第1章基礎

Simplify Expressions with Integers整数を含む式を簡単にする

What happens when there are more than two numbers in an expression? The order of operations still applies when negatives are included. Remember My Dear Aunt Sally?

英語のヒント

式に三つ以上の数があるときはどうだろうか。負の数を含んでいても、演算の順序は同じである。My Dear Aunt Sallyを覚えているだろうか。

Let’s try some examples. We’ll simplify expressions that use all four operations with integers—addition, subtraction, multiplication, and division. Remember to follow the order of operations.

英語のヒント

いくつかの例に取り組もう。整数の加法・減法・乗法・除法の四つすべてを使う式を簡単にする。演算の順序を守ることを忘れないようにしよう。

Example 1.49例題 1.49

Simplify:

7 (−2) + 4 (−7) - 6 .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

7 (−2) + 4 (−7) - 6

Solution解答

Table 1.10表 1.10
	$7 (−2) + 4 (−7) - 6$
Multiply first. まず掛ける。	$−14 + (−28) - 6$
Add. 足す。	$−42 - 6$
Subtract. 引く。	$−48$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.50例題 1.50

Simplify: ⓐ

{(−2)}^{4}

ⓑ

− 2^{4} .

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(−2)}^{4}

ⓑ

− 2^{4}

Solution解答

Table 1.11表 1.11
ⓐ Write in expanded form. Multiply. Multiply. Multiply. ⓐ 掛け算を並べた形に書く。掛ける。掛ける。掛ける。	$\begin{matrix} {(−2)}^{4} \\ (−2) (−2) (−2) (−2) \\ 4 (−2) (−2) \\ −8 (−2) \\ 16 \end{matrix}$
ⓑ Write in expanded form. We are asked to find the opposite of $2^{4} .$ Multiply. Multiply. Multiply. ⓑ 掛け算を並べた形に書く。求めるのは $2^{4}$ の符号を逆にした数である。掛ける。掛ける。掛ける。	$\begin{matrix} − 2^{4} \\ − (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \\ − (4 \cdot 2 \cdot 2) \\ − (8 \cdot 2) \\ -16 \end{matrix}$

Notice the difference in parts ⓐ and ⓑ. In part ⓐ , the exponent means to raise what is in the parentheses, the

(−2)

to the

4^{th}

power. In part ⓑ , the exponent means to raise just the 2 to the

4^{th}

power and then take the opposite.

英語のヒント

ⓐとⓑの違いに注目しよう。ⓐの指数は、括弧の中の

(−2)

を

4^{}

乗することを意味する。ⓑでは、2だけを

4^{}

乗してから、符号を逆にする。

Try It (2)確認問題（2題）

The next example reminds us to simplify inside parentheses first.

英語のヒント

次の例では、括弧の中を先に簡単にすることを確認する。

Example 1.51例題 1.51

Simplify:

12 - 3 (9 - 12) .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

12 - 3 (9 - 12)

Solution解答

Table 1.12表 1.12
	$12 - 3 (9 - 12)$
Subtract in parentheses first. まず括弧の中で引き算する。	$12 - 3 (−3)$
Multiply. 掛ける。	$12 - (−9)$
Subtract. 引く。	$21$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.52例題 1.52

Simplify:

8 (−9) \div {(−2)}^{3} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

8 (−9) \div {(−2)}^{3}

Solution解答

Table 1.13表 1.13
	$8 (−9) \div {(−2)}^{3}$
Exponents first. 累乗を先に計算する。	$8 (−9) \div (−8)$
Multiply. 掛ける。	$−72 \div (−8)$
Divide. 割る。	$9$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.53例題 1.53

Simplify:

−30 \div 2 + (−3) (−7) .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

−30 \div 2 + (−3) (−7)

Solution解答

Table 1.14表 1.14
	$−30 \div 2 + (−3) (−7)$
Multiply and divide left to right, so divide first. 乗除は左から右へ行うので、先に割る。	$−15 + (−3) (−7)$
Multiply. 掛ける。	$−15 + 21$
Add. 足す。	$6$

Try It (2)確認問題（2題）

Evaluate Variable Expressions with Integers整数を使って変数を含む式の値を求める

Remember that to evaluate an expression means to substitute a number for the variable in the expression. Now we can use negative numbers as well as positive numbers.

英語のヒント

式の値を求めるときは、式の変数に数を代入する。今は、正の数だけでなく負の数も使える。

Example 1.54例題 1.54

When

n = −5,

evaluate: ⓐ

n + 1

ⓑ

− n + 1 .

英語のヒント

n = −5

のとき、ⓐ

n + 1

、ⓑ

− n + 1

の値を求めよ。

Solution解答

ⓐ



Simplify. 簡単にする。	−4

ⓑ



Simplify. 簡単にする。
Add. 足す。	6

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.55例題 1.55

Evaluate

{(x + y)}^{2}

when

x = −18

and

y = 24 .

英語のヒント

x = −18

、

y = 24

のとき、

{(x + y)}^{2}

の値を求めよ。

Solution解答



Add inside parenthesis. 括弧の中で足し算する。	(6)²
Simplify. 簡単にする。	36

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.56例題 1.56

Evaluate

20 - z

when ⓐ

z = 12

and ⓑ

z = −12 .

英語のヒント

ⓐ

z = 12

、ⓑ

z = −12

のとき、

20 - z

の値を求めよ。

Solution解答

ⓐ



Subtract. 引く。	8

ⓑ



Subtract. 引く。	32

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.57例題 1.57

Evaluate:

2 x^{2} + 3 x + 8

when

x = 4 .

英語のヒント

x = 4

のとき、

2 x^{2} + 3 x + 8

の値を求めよ。

Solution解答

Substitute

4 for x .

Use parentheses to show multiplication.

英語のヒント

4 について x

を代入する。掛け算を示すために括弧を使う。


Substitute. 代入する。
Evaluate exponents. 累乗の値を求める。
Multiply. 掛ける。
Add. 足す。	52

Try It (2)確認問題（2題）

Translate Phrases to Expressions with Integers言葉の表現を整数を含む式に直す

Our earlier work translating English to algebra also applies to phrases that include both positive and negative numbers.

英語のヒント

英語を代数式に直すという、これまでの方法は、正の数と負の数を含む句にも使える。

Example 1.58例題 1.58

Translate and simplify: the sum of 8 and

−12,

increased by 3.

英語のヒント

式に直して簡単にせよ。8と

−12

の和を3だけ増やしたもの。

Solution解答

Table 1.15表 1.15
	the sum of 8 and $−12,$ increased by 3. 8と $−12$ の和を3だけ増やしたもの。
Translate. 式に直す。	$[8 + (−12)] + 3$
Simplify. Be careful not to confuse the brackets with an absolute value sign. 簡単にする。角括弧を絶対値記号と混同しないようにする。	$(−4) + 3$
Add. 足す。	$−1$

Try It (2)確認問題（2題）

When we first introduced the operation symbols, we saw that the expression may be read in several ways. They are listed in the chart below.

英語のヒント

演算記号を初めて紹介したとき、一つの式にいくつかの読み方があることを見た。下の表にそれらを示す。

$a - b$
$a$ minus $b$ the difference of $a$ and $b$ $b$ subtracted from $a$ $b$ less than $a$ $a$ から $b$ を引く $a$ と $b$ の差 $a$ から $b$ を引いたもの $a$ より $b$ 少ないもの

Be careful to get a and b in the right order!

英語のヒント

aとbの順序を間違えないように注意しよう。

Example 1.59例題 1.59

Translate and then simplify ⓐ the difference of 13 and

−21

ⓑ subtract 24 from

−19 .

英語のヒント

式に直して簡単にせよ。ⓐ 13と

−21

の差　ⓑ

−19

から24を引く

Solution解答

Table 1.16表 1.16
ⓐ Translate. Simplify. ⓐ 式に直す。簡単にする。	$\begin{matrix} the difference of 13 and - 21 \\ 13 - (−21) \\ 34 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 差： 13 と - 21 \\ 13 - (−21) \\ 34 \end{matrix}$
ⓑ Translate. Remember, "subtract $b$ from $a$ means $a - b$ . Simplify. ⓑ 式に直す。「 $a$ から $b$ を引く」は $a - b$ を意味する。簡単にする。	$\begin{matrix} subtract 24 from - 19 \\ - 19 - 24 \\ - 43 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 取り除きたい： 24 引く元の数： - 19 \\ - 19 - 24 \\ - 43 \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Once again, our prior work translating English to algebra transfers to phrases that include both multiplying and dividing integers. Remember that the key word for multiplication is “product” and for division is “quotient.”

英語のヒント

英語を代数式に直す方法は、整数の乗法や除法を含む句にも同じように使える。乗法のキーワードはproduct（積）、除法はquotient（商）である。

Example 1.60例題 1.60

Translate to an algebraic expression and simplify if possible: the product of

−2

and 14.

英語のヒント

代数式に直し、できれば簡単にせよ。

−2

と14の積。

Solution解答

Table 1.17表 1.17
	$the product of −2 and 14$ $積： −2 と 14$
Translate. 式に直す。	$(−2) (14)$
Simplify. 簡単にする。	$−28$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.61例題 1.61

Translate to an algebraic expression and simplify if possible: the quotient of

−56

and

−7 .

英語のヒント

代数式に直し、できれば計算せよ：

−56

と

−7

の商。

Solution解答

Table 1.18表 1.18
	$the quotient of −56 and −7$ $商： −56 と −7$
Translate. 式に直す。	$−56 \div (−7)$
Simplify. 簡単にする。	$8$

Try It (2)確認問題（2題）