第5章連立一次方程式

Key Concepts重要な概念

To Solve a System of Equations by Elimination
英語のヒント
加減法で連立方程式を解くには
1. Write both equations in standard form. If any coefficients are fractions, clear them.
  英語のヒント
  両方の方程式を標準形に書く。係数に分数があればなくす。
2. Make the coefficients of one variable opposites.
  英語のヒント
  一方の変数の係数を、互いに符号が逆の数にする。
  - Decide which variable you will eliminate.
    英語のヒント
    どの変数を消去するか決める。
  - Multiply one or both equations so that the coefficients of that variable are opposites.
    英語のヒント
    その変数の係数が互いに符号が逆になるよう、一方または両方の方程式に数を掛ける。
3. Add the equations resulting from Step 2 to eliminate one variable.
  英語のヒント
  手順2で得た方程式を足し、1つの変数を消去する。
4. Solve for the remaining variable.
  英語のヒント
  残った変数を求める。
5. Substitute the solution from Step 4 into one of the original equations. Then solve for the other variable.
  英語のヒント
  手順4の解を元の方程式の1つに代入し、他方の変数を求める。
6. Write the solution as an ordered pair.
  英語のヒント
  解を順序対で表す。
7. Check that the ordered pair is a solution to both original equations.
  英語のヒント
  その順序対が元の両方の方程式の解であることを確認する。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 126–166練習問題 126–166

Solve a System of Equations by Elimination

英語のヒント

消去法で連立方程式を解く

In the following exercises, solve the systems of equations by elimination.

英語のヒント

次の各問では、加減法で連立方程式を解け。

Exercise 126問題 126

{\begin{matrix} 5 x + 2 y = 2 \\ −3 x - y = 0 \end{matrix}

Exercise 127問題 127

{\begin{matrix} −3 x + y = −9 \\ x - 2 y = −12 \end{matrix}

Solution解き方

(6, 9)

Exercise 128問題 128

{\begin{matrix} 6 x - 5 y = −1 \\ 2 x + y = 13 \end{matrix}

Exercise 129問題 129

{\begin{matrix} 3 x - y = −7 \\ 4 x + 2 y = −6 \end{matrix}

Solution解き方

(−2, 1)

Exercise 130問題 130

{\begin{matrix} x + y = −1 \\ x - y = −5 \end{matrix}

Exercise 131問題 131

{\begin{matrix} x + y = −8 \\ x - y = −6 \end{matrix}

Solution解き方

(−7, −1)

Exercise 132問題 132

{\begin{matrix} 3 x - 2 y = 1 \\ - x + 2 y = 9 \end{matrix}

Exercise 133問題 133

{\begin{matrix} −7 x + 6 y = −10 \\ x - 6 y = 22 \end{matrix}

Solution解き方

(−2, −4)

Exercise 134問題 134

{\begin{matrix} 3 x + 2 y = −3 \\ - x - 2 y = −19 \end{matrix}

Exercise 135問題 135

{\begin{matrix} 5 x + 2 y = 1 \\ −5 x - 4 y = −7 \end{matrix}

Solution解き方

(−1, 3)

Exercise 136問題 136

{\begin{matrix} 6 x + 4 y = −4 \\ −6 x - 5 y = 8 \end{matrix}

Exercise 137問題 137

{\begin{matrix} 3 x - 4 y = −11 \\ x - 2 y = −5 \end{matrix}

Solution解き方

(−1, 2)

Exercise 138問題 138

{\begin{matrix} 5 x - 7 y = 29 \\ x + 3 y = −3 \end{matrix}

Exercise 139問題 139

{\begin{matrix} 6 x - 5 y = −75 \\ - x - 2 y = −13 \end{matrix}

Solution解き方

(−5, 9)

Exercise 140問題 140

{\begin{matrix} - x + 4 y = 8 \\ 3 x + 5 y = 10 \end{matrix}

Exercise 141問題 141

{\begin{matrix} 2 x - 5 y = 7 \\ 3 x - y = 17 \end{matrix}

Solution解き方

(6, 1)

Exercise 142問題 142

{\begin{matrix} 5 x - 3 y = −1 \\ 2 x - y = 2 \end{matrix}

Exercise 143問題 143

{\begin{matrix} 7 x + y = −4 \\ 13 x + 3 y = 4 \end{matrix}

Solution解き方

(−2, 10)

Exercise 144問題 144

{\begin{matrix} −3 x + 5 y = −13 \\ 2 x + y = −26 \end{matrix}

Exercise 145問題 145

{\begin{matrix} 3 x - 5 y = −9 \\ 5 x + 2 y = 16 \end{matrix}

Solution解き方

(2, 3)

Exercise 146問題 146

{\begin{matrix} 4 x - 3 y = 3 \\ 2 x + 5 y = −31 \end{matrix}

Exercise 147問題 147

{\begin{matrix} 4 x + 7 y = 14 \\ −2 x + 3 y = 32 \end{matrix}

Solution解き方

(−7, 6)

Exercise 148問題 148

{\begin{matrix} 5 x + 2 y = 21 \\ 7 x - 4 y = 9 \end{matrix}

Exercise 149問題 149

{\begin{matrix} 3 x + 8 y = −3 \\ 2 x + 5 y = −3 \end{matrix}

Solution解き方

(−9, 3)

Exercise 150問題 150

{\begin{matrix} 11 x + 9 y = −5 \\ 7 x + 5 y = −1 \end{matrix}

Exercise 151問題 151

{\begin{matrix} 3 x + 8 y = 67 \\ 5 x + 3 y = 60 \end{matrix}

Solution解き方

(9, 5)

Exercise 152問題 152

{\begin{matrix} 2 x + 9 y = −4 \\ 3 x + 13 y = −7 \end{matrix}

Exercise 153問題 153

{\begin{matrix} \frac{1}{3} x - y = −3 \\ x + \frac{5}{2} y = 2 \end{matrix}

Solution解き方

(−3, 2)

Exercise 154問題 154

{\begin{matrix} x + \frac{1}{2} y = \frac{3}{2} \\ \frac{1}{5} x - \frac{1}{5} y = 3 \end{matrix}

Exercise 155問題 155

{\begin{matrix} x + \frac{1}{3} y = −1 \\ \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} y = −2 \end{matrix}

Solution解き方

(−2, 3)

Exercise 156問題 156

{\begin{matrix} \frac{1}{3} x - y = −3 \\ \frac{2}{3} x + \frac{5}{2} y = 3 \end{matrix}

Exercise 157問題 157

{\begin{matrix} 2 x + y = 3 \\ 6 x + 3 y = 9 \end{matrix}

Solution解き方

infinitely many solutions

英語のヒント

解は無数にある

Exercise 158問題 158

{\begin{matrix} x - 4 y = −1 \\ −3 x + 12 y = 3 \end{matrix}

Exercise 159問題 159

{\begin{matrix} −3 x - y = 8 \\ 6 x + 2 y = −16 \end{matrix}

Solution解き方

infinitely many solutions

英語のヒント

解は無数にある

Exercise 160問題 160

{\begin{matrix} 4 x + 3 y = 2 \\ 20 x + 15 y = 10 \end{matrix}

Exercise 161問題 161

{\begin{matrix} 3 x + 2 y = 6 \\ −6 x - 4 y = −12 \end{matrix}

Solution解き方

infinitely many solutions

英語のヒント

解は無数にある

Exercise 162問題 162

{\begin{matrix} 5 x - 8 y = 12 \\ 10 x - 16 y = 20 \end{matrix}

Exercise 163問題 163

{\begin{matrix} −11 x + 12 y = 60 \\ −22 x + 24 y = 90 \end{matrix}

Solution解き方

inconsistent, no solution

英語のヒント

不整合、解なし。

Exercise 164問題 164

{\begin{matrix} 7 x - 9 y = 16 \\ −21 x + 27 y = −24 \end{matrix}

Exercise 165問題 165

{\begin{matrix} 5 x - 3 y = 15 \\ y = \frac{5}{3} x - 2 \end{matrix}

Solution解き方

inconsistent, no solution

英語のヒント

不整合、解なし。

Exercise 166問題 166

{\begin{matrix} 2 x + 4 y = 7 \\ y = - \frac{1}{2} x - 4 \end{matrix}

Exercises 167–174練習問題 167–174

Solve Applications of Systems of Equations by Elimination

英語のヒント

消去法で連立方程式の応用問題を解く

In the following exercises, translate to a system of equations and solve.

英語のヒント

以下の問題では、連立方程式に表して解け。

Exercise 167問題 167

The sum of two numbers is 65. Their difference is 25. Find the numbers.

英語のヒント

2つの数の和は65、差は25である。2つの数を求めよ。

Solution解き方

The numbers are 20 and 45.

英語のヒント

2つの数は20と45である。

Exercise 168問題 168

The sum of two numbers is 37. Their difference is 9. Find the numbers.

英語のヒント

2つの数の和は37、差は9である。2つの数を求めよ。

Exercise 169問題 169

The sum of two numbers is −27. Their difference is −59. Find the numbers.

英語のヒント

2つの数の和は−27、差は−59である。2つの数を求めよ。

Solution解き方

The numbers are 16 and −43.

英語のヒント

2つの数は16と−43である。

Exercise 170問題 170

The sum of two numbers is −45. Their difference is −89. Find the numbers.

英語のヒント

2つの数の和は−45、差は−89である。2つの数を求めよ。

Exercise 171問題 171

Andrea is buying some new shirts and sweaters. She is able to buy 3 shirts and 2 sweaters for $114 or she is able to buy 2 shirts and 4 sweaters for $164. How much does a shirt cost? How much does a sweater cost?

英語のヒント

アンドレアはシャツとセーターを新しく買う。シャツ3枚とセーター2枚なら114ドル、シャツ2枚とセーター4枚なら164ドルである。それぞれ1枚いくらか。

Solution解き方

A shirt costs $16 and a sweater costs $33.

英語のヒント

シャツは16ドル、セーターは33ドルである。

Exercise 172問題 172

Peter is buying office supplies. He is able to buy 3 packages of paper and 4 staplers for $40 or he is able to buy 5 packages of paper and 6 staplers for $62. How much does a package of paper cost? How much does a stapler cost?

英語のヒント

ピーターは事務用品を買う。用紙3包とホッチキス4個なら40ドル、用紙5包とホッチキス6個なら62ドルである。用紙1包とホッチキス1個はいくらか。

Exercise 173問題 173

The total amount of sodium in 2 hot dogs and 3 cups of cottage cheese is 4720 mg. The total amount of sodium in 5 hot dogs and 2 cups of cottage cheese is 6300 mg. How much sodium is in a hot dog? How much sodium is in a cup of cottage cheese?

英語のヒント

ホットドッグ2個とカッテージチーズ3カップのナトリウムの合計は4720mgである。ホットドッグ5個とチーズ2カップでは6300mgである。ホットドッグ1個とチーズ1カップにはそれぞれどれだけ含まれるか。

Solution解き方

There are 860 mg in a hot dog. There are 1,000 mg in a cup of cottage cheese.

英語のヒント

ホットドッグ1個に860mg、カッテージチーズ1カップに1,000mg含まれる。

Exercise 174問題 174

The total number of calories in 2 hot dogs and 3 cups of cottage cheese is 960 calories. The total number of calories in 5 hot dogs and 2 cups of cottage cheese is 1190 calories. How many calories are in a hot dog? How many calories are in a cup of cottage cheese?

英語のヒント

ホットドッグ2個とカッテージチーズ3カップは合計960カロリーである。ホットドッグ5個とチーズ2カップでは1190カロリーである。ホットドッグ1個とチーズ1カップはそれぞれ何カロリーか。

Exercises 175–178練習問題 175–178

Choose the Most Convenient Method to Solve a System of Linear Equations

英語のヒント

連立一次方程式を解く最も使いやすい方法を選ぶ

In the following exercises, decide whether it would be more convenient to solve the system of equations by substitution or elimination.

英語のヒント

次の各問では、代入法と加減法のどちらで連立方程式を解くのが便利か判断せよ。

Exercise 175問題 175

ⓐ

{\begin{matrix} 8 x - 15 y = −32 \\ 6 x + 3 y = −5 \end{matrix}

ⓑ

{\begin{matrix} x = 4 y - 3 \\ 4 x - 2 y = −6 \end{matrix}

Solution解き方

ⓐ elimination ⓑ substitution

英語のヒント

ⓐ 加減法。ⓑ 代入法。

Exercise 176問題 176

ⓐ

{\begin{matrix} y = 7 x - 5 \\ 3 x - 2 y = 16 \end{matrix}

ⓑ

{\begin{matrix} 12 x - 5 y = −42 \\ 3 x + 7 y = −15 \end{matrix}

Exercise 177問題 177

ⓐ

{\begin{matrix} y = 4 x + 9 \\ 5 x - 2 y = −21 \end{matrix}

ⓑ

{\begin{matrix} 9 x - 4 y = 24 \\ 3 x + 5 y = −14 \end{matrix}

Solution解き方

ⓐ substitution ⓑ elimination

英語のヒント

ⓐ 代入法。ⓑ 加減法。

Exercise 178問題 178

ⓐ

{\begin{matrix} 14 x - 15 y = −30 \\ 7 x + 2 y = 10 \end{matrix}

ⓑ

{\begin{matrix} x = 9 y - 11 \\ 2 x - 7 y = −27 \end{matrix}

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 179–180練習問題 179–180

Exercise 179問題 179

Norris can row 3 miles upstream against the current in 1 hour, the same amount of time it takes him to row 5 miles downstream, with the current. Solve the system.

{\begin{matrix} r - c = 3 \\ r + c = 5 \end{matrix}

英語のヒント

ノリスは流れに逆らって上流へ3マイルこぐのに1時間かかり、流れに乗って下流へ5マイルこぐのにも同じ時間がかかる。連立方程式を解け。

{\begin{matrix} r - c = 3 \\ r + c = 5 \end{matrix}

ⓐ for $r$ , his rowing speed in still water.
英語のヒント
ⓐ 静水中でのこぐ速さ $r$ を求めよ。
ⓑ Then solve for $c$ , the speed of the river current.
英語のヒント
ⓑ 次に、川の流れの速さ $c$ を求めよ。

Solution解き方

ⓐ

r = 4

ⓑ

c = 1

Exercise 180問題 180

Josie wants to make 10 pounds of trail mix using nuts and raisins, and she wants the total cost of the trail mix to be $54. Nuts cost $6 per pound and raisins cost $3 per pound. Solve the system

{\begin{matrix} n + r = 10 \\ 6 n + 3 r = 54 \end{matrix}

to find

n

, the number of pounds of nuts, and

r

, the number of pounds of raisins she should use.

英語のヒント

ジョジーはナッツとレーズンを使い、総額54ドルでトレイルミックスを10ポンド作りたい。ナッツは1ポンド6ドル、レーズンは1ポンド3ドルである。連立方程式

{\begin{matrix} n + r = 10 \\ 6 n + 3 r = 54 \end{matrix}

を解き、使うべきナッツのポンド数

n

とレーズンのポンド数

r

を求めよ。