
  英語のヒント
  手順3で得た解を元の方程式の一方に代入し、もう一方の変数の値を求める。
5. Write the solution as an ordered pair.
  英語のヒント
  解を順序対で表す。
6. Check that the ordered pair is a solution to both original equations.
  英語のヒント
  その順序対が元の両方の方程式の解であることを確認する。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 71–106練習問題 71–106

Solve a System of Equations by Substitution

英語のヒント

代入法で連立方程式を解く

In the following exercises, solve the systems of equations by substitution.

英語のヒント

次の各問では、代入法で連立方程式を解け。

Exercise 71問題 71

{\begin{matrix} 2 x + y = −4 \\ 3 x - 2 y = −6 \end{matrix}

Solution解き方

(−2, 0)

Exercise 72問題 72

{\begin{matrix} 2 x + y = −2 \\ 3 x - y = 7 \end{matrix}

Exercise 73問題 73

{\begin{matrix} x - 2 y = −5 \\ 2 x - 3 y = −4 \end{matrix}

Solution解き方

(7, 6)

Exercise 74問題 74

{\begin{matrix} x - 3 y = −9 \\ 2 x + 5 y = 4 \end{matrix}

Exercise 75問題 75

{\begin{matrix} 5 x - 2 y = −6 \\ y = 3 x + 3 \end{matrix}

Solution解き方

(0, 3)

Exercise 76問題 76

{\begin{matrix} −2 x + 2 y = 6 \\ y = −3 x + 1 \end{matrix}

Exercise 77問題 77

{\begin{matrix} 2 x + 3 y = 3 \\ y = − x + 3 \end{matrix}

Solution解き方

(6, −3)

Exercise 78問題 78

{\begin{matrix} 2 x + 5 y = −14 \\ y = −2 x + 2 \end{matrix}

Exercise 79問題 79

{\begin{matrix} 2 x + 5 y = 1 \\ y = \frac{1}{3} x - 2 \end{matrix}

Solution解き方

(3, −1)

Exercise 80問題 80

{\begin{matrix} 3 x + 4 y = 1 \\ y = - \frac{2}{5} x + 2 \end{matrix}

Exercise 81問題 81

{\begin{matrix} 3 x - 2 y = 6 \\ y = \frac{2}{3} x + 2 \end{matrix}

Solution解き方

(6, 6)

Exercise 82問題 82

{\begin{matrix} −3 x - 5 y = 3 \\ y = \frac{1}{2} x - 5 \end{matrix}

Exercise 83問題 83

{\begin{matrix} 2 x + y = 10 \\ - x + y = −5 \end{matrix}

Solution解き方

(5, 0)

Exercise 84問題 84

{\begin{matrix} −2 x + y = 10 \\ - x + 2 y = 16 \end{matrix}

Exercise 85問題 85

{\begin{matrix} 3 x + y = 1 \\ −4 x + y = 15 \end{matrix}

Solution解き方

(−2, 7)

Exercise 86問題 86

{\begin{matrix} x + y = 0 \\ 2 x + 3 y = −4 \end{matrix}

Exercise 87問題 87

{\begin{matrix} x + 3 y = 1 \\ 3 x + 5 y = −5 \end{matrix}

Solution解き方

(−5, 2)

Exercise 88問題 88

{\begin{matrix} x + 2 y = −1 \\ 2 x + 3 y = 1 \end{matrix}

Exercise 89問題 89

{\begin{matrix} 2 x + y = 5 \\ x - 2 y = −15 \end{matrix}

Solution解き方

(−1, 7)

Exercise 90問題 90

{\begin{matrix} 4 x + y = 10 \\ x - 2 y = −20 \end{matrix}

Exercise 91問題 91

{\begin{matrix} y = −2 x - 1 \\ y = - \frac{1}{3} x + 4 \end{matrix}

Solution解き方

(−3, 5)

Exercise 92問題 92

{\begin{matrix} y = x - 6 \\ y = - \frac{3}{2} x + 4 \end{matrix}

Exercise 93問題 93

{\begin{matrix} y = 2 x - 8 \\ y = \frac{3}{5} x + 6 \end{matrix}

Solution解き方

(10, 12)

Exercise 94問題 94

{\begin{matrix} y = − x - 1 \\ y = x + 7 \end{matrix}

Exercise 95問題 95

{\begin{matrix} 4 x + 2 y = 8 \\ 8 x - y = 1 \end{matrix}

Solution解き方

(\frac{1}{2}, 3)

Exercise 96問題 96

{\begin{matrix} - x - 12 y = −1 \\ 2 x - 8 y = −6 \end{matrix}

Exercise 97問題 97

{\begin{matrix} 15 x + 2 y = 6 \\ −5 x + 2 y = −4 \end{matrix}

Solution解き方

(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})

Exercise 98問題 98

{\begin{matrix} 2 x - 15 y = 7 \\ 12 x + 2 y = −4 \end{matrix}

Exercise 99問題 99

{\begin{matrix} y = 3 x \\ 6 x - 2 y = 0 \end{matrix}

Solution解き方

Infinitely many solutions

英語のヒント

無数の解。

Exercise 100問題 100

{\begin{matrix} x = 2 y \\ 4 x - 8 y = 0 \end{matrix}

Exercise 101問題 101

{\begin{matrix} 2 x + 16 y = 8 \\ - x - 8 y = −4 \end{matrix}

Solution解き方

Infinitely many solutions

英語のヒント

無数の解。

Exercise 102問題 102

{\begin{matrix} 15 x + 4 y = 6 \\ −30 x - 8 y = −12 \end{matrix}

Exercise 103問題 103

{\begin{matrix} y = −4 x \\ 4 x + y = 1 \end{matrix}

Solution解き方

No solution

英語のヒント

解なし

Exercise 104問題 104

{\begin{matrix} y = - \frac{1}{4} x \\ x + 4 y = 8 \end{matrix}

Exercise 105問題 105

{\begin{matrix} y = \frac{7}{8} x + 4 \\ −7 x + 8 y = 6 \end{matrix}

Solution解き方

No solution

英語のヒント

解なし

Exercise 106問題 106

{\begin{matrix} y = - \frac{2}{3} x + 5 \\ 2 x + 3 y = 11 \end{matrix}

Exercises 107–121練習問題 107–121

Solve Applications of Systems of Equations by Substitution

英語のヒント

代入法で連立方程式の応用問題を解く

In the following exercises, translate to a system of equations and solve.

英語のヒント

以下の問題では、連立方程式に表して解け。

Exercise 107問題 107

The sum of two numbers is 15. One number is 3 less than the other. Find the numbers.

英語のヒント

2つの数の和は15である。一方は他方より3小さい。2つの数を求めよ。

Solution解き方

The numbers are 6 and 9.

英語のヒント

2つの数は6と9である。

Exercise 108問題 108

The sum of two numbers is 30. One number is 4 less than the other. Find the numbers.

英語のヒント

2つの数の和は30である。一方は他方より4小さい。2つの数を求めよ。

Exercise 109問題 109

The sum of two numbers is −26. One number is 12 less than the other. Find the numbers.

英語のヒント

2つの数の和は−26である。一方は他方より12小さい。2つの数を求めよ。

Solution解き方

The numbers are −7 and −19.

英語のヒント

2つの数は−7と−19である。

Exercise 110問題 110

The perimeter of a rectangle is 50. The length is 5 more than the width. Find the length and width.

英語のヒント

長方形の周の長さは50である。長さは幅より5長い。長さと幅を求めよ。

Exercise 111問題 111

The perimeter of a rectangle is 60. The length is 10 more than the width. Find the length and width.

英語のヒント

長方形の周の長さは60である。長さは幅より10長い。長さと幅を求めよ。

Solution解き方

The length is 20 and the width is 10.

英語のヒント

長さは20、幅は10である。

Exercise 112問題 112

The perimeter of a rectangle is 58. The length is 5 more than three times the width. Find the length and width.

英語のヒント

長方形の周の長さは58である。長さは幅の3倍より5長い。長さと幅を求めよ。

Exercise 113問題 113

The perimeter of a rectangle is 84. The length is 10 more than three times the width. Find the length and width.

英語のヒント

長方形の周の長さは84である。長さは幅の3倍より10長い。長さと幅を求めよ。

Solution解き方

The length is 34 and the width is 8.

英語のヒント

長さは34、幅は8である。

Exercise 114問題 114

The measure of one of the small angles of a right triangle is 14 more than 3 times the measure of the other small angle. Find the measure of both angles.

英語のヒント

直角三角形の小さい角の一方は、もう一方の3倍より14大きい。両方の角の大きさを求めよ。

Exercise 115問題 115

The measure of one of the small angles of a right triangle is 26 more than 3 times the measure of the other small angle. Find the measure of both angles.

英語のヒント

直角三角形の小さい角の一方は、もう一方の3倍より26大きい。両方の角の大きさを求めよ。

Solution解き方

The measures are 16° and 74°.

英語のヒント

大きさは16°と74°である。

Exercise 116問題 116

The measure of one of the small angles of a right triangle is 15 less than twice the measure of the other small angle. Find the measure of both angles.

英語のヒント

直角三角形の小さい角の一方は、もう一方の2倍より15小さい。両方の角の大きさを求めよ。

Exercise 117問題 117

The measure of one of the small angles of a right triangle is 45 less than twice the measure of the other small angle. Find the measure of both angles.

英語のヒント

直角三角形の小さい角の一方は、もう一方の2倍より45小さい。両方の角の大きさを求めよ。

Solution解き方

The measures are 45° and 45°.

英語のヒント

大きさは45°と45°である。

Exercise 118問題 118

Maxim has been offered positions by two car dealers. The first company pays a salary of $10,000 plus a commission of $1,000 for each car sold. The second pays a salary of $20,000 plus a commission of $500 for each car sold. How many cars would need to be sold to make the total pay the same?

英語のヒント

マキシムは2つの自動車販売店から仕事を提示された。1社目は給与10,000ドルに販売1台あたり歩合1,000ドル、2社目は給与20,000ドルに販売1台あたり歩合500ドルを加えた額を払う。総給与が同じになるには何台売る必要があるか。

Exercise 119問題 119

Jackie has been offered positions by two cable companies. The first company pays a salary of $ 14,000 plus a commission of $100 for each cable package sold. The second pays a salary of $20,000 plus a commission of $25 for each cable package sold. How many cable packages would need to be sold to make the total pay the same?

英語のヒント

ジャッキーは2つのケーブルテレビ会社から仕事を提示された。1社目は給与14,000ドルに販売契約1件あたり歩合100ドル、2社目は給与20,000ドルに販売契約1件あたり歩合25ドルを加えた額を払う。総給与が同じになるには何件契約を売る必要があるか。

Solution解き方

80 cable packages would need to be sold.

英語のヒント

ケーブルテレビの契約を80件売る必要がある。

Exercise 120問題 120

Amara currently sells televisions for company A at a salary of $17,000 plus a $100 commission for each television she sells. Company B offers her a position with a salary of $29,000 plus a $20 commission for each television she sells. How many televisions would Amara need to sell for the options to be equal?

英語のヒント

アマラは現在A社でテレビを販売し、給与17,000ドルに1台あたり歩合100ドルを加えた額を得ている。B社から給与29,000ドルに1台あたり歩合20ドルを加えた仕事を提示された。両方が等しくなるには何台売る必要があるか。

Exercise 121問題 121

Mitchell currently sells stoves for company A at a salary of $12,000 plus a $150 commission for each stove he sells. Company B offers him a position with a salary of $24,000 plus a $50 commission for each stove he sells. How many stoves would Mitchell need to sell for the options to be equal?

英語のヒント

ミッチェルは現在A社で調理用コンロを販売し、給与12,000ドルに1台あたり歩合150ドルを加えた額を得ている。B社から給与24,000ドルに1台あたり歩合50ドルを加えた仕事を提示された。両方が等しくなるには何台売る必要があるか。

Solution解き方

Mitchell would need to sell 120 stoves.

英語のヒント

ミッチェルはコンロを120台売る必要がある。