プリンキピア

第5章連立一次方程式

Solve Applications of Systems of Equations by Substitution代入法で連立方程式の応用問題を解く

We’ll copy here the problem solving strategy we used in the Solving Systems of Equations by Graphing section for solving systems of equations. Now that we know how to solve systems by substitution, that’s what we’ll do in Step 5.
英語のヒント
「グラフで連立方程式を解く」の節で使った問題解決の手順を、ここに再掲する。代入法の解き方を学んだので、手順5ではそれを使う。
Some people find setting up word problems with two variables easier than setting them up with just one variable. Choosing the variable names is easier when all you need to do is write down two letters. Think about this in the next example—how would you have done it with just one variable?
英語のヒント
文章題を1つの変数で立式するより、2つの変数で立式するほうが簡単だと感じる人もいる。2つの文字を書くだけなら、変数の名前を選びやすい。次の例で、変数が1つだけならどうしたか考えてみよう。
Example 5.21例題 5.21
The sum of two numbers is zero. One number is nine less than the other. Find the numbers.
英語のヒント
2つの数の和は0である。一方は他方より9小さい。2つの数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem.
手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for.
手順2．何を求めるのかを明らかにする。
We are looking for two numbers.
2つの数を求める。
Step 3. Name what we are looking for.
手順3．求めるものを文字で表す。
Let n= the first number
Let m= the second number
n=1つ目の数、m=2つ目の数、とする。
Step 4. Translate into a system of equations.
手順4．連立方程式に表す。
The sum of two numbers is zero.
2つの数の和は0である。
.
One number is nine less than the other.
一方の数は他方より9小さい。
.
The system is:
連立方程式は次のとおりである：
.
Step 5. Solve the system of
equations. We will use substitution
since the second equation is solved
for n.
手順5．連立方程式を解く。2つ目の方程式がnについて解かれているので、代入法を使う。
Substitute m − 9 for n in the first equation.
最初の方程式のnにm−9を代入する。
.
Solve for m.
mについて解く。
.
.
.
Substitute m=92 into the second equation
and then solve for n.
2つ目の方程式にm=92を代入してnを求める。
.
.
.
.
Step 6. Check the answer in the problem.
手順6．問題に照らして答えを確認する。
Do these numbers make sense in
the problem? We will leave this to you!
これらの数は問題の状況に照らして筋が通るか。自分で確かめよう。
Step 7. Answer the question.
手順7　問いに答える。
The numbers are 92 and −92.
2つの数は92と−92である。
Try It (2)確認問題（2題）
In the Example 5.22, we’ll use the formula for the perimeter of a rectangle, P = 2L + 2W.
英語のヒント
例題5.22では、長方形の周の長さの公式P=2L+2Wを使う。
Example 5.22例題 5.22
The perimeter of a rectangle is 88. The length is five more than twice the width. Find the length and the width.
英語のヒント
長方形の周の長さは88である。長さは幅の2倍より5長い。長さと幅を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem.
手順1　問題を読む。
.
Step 2. Identify what you are looking for.
手順2　何を求めるのかを明らかにする。
We are looking for the length and width.
長さと幅を求める。
Step 3. Name what we are looking for.
手順3．求めるものを文字で表す。
Let L= the length
W= the width
L=長さ、W=幅、とする。
Step 4. Translate into a system of equations.
手順4．連立方程式に表す。
The perimeter of a rectangle is 88.
長方形の周の長さは88である。
2L + 2W = P
.
The length is five more than twice the width.
長さは幅の2倍より5長い。
.
The system is:
連立方程式は次のとおりである：
.
Step 5. Solve the system of equations.
We will use substitution since the second
equation is solved for L.

Substitute 2W + 5 for L in the first equation.
手順5．連立方程式を解く。2つ目の方程式がLについて解かれているので、代入法を使う。最初の方程式のLに2W+5を代入する。
.
Solve for W.
Wについて解く。
.
.
.
.
Substitute W = 13 into the second
equation and then solve for L.
2つ目の方程式にW=13を代入してLを求める。
.
.
.
Step 6. Check the answer in the problem.
手順6．問題に照らして答えを確認する。
Does a rectangle with length 31 and width
13 have perimeter 88? Yes.
長さ31、幅13の長方形の周の長さは88か。はい。
Step 7. Answer the equation.
手順7．方程式に答える。
The length is 31 and the width is 13.
長さは31、幅は13である。
Try It (2)確認問題（2題）
For Example 5.23 we need to remember that the sum of the measures of the angles of a triangle is 180 degrees and that a right triangle has one 90 degree angle.
英語のヒント
例題5.23では、三角形の角の大きさの和が180度で、直角三角形には90度の角が1つあることを思い出そう。
Example 5.23例題 5.23
The measure of one of the small angles of a right triangle is ten more than three times the measure of the other small angle. Find the measures of both angles.
英語のヒント
直角三角形の小さい角の一方は、もう一方の3倍より10大きい。両方の角の大きさを求めよ。

Solution解答

We will draw and label a figure.
英語のヒント
図を描き、記号を書き込む。
Step 1. Read the problem.
手順1　問題を読む。
.
Step 2. Identify what you are looking for.
手順2　何を求めるのかを明らかにする。
We are looking for the measures of the angles.
角の大きさを求める。
Step 3. Name what we are looking for.
手順3．求めるものを文字で表す。
Let a= the measure of the 1st angle
b= the measure of the 2nd angle
a=1番目の角の大きさ、b=2番目の角の大きさ、とする。
Step 4. Translate into a system of equations.
手順4．連立方程式に表す。
The measure of one of the small angles
of a right triangle is ten more than three
times the measure of the other small angle.
直角三角形の小さい角の一方は、もう一方の3倍より10大きい。
.
The sum of the measures of the angles of
a triangle is 180.
三角形の角の大きさの和は180である。
.
The system is:
連立方程式は次のとおりである：
.
Step 5. Solve the system of equations.
We will use substitution since the first
equation is solved for a.
手順5．連立方程式を解く。最初の方程式がaについて解かれているので、代入法を使う。
.
Substitute 3b + 10 for a in the
second equation.
2つ目の方程式のaに3b+10を代入する。
.
Solve for b.
bについて解く。
.
.
.
Substitute b = 20 into the first
equation and then solve for a.
最初の方程式にb=20を代入してaを求める。
.
.
Step 6. Check the answer in the problem.
手順6．問題に照らして答えを確認する。
We will leave this to you!
自分で確かめよう。
Step 7. Answer the question.
手順7　問いに答える。
The measures of the small angles are
20 and 70.
小さい角の大きさは20と70である。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 5.24例題 5.24
Heather has been offered two options for her salary as a trainer at the gym. Option A would pay her $25,000 plus $15 for each training session. Option B would pay her $10,000 + $40 for each training session. How many training sessions would make the salary options equal?
英語のヒント
ヘザーはジムのトレーナーの給与について、2つの選択肢を提示された。Aは25,000ドルに指導1回15ドルを加えた額、Bは10,000ドルに指導1回40ドルを加えた額である。指導が何回なら給与が等しくなるか。

Solution解答

Step 1. Read the problem.
手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for.
手順2　何を求めるのかを明らかにする。
We are looking for the number of training sessions
that would make the pay equal.
給与が等しくなる指導回数を求める。
Step 3. Name what we are looking for.
手順3．求めるものを文字で表す。
Let s= Heather’s salary.
n= the number of training sessions
s=ヘザーの給与、n=指導回数、とする。
Step 4. Translate into a system of equations.
手順4．連立方程式に表す。
Option A would pay her $25,000 plus $15
for each training session.
Aの給与は25,000ドルに指導1回15ドルを加えた額である。
.
Option B would pay her $10,000 + $40
for each training session
Bの給与は10,000ドルに指導1回40ドルを加えた額である。
.
The system is:
連立方程式は次のとおりである：
.
Step 5. Solve the system of equations.
We will use substitution.
手順5．代入法で連立方程式を解く。
.
Substitute 25,000 + 15n for s in the second equation.
2つ目の方程式のsに25,000+15nを代入する。
.
Solve for n.
nについて解く。
.
.
.
Step 6. Check the answer.
手順6．答えを確認する。
Are 600 training sessions a year reasonable?
Are the two options equal when n = 600?
年600回の指導は妥当か。n=600のとき2つの給与は等しいか。
Step 7. Answer the question.
手順7　問いに答える。
The salary options would be equal for 600 training sessions.
指導が600回なら、2つの給与が等しくなる。
Try It (2)確認問題（2題）
Additional Resources追加教材