第5章連立一次方程式

Solve Geometry Applications図形の応用問題を解く

When we learned about Math Models, we solved geometry applications using properties of triangles and rectangles. Now we’ll add to our list some properties of angles.

英語のヒント

「数学モデル」では三角形と長方形の性質を使って図形の応用問題を解いた。今度は角の性質を加える。

The measures of two complementary angles add to 90 degrees. The measures of two supplementary angles add to 180 degrees.

英語のヒント

互いに余角である2つの角の大きさの和は90度、互いに補角である2つの角の大きさの和は180度である。

If two angles are complementary, we say that one angle is the complement of the other.

英語のヒント

2つの角が互いに余角であるとき、一方の角は他方の余角という。

If two angles are supplementary, we say that one angle is the supplement of the other.

英語のヒント

2つの角が互いに補角であるとき、一方の角は他方の補角という。

Example 5.39例題 5.39

Translate to a system of equations and then solve:

英語のヒント

連立方程式に表し、それを解け：

The difference of two complementary angles is 26 degrees. Find the measures of the angles.

英語のヒント

互いに余角である2つの角の差は26度である。それぞれの大きさを求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	We are looking for the measure of each angle. 各角の大きさを求める。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。	Let $x =$ the measure of the first angle $x =$ . $m =$ the measure of the second angle. $x =$ 1つ目の角の大きさ $x =$ 、 $m =$ 2つ目の角の大きさ、とする。
Step 4. Translate into a system of equations. 手順4．連立方程式に表す。	The angles are complementary. $x + y = 90$ 2つの角は互いに余角である。 $x + y = 90$
	The difference of the two angles is 26 degrees. $x - y = 26$ 2つの角の差は26度である。 $x - y = 26$
The system is 連立方程式は次のとおり。	${\begin{matrix} x + y = 90 \\ x - y = 26 \end{matrix}$
Step 5. Solve the system of equations by elimination. 手順5．加減法で連立方程式を解く。	$\begin{matrix} \underset{_________}{{\begin{cases} x + y = 90 \\ x - y = 26 \end{cases}} \\ 2 x = 116 \end{matrix}$
Substitute $x = 58$ into the first equation. 最初の方程式に $x = 58$ を代入する。	$\begin{matrix} x + y & = & 90 \\ 58 + y & = & 90 \\ y & = & 32 \end{matrix}$
Step 6. Check the answer in the problem. $\begin{matrix} 58 + 32 = 90 ✓ \\ 58 - 32 = 26 ✓ \end{matrix}$ 手順6．答えを問題に戻して確かめる。 $\begin{matrix} 58 + 32 = 90 ✓ \\ 58 - 32 = 26 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The angle measures are 58 degrees and 32 degrees. 角の大きさは58度と32度である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 5.40例題 5.40

Translate to a system of equations and then solve:

英語のヒント

連立方程式に表し、それを解け：

Two angles are supplementary. The measure of the larger angle is twelve degrees less than five times the measure of the smaller angle. Find the measures of both angles.

英語のヒント

2つの角は互いに補角である。大きい角は小さい角の5倍より12度小さい。それぞれの大きさを求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明らかにする。	We are looking for the measure of each angle. 各角の大きさを求める。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。	Let $x =$ the measure of the first angle. $y =$ the measure of the second angle $x =$ 1つ目の角の大きさ、 $y =$ 2つ目の角の大きさ、とする。
Step 4. Translate into a system of equations. 手順4．連立方程式に表す。	The angles are supplementary. 2つの角は互いに補角である。

	The larger angle is twelve less than five times the smaller angle 大きい角は小さい角の5倍より12小さい。

The system is: Step 5. Solve the system of equations substitution. 連立方程式は次のとおり。手順5．代入法で連立方程式を解く。
Substitute 5x − 12 for y in the first equation. 最初の方程式のyに5x−12を代入する。
Solve for x. xについて解く。


Substitute 32 for in the second equation, then solve for y. 2つ目の方程式に32を代入してyを求める。


Step 6. Check the answer in the problem. $\begin{matrix} 32 + 158 & = & 180 ✓ \\ 5 \cdot 32 - 12 & = & 147 ✓ \end{matrix}$ 手順6．答えを問題に戻して確認する。 $\begin{matrix} 32 + 158 & = & 180 ✓ \\ 5 \cdot 32 - 12 & = & 147 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The angle measures are 148 and 32. 角の大きさは148と32である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 5.41例題 5.41

Translate to a system of equations and then solve:

英語のヒント

連立方程式に表し、それを解け：

Randall has 125 feet of fencing to enclose the rectangular part of his backyard adjacent to his house. He will only need to fence around three sides, because the fourth side will be the wall of the house. He wants the length of the fenced yard (parallel to the house wall) to be 5 feet more than four times as long as the width. Find the length and the width.

英語のヒント

ランドールは家に隣接する長方形の裏庭を囲むため、125フィートの柵を持っている。4辺目は家の壁なので、柵は3辺だけに必要である。囲む庭の長さ（壁に平行な辺）を幅の4倍より5フィート長くしたい。長さと幅を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	We are looking for the length and width. 長さと幅を求める。

Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。	Let $L =$ the length of the fenced yard. $W =$ the width of the fenced yard $L =$ 囲む庭の長さ、 $W =$ 囲む庭の幅、とする。
Step 4. Translate into a system of equations. 手順4．連立方程式に表す。	One length and two widths equal 125. 長さ1つと幅2つを足すと125になる。

	The length will be 5 feet more than four times the width. 長さは幅の4倍より5フィート長くなる。

The system is: Step 5. Solve the system of equations by substitution. 連立方程式は次のとおり。手順5．代入法で連立方程式を解く。
Substitute L = 4W + 5 into the first equation, then solve for W. 最初の方程式にL=4W+5を代入してWを求める。


Substitute 20 for W in the second equation, then solve for L. 2つ目の方程式のWに20を代入してLを求める。



Step 6. Check the answer in the problem. $\begin{matrix} 20 + 28 + 20 & = & 125 ✓ \\ 85 & = & 4 \cdot 20 + 5 ✓ \end{matrix}$ 手順6．答えを問題に戻して確認する。 $\begin{matrix} 20 + 28 + 20 & = & 125 ✓ \\ 85 & = & 4 \cdot 20 + 5 ✓ \end{matrix}$
Step 7. Answer the equation. 手順7．方程式に答える。	The length is 85 feet and the width is 20 feet. 長さは85フィート、幅は20フィートである。

Try It (2)確認問題（2題）

Question 1問題 1

Translate to a system of equations and then solve:

英語のヒント

連立方程式に表し、それを解け：

Mario wants to put a rectangular fence around the pool in his backyard. Since one side is adjacent to the house, he will only need to fence three sides. There are two long sides and the one shorter side is parallel to the house. He needs 155 feet of fencing to enclose the pool. The length of the long side is 10 feet less than twice the width. Find the length and width of the pool area to be enclosed.

英語のヒント

マリオは裏庭のプールのまわりを長方形の柵で囲みたい。1辺は家に接しているので柵は3辺だけに必要である。2辺が長い辺で、短い1辺は家に平行である。囲むには155フィートの柵が必要である。長い辺は幅の2倍より10フィート短い。囲むプール部分の長さと幅を求めよ。

Solution解答

The length is 60 feet and the width is 35 feet.

英語のヒント

長さは60フィート、幅は35フィートである。

Question 2問題 2

Translate to a system of equations and then solve:

英語のヒント

連立方程式に表し、それを解け：

Alexis wants to build a rectangular dog run in her yard adjacent to her neighbor’s fence. She will use 136 feet of fencing to completely enclose the rectangular dog run. The length of the dog run along the neighbor’s fence will be 16 feet less than twice the width. Find the length and width of the dog run.

英語のヒント

アレクシスは隣家の柵に接して、自宅の庭に長方形の犬用運動場を作りたい。136フィートの柵を使って完全に囲む。隣家の柵に沿う長さは幅の2倍より16フィート短くする。運動場の長さと幅を求めよ。

Solution解答

The length is 60 feet and the width is 38 feet.

英語のヒント

長さは60フィート、幅は38フィートである。