第5章連立一次方程式

5.5 Solve Mixture Applications with Systems of Equations5.5　連立方程式で混合の応用問題を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

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この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve mixture applications
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混合の応用問題を解く
Solve interest applications
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利息の応用問題を解く

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Solve Mixture Applications混合の応用問題を解く

When we solved mixture applications with coins and tickets earlier, we started by creating a table so we could organize the information. For a coin example with nickels and dimes, the table looked like this:

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以前、硬貨と切符の混合の応用問題を解いたとき、情報を整理する表をまず作った。5セント硬貨と10セント硬貨の例では、表は次のようになった。

3行4列の表。見出し行の各セルに下の列の名前がある。左端は「種類」。次のセルには「枚数×額面＝総額」という式があり、それぞれに1列ずつ対応する。つまり枚数の列と額面の列の内容を掛けると総額の列になる。2行目は種類が5セント硬貨、枚数は空欄、額面は0.05、総額は空欄。3行目は10セント硬貨、枚数は空欄、額面は0.10、総額は空欄。

Using one variable meant that we had to relate the number of nickels and the number of dimes. We had to decide if we were going to let n be the number of nickels and then write the number of dimes in terms of n, or if we would let d be the number of dimes and write the number of nickels in terms of d.

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変数を1つだけ使うには、5セント硬貨と10セント硬貨の枚数を関係付ける必要があった。5セント硬貨の枚数をnとして10セント硬貨をnで表すか、10セント硬貨の枚数をdとして5セント硬貨をdで表すか、決める必要があった。

Now that we know how to solve systems of equations with two variables, we’ll just let n be the number of nickels and d be the number of dimes. We’ll write one equation based on the total value column, like we did before, and the other equation will come from the number column.

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2変数の連立方程式を解けるようになったので、5セント硬貨の枚数をn、10セント硬貨の枚数をdとするだけでよい。これまでどおり総額の列から1つの方程式を書き、もう1つは枚数の列から得る。

For the first example, we’ll do a ticket problem where the ticket prices are in whole dollars, so we won’t need to use decimals just yet.

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最初の例では切符の価格が整数ドルの問題を扱うので、まだ小数を使う必要はない。

Example 5.45例題 5.45

Translate to a system of equations and solve:

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連立方程式に表して解け：

The box office at a movie theater sold 147 tickets for the evening show, and receipts totaled $1,302. How many $11 adult and how many $8 child tickets were sold?

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映画館の切符売り場では夜の回の切符147枚が売れ、売上は合計1,302ドルだった。11ドルの大人用と8ドルの子ども用はそれぞれ何枚売れたか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。	We will create a table to organize the information. 情報を整理するために表を作る。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	We are looking for the number of adult tickets and the number of child tickets sold. 売れた大人用と子ども用の切符の枚数を求める。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。	Let $a =$ the number of adult tickets. $c =$ the number of child tickets $a =$ 大人用切符の枚数、 $c =$ 子ども用切符の枚数、とする。
A table will help us organize the data. We have two types of tickets: adult and child. 表を使うとデータを整理しやすい。切符は大人用と子ども用の2種類である。	Write a and c for the number of tickets. 枚数にaとcを書く。
Write the total number of tickets sold at the bottom of the Number column. 枚数の列の下に、売れた切符の総枚数を書く。	Altogether 147 were sold. 全部で147枚売れた。
Write the value of each type of ticket in the Value column. 単価の列に各種類の切符の価格を書く。	The value of each adult ticket is $11. The value of each child tickets is $8. 大人用は1枚11ドル、子ども用は1枚8ドルである。
The number times the value gives the total value, so the total value of adult tickets is $a \cdot 11 = 11 a$ , and the total value of child tickets is $c \cdot 8 = 8 c .$ 枚数と単価の積が総額なので、大人用の総額は $a \cdot 11 = 11 a$ 、子ども用の総額は $c \cdot 8 = 8 c$ である。
Altogether the total value of the tickets was $1,302. 切符の総額は合わせて1,302ドルだった。	Fill in the Total Value column. 総額の列を埋める。
Step 4. Translate into a system of equations. 手順4．連立方程式に表す。
The Number column and the Total Value column give us the system of equations. We will use the elimination method to solve this system. 枚数と総額の列から連立方程式が得られる。加減法で解く。
Multiply the first equation by −8. 最初の方程式に−8を掛ける。
Simplify and add, then solve for a. 簡単にして足し、aを求める。

Substitute a = 42 into the first equation, then solve for c. 最初の方程式にa=42を代入してcを求める。

Step 5. Check the answer in the problem. 42 adult tickets at $11 per ticket makes $462 105 child tickets at $8 per ticket makes $840. The total receipts are $1,302.✓ 手順5．答えを問題に戻して確かめる。大人用42枚×1枚11ドル＝462ドル。子ども用105枚×1枚8ドル＝840ドル。売上の合計は1,302ドル。✓
Step 6. Answer the question. 手順6．問題に答える。	The movie theater sold 42 adult tickets and 105 child tickets. 映画館では大人用42枚と子ども用105枚が売れた。

Try It (2)確認問題（2題）

In Example 5.46 we’ll solve a coin problem. Now that we know how to work with systems of two variables, naming the variables in the ‘number’ column will be easy.

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例題5.46では硬貨の問題を解く。2変数の連立方程式を扱えるので、枚数の列の変数を名付けるのは簡単である。

Example 5.46例題 5.46

Translate to a system of equations and solve:

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連立方程式に表して解け：

Priam has a collection of nickels and quarters, with a total value of $7.30. The number of nickels is six less than three times the number of quarters. How many nickels and how many quarters does he have?

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プリアムは5セント硬貨と25セント硬貨を集めており、総額は7.30ドルである。5セント硬貨の枚数は25セント硬貨の3倍より6枚少ない。それぞれ何枚持っているか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。	We will create a table to organize the information. 情報を整理するために表を作る。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	We are looking for the number of nickels and the number of quarters. 5セント硬貨と25セント硬貨の枚数を求める。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。	Let $n =$ the number of nickels. $q =$ the number of quarters $n =$ 5セント硬貨の枚数、 $q =$ 25セント硬貨の枚数、とする。
A table will help us organize the data. We have two types of coins, nickels and quarters. 表を使うとデータを整理しやすい。硬貨は5セントと25セントの2種類である。	Write n and q for the number of each type of coin. 各種類の硬貨の枚数にnとqを書く。
Fill in the Value column with the value of each type of coin. 額面の列に各種類の硬貨の額を書く。	The value of each nickel is $0.05. The value of each quarter is $0.25. 5セント硬貨1枚は0.05ドル、25セント硬貨1枚は0.25ドルである。
The number times the value gives the total value, so, the total value of the nickels is n (0.05) = 0.05n and the total value of quarters is q(0.25) = 0.25q. Altogether the total value of the coins is $7.30. 枚数と額面の積が総額なので、5セント硬貨の総額はn(0.05)=0.05n、25セント硬貨の総額はq(0.25)=0.25qである。硬貨の総額は合わせて7.30ドルである。
Step 4. Translate into a system of equations. 手順4．連立方程式に表す。
The Total value column gives one equation. 総額の列から1つの方程式が得られる。
We also know the number of nickels is six less than three times the number of quarters. Translate to get the second equation. 5セント硬貨の枚数は25セント硬貨の3倍より6枚少ないことも分かっている。数式に表して2つ目の方程式を得る。
Now we have the system to solve. 解くべき連立方程式が得られた。
Step 5. Solve the system of equations We will use the substitution method. Substitute n = 3q − 6 into the first equation. Simplify and solve for q. 手順5．代入法で連立方程式を解く。最初の方程式にn=3q−6を代入する。簡単にしてqを求める。





To find the number of nickels, substitute q = 19 into the second equation. 5セント硬貨の枚数を求めるため、2つ目の方程式にq=19を代入する。


Step 6. Check the answer in the problem. $\begin{matrix} 19 quarters at $ 0.25 & = & $ 4.75 \\ 51 nickels at $ 0.05 & = & $ 2.55 \\ Total & = & $ 7.30 ✓ \\ 3 \cdot 19 - 16 & = & 51 ✓ \end{matrix}$ 手順6．答えを問題に戻して確認する。 $\begin{matrix} 19 枚の25セント硬貨、1枚当たり $ 0.25 & = & $ 4.75 \\ 51 枚の5セント硬貨、1枚当たり $ 0.05 & = & $ 2.55 \\ 合計 & = & $ 7.30 ✓ \\ 3 \cdot 19 - 16 & = & 51 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	Priam has 19 quarters and 51 nickels. プリアムは25セント硬貨19枚と5セント硬貨51枚を持っている。

Try It (2)確認問題（2題）

Some mixture applications involve combining foods or drinks. Example situations might include combining raisins and nuts to make a trail mix or using two types of coffee beans to make a blend.

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混合の応用問題には、食べ物や飲み物を混ぜるものもある。例えば、レーズンとナッツを混ぜてトレイルミックスを作る場合や、2種類のコーヒー豆をブレンドする場合である。

Example 5.47例題 5.47

Translate to a system of equations and solve:

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連立方程式に表して解け：

Carson wants to make 20 pounds of trail mix using nuts and chocolate chips. His budget requires that the trail mix costs him $7.60 per pound. Nuts cost $9.00 per pound and chocolate chips cost $2.00 per pound. How many pounds of nuts and how many pounds of chocolate chips should he use?

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カーソンはナッツとチョコチップでトレイルミックスを20ポンド作りたい。予算上、原価を1ポンド7.60ドルにする必要がある。ナッツは1ポンド9.00ドル、チョコチップは1ポンド2.00ドルである。それぞれ何ポンド使えばよいか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。	We will create a table to organize the information. 情報を整理するために表を作る。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	We are looking for the number of pounds of nuts and the number of pounds of chocolate chips. ナッツとチョコチップのポンド数を求める。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。	Let $n =$ the number of pound of nuts. $c =$ the number of pounds of chips $n =$ ナッツのポンド数、 $c =$ チョコチップのポンド数、とする。
Carson will mix nuts and chocolate chips to get trail mix. Write in n and c for the number of pounds of nuts and chocolate chips. There will be 20 pounds of trail mix. Put the price per pound of each item in the Value column. Fill in the last column using カーソンはナッツとチョコチップを混ぜてトレイルミックスを作る。それぞれのポンド数にnとcを書く。ミックスは20ポンドになる。単価の列に各材料の1ポンドあたりの価格を書く。最後の列は次の式で埋める。
Number · Value = Total Value 量×単価＝総額
Step 4. Translate into a system of equations. We get the equations from the Number and Total Value columns. 手順4．連立方程式に表す。量と総額の列から方程式を得る。
Step 5. Solve the system of equations We will use elimination to solve the system. 手順5．加減法で連立方程式を解く。
Multiply the first equation by −2 to eliminate c. 最初の方程式に−2を掛け、cを消去する。
Simplify and add. Solve for n. 簡単にして足し、nを求める。

To find the number of pounds of chocolate chips, substitute n = 16 into the first equation, then solve for c. チョコチップのポンド数を求めるため、最初の方程式にn=16を代入してcを求める。
	$c = 4$
Step 6. Check the answer in the problem. $\begin{matrix} 16 + 4 & = & 20 ✓ \\ 9 \cdot 16 + 2 \cdot 4 & = & 152 ✓ \end{matrix}$ 手順6．答えを問題に戻して確認する。 $\begin{matrix} 16 + 4 & = & 20 ✓ \\ 9 \cdot 16 + 2 \cdot 4 & = & 152 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	Carson should mix 16 pounds of nuts with 4 pounds of chocolate chips to create the trail mix. カーソンはナッツ16ポンドとチョコチップ4ポンドを混ぜればよい。

Try It (2)確認問題（2題）

Question 1問題 1

Translate to a system of equations and solve:

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連立方程式に表して解け：

Greta wants to make 5 pounds of a nut mix using peanuts and cashews. Her budget requires the mixture to cost her $6 per pound. Peanuts are $4 per pound and cashews are $9 per pound. How many pounds of peanuts and how many pounds of cashews should she use?

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グレタはピーナッツとカシューナッツで5ポンドのミックスナッツを作りたい。予算上、原価を1ポンド6ドルにする必要がある。ピーナッツは1ポンド4ドル、カシューナッツは1ポンド9ドルである。それぞれ何ポンド使えばよいか。

Solution解答

Greta should use 3 pounds of peanuts and 2 pounds of cashews.

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グレタはピーナッツ3ポンドとカシューナッツ2ポンドを使えばよい。

Question 2問題 2

Translate to a system of equations and solve:

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連立方程式に表して解け：

Sammy has most of the ingredients he needs to make a large batch of chili. The only items he lacks are beans and ground beef. He needs a total of 20 pounds combined of beans and ground beef and has a budget of $3 per pound. The price of beans is $1 per pound and the price of ground beef is $5 per pound. How many pounds of beans and how many pounds of ground beef should he purchase?

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サミーは大量のチリを作る材料の大半を持っているが、豆と牛ひき肉が足りない。この2つを合わせて20ポンド必要とし、予算は1ポンド3ドルである。豆は1ポンド1ドル、牛ひき肉は1ポンド5ドルである。それぞれ何ポンド買えばよいか。

Solution解答

Sammy should purchase 10 pounds of beans and 10 pounds of ground beef.

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サミーは豆10ポンドと牛ひき肉10ポンドを買えばよい。

Another application of mixture problems relates to concentrated cleaning supplies, other chemicals, and mixed drinks. The concentration is given as a percent. For example, a 20% concentrated household cleanser means that 20% of the total amount is cleanser, and the rest is water. To make 35 ounces of a 20% concentration, you mix 7 ounces (20% of 35) of the cleanser with 28 ounces of water.

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混合の問題の別の応用には、濃縮洗剤、その他の薬品、飲み物の混合がある。濃度はパーセントで与えられる。例えば濃度20%の家庭用洗剤では、全体の20%が洗剤成分で、残りが水である。濃度20%の液体を35オンス作るには、洗剤成分7オンス（35の20%）と水28オンスを混ぜる。

For these kinds of mixture problems, we’ll use percent instead of value for one of the columns in our table.

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この種の問題では、表の単価の列をパーセントに置き換える。

Example 5.48例題 5.48

Translate to a system of equations and solve:

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連立方程式に表して解け：

Sasheena is a lab assistant at her community college. She needs to make 200 milliliters of a 40% solution of sulfuric acid for a lab experiment. The lab has only 25% and 50% solutions in the storeroom. How much should she mix of the 25% and the 50% solutions to make the 40% solution?

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サシーナはコミュニティカレッジの実験助手である。実験用に40%の硫酸水溶液を200ミリリットル作る必要がある。実験室の保管庫には25%と50%の溶液しかない。40%にするにはそれぞれどれだけ混ぜればよいか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。	A figure may help us visualize the situation, then we will create a table to organize the information. 図で状況を思い描いてから、表を作って情報を整理する。
Sasheena must mix some of the 25% solution and some of the 50% solution together to get 200 ml of the 40% solution. サシーナは25%の溶液と50%の溶液を混ぜ、40%の溶液を200ml得る必要がある。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	We are looking for how much of each solution she needs. 各溶液がどれだけ必要か求める。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。	Let $x =$ number of ml of 25% solution. $y =$ number of ml of 50% solution $x =$ 25%の溶液のミリリットル数、 $y =$ 50%の溶液のミリリットル数、とする。
A table will help us organize the data. She will mix x ml of 25% with y ml of 50% to get 200 ml of 40% solution. We write the percents as decimals in the chart. We multiply the number of units times the concentration to get the total amount of sulfuric acid in each solution. 表を使うとデータを整理しやすい。25%の溶液xmlと50%の溶液ymlを混ぜて40%の溶液200mlを作る。表ではパーセントを小数で書く。量に濃度を掛けて、各溶液中の硫酸の総量を求める。
Step 4. Translate into a system of equations. We get the equations from the Number column and the Amount column. 手順4．連立方程式に表す。単位数と成分量の列から方程式を得る。
Now we have the system. 連立方程式が得られた。
Step 5. Solve the system of equations. We will solve the system by elimination. Multiply the first equation by −0.5 to eliminate y. 手順5．加減法で連立方程式を解く。最初の方程式に−0.5を掛けてyを消去する。
Simplify and add to solve for x. 簡単にして足し、xを求める。
To solve for y, substitute x = 80 into the first equation. yを求めるため、最初の方程式にx=80を代入する。


Step 6. Check the answer in the problem. $\begin{matrix} 80 + 120 & = & 120 ✓ \\ 0.25 (80) + 0.50 (120) & = & 80 ✓ \\ Yes! \end{matrix}$ 手順6．答えを問題に戻して確認する。 $\begin{matrix} 80 + 120 & = & 120 ✓ \\ 0.25 (80) + 0.50 (120) & = & 80 ✓ \\ 成り立つ。 \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	Sasheena should mix 80 ml of the 25% solution with 120 ml of the 50% solution to get the 200 ml of the 40% solution. サシーナは25%の溶液80mlと50%の溶液120mlを混ぜ、40%の溶液200mlを得ればよい。

Try It (2)確認問題（2題）

Question 2問題 2

Translate to a system of equations and solve:

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連立方程式に表して解け：

Anatole needs to make 250 milliliters of a 25% solution of hydrochloric acid for a lab experiment. The lab only has a 10% solution and a 40% solution in the storeroom. How much of the 10% and how much of the 40% solutions should he mix to make the 25% solution?

英語のヒント

アナトールは実験用に25%の塩酸水溶液250ミリリットルを作る必要がある。保管庫には10%と40%の溶液しかない。25%にするにはそれぞれどれだけ混ぜればよいか。

Solution解答

Anatole should mix 125 ml of the 10% solution and 125 ml of the 40% solution.

英語のヒント

アナトールは10%の溶液125mlと40%の溶液125mlを混ぜればよい。

第5章連立一次方程式

5.5 Solve Mixture Applications with Systems of Equations5.5 連立方程式で混合の応用問題を解く

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Solve Mixture Applications混合の応用問題を解く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

5.5 Solve Mixture Applications with Systems of Equations5.5　連立方程式で混合の応用問題を解く