第5章連立一次方程式

Key Concepts重要な概念

To Solve a System of Linear Inequalities by Graphing
英語のヒント
グラフを使って連立一次不等式を解くには
1. Graph the first inequality.
  英語のヒント
  第1の不等式を図示する。
  - Graph the boundary line.
    英語のヒント
    境界線のグラフをかく。
  - Shade in the side of the boundary line where the inequality is true.
    英語のヒント
    境界線の、不等式が成り立つ側の領域を塗る。
2. On the same grid, graph the second inequality.
  英語のヒント
  同じ座標平面に第2の不等式を図示する。
  - Graph the boundary line.
    英語のヒント
    境界線のグラフをかく。
  - Shade in the side of that boundary line where the inequality is true.
    英語のヒント
    その境界線の、不等式が成り立つ側の領域を塗る。
3. The solution is the region where the shading overlaps.
  英語のヒント
  塗られた部分が重なる領域が解である。
4. Check by choosing a test point.
  英語のヒント
  検査点を選んで確かめる。

Section Exercises節の練習問題

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 275–282練習問題 275–282

Determine Whether an Ordered Pair is a Solution of a System of Linear Inequalities

英語のヒント

順序対が連立一次不等式の解かどうかを調べる

In the following exercises, determine whether each ordered pair is a solution to the system.

英語のヒント

次の各問題で、それぞれの順序対が連立不等式の解かどうかを判断せよ。

Exercise 275問題 275

{\begin{matrix} 3 x + y > 5 \\ 2 x - y \leq 10 \end{matrix}

ⓐ

(3, −3)

ⓑ

(7, 1)

Solution解き方

ⓐ true ⓑ false

ⓐ 真　ⓑ 偽

Exercise 276問題 276

{\begin{matrix} 4 x - y < 10 \\ −2 x + 2 y > −8 \end{matrix}

ⓐ

(5, −2)

ⓑ

(−1, 3)

Exercise 277問題 277

{\begin{matrix} y > \frac{2}{3} x - 5 \\ x + \frac{1}{2} y \leq 4 \end{matrix}

ⓐ

(6, −4)

ⓑ

(3, 0)

Solution解き方

ⓐ false ⓑ true

ⓐ 偽　ⓑ 真

Exercise 278問題 278

{\begin{matrix} y < \frac{3}{2} x + 3 \\ \frac{3}{4} x - 2 y < 5 \end{matrix}

ⓐ

(−4, −1)

ⓑ

(8, 3)

Exercise 279問題 279

{\begin{matrix} 7 x + 2 y > 14 \\ 5 x - y \leq 8 \end{matrix}

ⓐ

(2, 3)

ⓑ

(7, −1)

Solution解き方

ⓐ true ⓑ false

ⓐ 真　ⓑ 偽

Exercise 280問題 280

{\begin{matrix} 6 x - 5 y < 20 \\ −2 x + 7 y > −8 \end{matrix}

ⓐ

(1, −3)

ⓑ

(−4, 4)

Exercise 281問題 281

{\begin{matrix} 2 x + 3 y \geq 2 \\ 4 x - 6 y < −1 \end{matrix}

ⓐ

(\frac{3}{2}, \frac{4}{3})

ⓑ

(\frac{1}{4}, \frac{7}{6})

Solution解き方

ⓐ true ⓑ true

ⓐ 真　ⓑ 真

Exercise 282問題 282

{\begin{matrix} 5 x - 3 y < −2 \\ 10 x + 6 y > 4 \end{matrix}

ⓐ

(\frac{1}{5}, \frac{2}{3})

ⓑ

(- \frac{3}{10}, \frac{7}{6})

Exercises 283–314練習問題 283–314

Solve a System of Linear Inequalities by Graphing

英語のヒント

グラフを使って連立一次不等式を解く

In the following exercises, solve each system by graphing.

英語のヒント

次の各問題で、グラフを使って連立不等式を解け。

Exercise 283問題 283

{\begin{matrix} y \leq 3 x + 2 \\ y > x - 1 \end{matrix}

Solution解き方

x-y座標平面上のy≦3x＋2とy＞x−1のグラフ。各直線の左側または右側が異なる色で塗られ、重なる領域も別の色になっている。両方の直線は点線である。

Exercise 284問題 284

{\begin{matrix} y < −2 x + 2 \\ y \geq - x - 1 \end{matrix}

Exercise 285問題 285

{\begin{matrix} y < 2 x - 1 \\ y \leq - \frac{1}{2} x + 4 \end{matrix}

Solution解き方

x-y座標平面上のy＜2x−1とy≦−（1/2）x＋4のグラフ。各直線の左側または下側が異なる色で塗られ、重なる領域も別の色になっている。一方の直線は点線である。

Exercise 286問題 286

{\begin{matrix} y \geq - \frac{2}{3} x + 2 \\ y > 2 x - 3 \end{matrix}

Exercise 287問題 287

{\begin{matrix} x - y > 1 \\ y < - \frac{1}{4} x + 3 \end{matrix}

Solution解き方

x-y座標平面上のx−y＞1とy＜−（1/4）x＋3のグラフ。各直線の右側または下側が異なる色で塗られ、重なる領域も別の色になっている。両方の直線は点線である。

Exercise 288問題 288

{\begin{matrix} x + 2 y < 4 \\ y < x - 2 \end{matrix}

Exercise 289問題 289

{\begin{matrix} 3 x - y \leq 6 \\ y \geq - \frac{1}{2} x \end{matrix}

Solution解き方

x-y座標平面上の3x−y≦6とy≧−（1/2）xのグラフ。各直線の右側または上側が異なる色で塗られ、重なる領域も別の色になっている。

Exercise 290問題 290

{\begin{matrix} 2 x + 4 y \geq 8 \\ y \leq \frac{3}{4} x \end{matrix}

Exercise 291問題 291

{\begin{matrix} 2 x - 5 y < 10 \\ 3 x + 4 y \geq 12 \end{matrix}

Solution解き方

x-y座標平面上の2x−5y＜10と3x＋4y≧12のグラフ。各直線の右上側が異なる色で塗られ、重なる領域も別の色になっている。一方の直線は点線である。

Exercise 292問題 292

{\begin{matrix} 3 x - 2 y \leq 6 \\ −4 x - 2 y > 8 \end{matrix}

Exercise 293問題 293

{\begin{matrix} 2 x + 2 y > −4 \\ - x + 3 y \geq 9 \end{matrix}

Solution解き方

x-y座標平面上の2x＋2y＞−4と−x＋3y≧9のグラフ。各直線の右側または上側が異なる色で塗られ、重なる領域も別の色になっている。一方の直線は点線である。

Exercise 294問題 294

{\begin{matrix} 2 x + y > −6 \\ - x + 2 y \geq −4 \end{matrix}

Exercise 295問題 295

{\begin{matrix} x - 2 y < 3 \\ y \leq 1 \end{matrix}

Solution解き方

x-y座標平面上のx−2y＜3とy≦1のグラフ。各直線の左側または下側が異なる色で塗られ、重なる領域も別の色になっている。一方の直線は点線である。

Exercise 296問題 296

{\begin{matrix} x - 3 y > 4 \\ y \leq - 1 \end{matrix}

Exercise 297問題 297

{\begin{matrix} y \geq - \frac{1}{2} x - 3 \\ x \leq 2 \end{matrix}

Solution解き方

x-y座標平面上のy≧（−1/2）x−3とx≦2のグラフ。各直線の左側または右側が異なる色で塗られ、重なる領域も別の色になっている。

Exercise 298問題 298

{\begin{matrix} y \leq - \frac{2}{3} x + 5 \\ x \geq 3 \end{matrix}

Exercise 299問題 299

{\begin{matrix} y \geq \frac{3}{4} x - 2 \\ y < 2 \end{matrix}

Solution解き方

x-y座標平面上のy≧（3/4）x−2とy＜2のグラフ。各直線の左側または下側が異なる色で塗られ、重なる領域も別の色になっている。一方の直線は点線である。

Exercise 300問題 300

{\begin{matrix} y \leq - \frac{1}{2} x + 3 \\ y < 1 \end{matrix}

Exercise 301問題 301

{\begin{matrix} 3 x - 4 y < 8 \\ x < 1 \end{matrix}

Solution解き方

x-y座標平面上の3x−4y＜8とx＜1のグラフ。各直線の左側が異なる色で塗られ、重なる領域も別の色になっている。両方の直線は点線である。

Exercise 302問題 302

{\begin{matrix} −3 x + 5 y > 10 \\ x > −1 \end{matrix}

Exercise 303問題 303

{\begin{matrix} x \geq 3 \\ y \leq 2 \end{matrix}

Solution解き方

x-y座標平面上のx≧3とy≦2のグラフ。各直線の右側または下側が異なる色で塗られ、重なる領域も別の色になっている。

Exercise 304問題 304

{\begin{matrix} x \leq - 1 \\ y \geq 3 \end{matrix}

Exercise 305問題 305

{\begin{matrix} 2 x + 4 y > 4 \\ y \leq - \frac{1}{2} x - 2 \end{matrix}

Solution解き方

No solution

英語のヒント

解なし

x-y座標平面上の2x＋4y＞4とy≦（−1/2）x−2のグラフ。各直線の左側または右側が異なる色で塗られている。塗られた領域が重なる部分はない。一方の直線は点線である。

Exercise 306問題 306

{\begin{matrix} x - 3 y \geq 6 \\ y > \frac{1}{3} x + 1 \end{matrix}

Exercise 307問題 307

{\begin{matrix} −2 x + 6 y < 0 \\ 6 y > 2 x + 4 \end{matrix}

Solution解き方

No solution

英語のヒント

解なし

x-y座標平面上の−2x＋6y＜0と6y＞2x＋4のグラフ。各直線の左側または右側が異なる色で塗られている。塗られた領域が重なる部分はない。両方の直線は点線である。

Exercise 308問題 308

{\begin{matrix} −3 x + 6 y > 12 \\ 4 y \leq 2 x - 4 \end{matrix}

Exercise 309問題 309

{\begin{matrix} y \geq −3 x + 2 \\ 3 x + y > 5 \end{matrix}

Solution解き方

x-y座標平面上のy≧−3x＋2と3x＋y＞5のグラフ。各直線の右側が異なる色で塗られている。一方の直線は、他方の塗られた領域内にある。一方の直線は点線である。

Exercise 310問題 310

{\begin{matrix} y \geq \frac{1}{2} x - 1 \\ −2 x + 4 y \geq 4 \end{matrix}

Exercise 311問題 311

{\begin{matrix} y \leq - \frac{1}{4} x - 2 \\ x + 4 y < 6 \end{matrix}

Solution解き方

x + 4 y < 6

x-y座標平面上のy≦（−1/4）x−2とx＋4y＜6のグラフ。各直線の下側が異なる色で塗られている。一方の直線は、他方の塗られた領域内にある。一方の直線は点線である。

Exercise 312問題 312

{\begin{matrix} y \geq 3 x - 1 \\ −3 x + y > −4 \end{matrix}

Exercise 313問題 313

{\begin{matrix} 3 y > x + 2 \\ −2 x + 6 y > 8 \end{matrix}

Solution解き方

−2 x + 6 y > 8

x-y座標平面上の3y＞x＋2と−2x＋6y＞8のグラフ。各直線の上側が異なる色で塗られている。一方の直線は、他方の塗られた領域内にある。両方の直線は点線である。

Exercise 314問題 314

{\begin{matrix} y < \frac{3}{4} x - 2 \\ −3 x + 4 y < 7 \end{matrix}

Exercises 315–322練習問題 315–322

Solve Applications of Systems of Inequalities

英語のヒント

連立不等式の応用問題を解く

In the following exercises, translate to a system of inequalities and solve.

英語のヒント

次の各問題を連立不等式に表して解け。

Exercise 315問題 315

Caitlyn sells her drawings at the county fair. She wants to sell at least 60 drawings and has portraits and landscapes. She sells the portraits for $15 and the landscapes for $10. She needs to sell at least $800 worth of drawings in order to earn a profit.

英語のヒント

ケイトリンは郡の祭りで自分の絵を売っている。人物画と風景画があり、少なくとも60枚売りたい。人物画は1枚15ドル、風景画は1枚10ドルで売る。利益を得るには、少なくとも800ドル分の絵を売る必要がある。

ⓐ Write a system of inequalities to model this situation.
英語のヒント
ⓐ この状況を表す連立不等式を書け。
ⓑ Graph the system.
英語のヒント
ⓑ 連立不等式の表す領域を図示せよ。
ⓓ Will she make a profit if she sells 50 portraits and 20 landscapes?
英語のヒント
ⓓ 人物画50枚と風景画20枚を売ると利益が出るか。

Solution解き方

ⓐ ${\begin{matrix} p + l \geq 60 \\ 15 p + 10 l \geq 800 \end{matrix}$
ⓑ
ⓒ No
ⓒ いいえ
ⓓ Yes
ⓓ はい

Exercise 316問題 316

Jake does not want to spend more than $50 on bags of fertilizer and peat moss for his garden. Fertilizer costs $2 a bag and peat moss costs $5 a bag. Jake’s van can hold at most 20 bags.

英語のヒント

ジェイクは庭用の肥料とピートモスの袋に50ドルを超える費用をかけたくない。肥料は1袋2ドル、ピートモスは1袋5ドルである。ジェイクのバンに載せられるのは最大20袋である。

ⓐ Write a system of inequalities to model this situation.
英語のヒント
ⓐ この状況を表す連立不等式を書け。
ⓑ Graph the system.
英語のヒント
ⓑ 連立不等式の表す領域を図示せよ。
ⓓ Can he buy 10 bags of fertilizer and 10 bags of peat moss?
英語のヒント
ⓓ 肥料10袋とピートモス10袋を買えるか。

Exercise 317問題 317

Reiko needs to mail her Christmas cards and packages and wants to keep her mailing costs to no more than $500. The number of cards is at least 4 more than twice the number of packages. The cost of mailing a card (with pictures enclosed) is $3 and for a package the cost is $7.

英語のヒント

レイコはクリスマスカードと小包を郵送する必要があり、送料を500ドル以下に抑えたい。カードの枚数は、小包の個数の2倍より少なくとも4多い。写真を同封したカードの送料は1枚3ドル、小包の送料は1個7ドルである。

ⓐ Write a system of inequalities to model this situation.
英語のヒント
ⓐ この状況を表す連立不等式を書け。
ⓑ Graph the system.
英語のヒント
ⓑ 連立不等式の表す領域を図示せよ。
ⓓ Can she mail 90 cards and 40 packages?
英語のヒント
ⓓ カード90枚と小包40個を郵送できるか。

Solution解き方

ⓐ ${\begin{matrix} 7 p + 3 c \leq 500 \\ p \geq 2 c + 4 \end{matrix}$
ⓑ
ⓒ Yes
ⓒ できる。
ⓓ No
ⓓ できない。

Exercise 318問題 318

Juan is studying for his final exams in Chemistry and Algebra. He knows he only has 24 hours to study, and it will take him at least three times as long to study for Algebra than Chemistry.

英語のヒント

フアンは化学と代数の期末試験の勉強をしている。勉強できるのは24時間だけで、代数には化学の少なくとも3倍の時間がかかると分かっている。

ⓐ Write a system of inequalities to model this situation.
英語のヒント
ⓐ この状況を表す連立不等式を書け。
ⓑ Graph the system.
英語のヒント
ⓑ 連立不等式の表す領域を図示せよ。
ⓓ Can he spend 6 hours on Chemistry and 18 hours on Algebra?
英語のヒント
ⓓ 化学に6時間、代数に18時間使えるか。

Exercise 319問題 319

Jocelyn is pregnant and needs to eat at least 500 more calories a day than usual. When buying groceries one day with a budget of $15 for the extra food, she buys bananas that have 90 calories each and chocolate granola bars that have 150 calories each. The bananas cost $0.35 each and the granola bars cost $2.50 each.

英語のヒント

ジョスリンは妊娠しており、普段より1日に少なくとも500カロリー多く摂取する必要がある。ある日、追加の食べ物の予算15ドルで買い物をし、1本90カロリーのバナナと1本150カロリーのチョコレート・グラノーラバーを買う。バナナは1本0.35ドル、グラノーラバーは1本2.50ドルである。

ⓐ Write a system of inequalities to model this situation.
英語のヒント
ⓐ この状況を表す連立不等式を書け。
ⓑ Graph the system.
英語のヒント
ⓑ 連立不等式の表す領域を図示せよ。
ⓓ Could she buy 3 bananas and 4 granola bars?
英語のヒント
ⓓ バナナ3本とグラノーラバー4本を買えるか。

Solution解き方

ⓐ ${\begin{matrix} 90 b + 150 g \geq 500 \\ 0.35 b + 2.50 g \leq 15 \end{matrix}$
ⓑ
ⓒ No
ⓒ いいえ
ⓓ Yes
ⓓ はい

Exercise 320問題 320

Mark is attempting to build muscle mass and so he needs to eat at least an additional 80 grams of protein a day. A bottle of protein water costs $3.20 and a protein bar costs $1.75. The protein water supplies 27 grams of protein and the bar supplies 16 gram. If he has $ 10 dollars to spend

英語のヒント

マークは筋肉量を増やそうとしており、1日に少なくとも80グラム多くタンパク質を摂取する必要がある。プロテインウォーターは1瓶3.20ドル、プロテインバーは1本1.75ドルである。プロテインウォーターからは27グラム、バーからは16グラムのタンパク質が取れる。使える金額が10ドルの場合について考えよ。

ⓐ Write a system of inequalities to model this situation.
英語のヒント
ⓐ この状況を表す連立不等式を書け。
ⓑ Graph the system.
英語のヒント
ⓑ 連立不等式の表す領域を図示せよ。
ⓓ Could he buy no bottles of protein water and 5 protein bars?
英語のヒント
ⓓ プロテインウォーターを買わずに、プロテインバー5本を買えるか。

Exercise 321問題 321

Jocelyn desires to increase both her protein consumption and caloric intake. She desires to have at least 35 more grams of protein each day and no more than an additional 200 calories daily. An ounce of cheddar cheese has 7 grams of protein and 110 calories. An ounce of parmesan cheese has 11 grams of protein and 22 calories.

英語のヒント

ジョスリンはタンパク質の摂取量と摂取カロリーの両方を増やしたい。タンパク質は毎日少なくとも35グラム増やし、追加のカロリーは1日200以下にしたい。チェダーチーズ1オンスにはタンパク質7グラムと110カロリー、パルメザンチーズ1オンスにはタンパク質11グラムと22カロリーが含まれる。

ⓐ Write a system of inequalities to model this situation.
英語のヒント
ⓐ この状況を表す連立不等式を書け。
ⓑ Graph the system.
英語のヒント
ⓑ 連立不等式の表す領域を図示せよ。
ⓓ Could she eat 2 ounces of cheddar cheese and 1 ounce of parmesan cheese?
英語のヒント
ⓓ チェダーチーズ2オンスとパルメザンチーズ1オンスを食べられるか。

Solution解き方

ⓐ ${\begin{matrix} 7 c + 11 p \geq 35 \\ 110 c + 22 p \leq 200 \end{matrix}$
ⓑ
ⓒ Yes
ⓒ できる。
ⓓ No
ⓓ できない。

Exercise 322問題 322

Mark is increasing his exercise routine by running and walking at least 4 miles each day. His goal is to burn a minimum of 1,500 calories from this exercise. Walking burns 270 calories/mile and running burns 650 calories.

英語のヒント

マークは毎日の運動を増やし、走る距離と歩く距離を合わせて1日に少なくとも4マイルにする。この運動で最低1,500カロリー消費するのが目標である。歩くと1マイル当たり270カロリー、走ると650カロリー消費する。

ⓐ Write a system of inequalities to model this situation.
ⓑ Graph the system.
ⓒ Could he meet his goal by walking 3 miles and running 1 mile?
ⓓ Could he meet his goal by walking 2 miles and running 2 mile?

英語のヒント