第1章基礎

Simplify Fractions分数を約分する

A fraction is considered simplified if there are no common factors, other than 1, in its numerator and denominator.

英語のヒント

分子と分母に1以外の共通の因数がない分数を、これ以上約分できない分数という。

For example,

英語のヒント

例えば、

$\frac{2}{3}$ is simplified because there are no common factors of 2 and 3.
英語のヒント
$\frac{2}{3}$ は、2と3に共通の因数がないので、これ以上約分できない。
$\frac{10}{15}$ is not simplified because $5$ is a common factor of 10 and 15.
英語のヒント
$\frac{10}{15}$ は、10と15に共通の因数 $5$ があるので、まだ約分できる。

The phrase reduce a fraction means to simplify the fraction. We simplify, or reduce, a fraction by removing the common factors of the numerator and denominator. A fraction is not simplified until all common factors have been removed. If an expression has fractions, it is not completely simplified until the fractions are simplified.

英語のヒント

reduce a fractionは、分数を簡単にする、つまり約分することを意味する。分子と分母の共通の因数を取り除いて約分する。すべての共通の因数を取り除くまでは、約分は完了しない。分数を含む式も、その分数を約分するまでは完全に簡単にしたことにならない。

In Example 1.64, we used the equivalent fractions property to find equivalent fractions. Now we’ll use the equivalent fractions property in reverse to simplify fractions. We can rewrite the property to show both forms together.

英語のヒント

例題1.64では、等しい分数の性質を使って、同じ値の分数を求めた。今度は、その性質を逆向きに使って約分する。両方の形をまとめて示すように、性質を書き直せる。

Example 1.65例題 1.65

Simplify:

- \frac{32}{56} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

- \frac{32}{56}

Solution解答

	$- \frac{32}{56}$
Rewrite the numerator and denominator showing the common factors. 共通の因数が分かるように、分子と分母を書き直す。
Simplify using the equivalent fractions property. 等しい分数の性質を使って約分する。	$- \frac{4}{7}$

Notice that the fraction

- \frac{4}{7}

is simplified because there are no more common factors.

英語のヒント

分数

- \frac{4}{7}

にはもう共通の因数がないので、これ以上約分できない。

Try It (2)確認問題（2題）

Sometimes it may not be easy to find common factors of the numerator and denominator. When this happens, a good idea is to factor the numerator and the denominator into prime numbers. Then divide out the common factors using the equivalent fractions property.

英語のヒント

分子と分母の共通の因数を見つけにくいこともある。そのときは、分子と分母を素因数分解するとよい。その後、等しい分数の性質を使って共通の因数を割って取り除く。

Example 1.66例題 1.66

How to Simplify a Fraction分数を約分する方法

Simplify:

- \frac{210}{385} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

- \frac{210}{385}

Solution解答

3列3行の表。第1行の左は「手順1．共通の因数が分かるように分子と分母を書き直す。必要なら因数の木を使う」。中央は「210と285を素数の積に書き直す」。右には−210/385、その下に2×3×5×7という式があり、5が青、7が赤である。

次の行の左は「手順2．等しい分数の性質を使い、共通の因数を割って取り除く」。中央は「共通の因数5と7に印を付ける」。右は(2×3×5×7)/(5×7×11)で、分子と分母の5と7に取消線がある。その下に−(2×3)/11とある。

Try It (2)確認問題（2題）

We now summarize the steps you should follow to simplify fractions.

英語のヒント

分数を約分する手順をまとめよう。

Example 1.67例題 1.67

Simplify:

\frac{5 x}{5 y} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{5 x}{5 y}

Solution解答

	$\frac{5 x}{5 y}$
Rewrite showing the common factors, then divide out the common factors. 共通の因数が分かるように書き直し、共通の因数を割って取り除く。
Simplify. 簡単にする。	$\frac{x}{y}$

Try It (2)確認問題（2題）

Multiply Fractions分数のかけ算

Many people find multiplying and dividing fractions easier than adding and subtracting fractions. So we will start with fraction multiplication.

英語のヒント

分数の乗法と除法は、加法や減法より簡単だと感じる人が多い。そこで、分数の乗法から始めよう。

Additional Resources追加教材

We’ll use a model to show you how to multiply two fractions and to help you remember the procedure. Let’s start with

\frac{3}{4} .

英語のヒント

二つの分数を掛ける方法をモデルで示し、手順を覚える助けにしよう。

\frac{3}{4}

から始める。

Now we’ll take

\frac{1}{2}

\frac{3}{4} .

英語のヒント

今度は、

\frac{3}{4}

の

\frac{1}{2}

を取る。

正方形四つを横一列に並べた長方形で、最初の三つが塗られている。その三つの下半分が、斜線でさらに濃く塗られている。

Notice that now, the whole is divided into 8 equal parts. So

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} .

英語のヒント

全体が八つの等しい部分に分かれたことに注目しよう。したがって

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

となる。

To multiply fractions, we multiply the numerators and multiply the denominators.

英語のヒント

分数を掛けるには、分子同士、分母同士を掛ける。

When multiplying fractions, the properties of positive and negative numbers still apply, of course. It is a good idea to determine the sign of the product as the first step. In Example 1.68, we will multiply negative and a positive, so the product will be negative.

英語のヒント

分数の乗法でも、正負の数の性質はもちろん成り立つ。最初に積の符号を決めるとよい。例題1.68では、負と正を掛けるので、積は負になる。

Example 1.68例題 1.68

Multiply:

- \frac{11}{12} \cdot \frac{5}{7} .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

- \frac{11}{12} \cdot \frac{5}{7}

Solution解答

The first step is to find the sign of the product. Since the signs are the different, the product is negative.

英語のヒント

まず積の符号を決める。符号が異なるので、積は負になる。

Table 1.20表 1.20
	$- \frac{11}{12} \cdot \frac{5}{7}$
Determine the sign of the product; multiply. 積の符号を決めてから、かけ算をする。	$- \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 7}$
Are there any common factors in the numerator and the demoninator? No. 分子と分母に共通の因数はあるか。ない。	$- \frac{55}{84}$

Try It (2)確認問題（2題）

When multiplying a fraction by an integer, it may be helpful to write the integer as a fraction. Any integer, a, can be written as

\frac{a}{1} .

So, for example,

3 = \frac{3}{1} .

英語のヒント

分数と整数を掛けるときは、整数を分数で書くと分かりやすい。どんな整数aも

\frac{a}{1}

と書ける。たとえば

3 = \frac{3}{1}

である。

Example 1.69例題 1.69

Multiply:

- \frac{12}{5} (−20 x) .

英語のヒント

次の乗法を計算する：

- \frac{12}{5} (−20 x)

Solution解答

Determine the sign of the product. The signs are the same, so the product is positive.

英語のヒント

積の符号を決める。符号が同じなので、積は正になる。

	$- \frac{12}{5} (−20 x)$
Write $20 x$ as a fraction. $20 x$ を分数で表す。	$\frac{12}{5} (\frac{20 x}{1})$
Multiply. 掛ける。
Rewrite 20 to show the common factor 5 and divide it out. 共通の因数5が分かるように20を書き直し、5を割って取り除く。
Simplify. 簡単にする。	$48 x$

Try It (2)確認問題（2題）

Divide Fractions分数のわり算

Now that we know how to multiply fractions, we are almost ready to divide. Before we can do that, we need some vocabulary.

英語のヒント

分数の掛け方が分かったので、割り算の準備もほぼ整った。その前に、いくつか用語を学ぼう。

The reciprocal of a fraction is found by inverting the fraction, placing the numerator in the denominator and the denominator in the numerator. The reciprocal of

\frac{2}{3}

\frac{3}{2} .

英語のヒント

分数の逆数は、分子と分母を入れ替えて求める。分子を分母へ、分母を分子へ移す。

\frac{2}{3}

の逆数は

\frac{3}{2}

である。

Notice that

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1 .

A number and its reciprocal multiply to 1.

英語のヒント

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1

であることに注目しよう。ある数とその逆数を掛けると1になる。

To get a product of positive 1 when multiplying two numbers, the numbers must have the same sign. So reciprocals must have the same sign.

英語のヒント

二つの数を掛けて正の1にするには、二つの数の符号が同じでなければならない。したがって、ある数とその逆数は同符号である。

The reciprocal of

- \frac{10}{7}

- \frac{7}{10},

since

- \frac{10}{7} (- \frac{7}{10}) = 1 .

英語のヒント

- \frac{10}{7} (- \frac{7}{10}) = 1

なので、

- \frac{10}{7}

の逆数は

- \frac{7}{10}

である。

Additional Resources追加教材

To divide fractions, we multiply the first fraction by the reciprocal of the second.

英語のヒント

分数を割るには、最初の分数に二つ目の分数の逆数を掛ける。

We need to say

b \neq 0, c \neq 0 and d \neq 0

to be sure we don’t divide by zero!

英語のヒント

ゼロで割らないように、

b \neq 0, c \neq 0 と d \neq 0

という条件が必要である。

Example 1.70例題 1.70

Divide:

- \frac{2}{3} \div \frac{n}{5} .

英語のヒント

次の除法を計算する：

- \frac{2}{3} \div \frac{n}{5}

Solution解答

Table 1.21表 1.21
	$- \frac{2}{3} \div \frac{n}{5}$
To divide, multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 割り算では、最初の分数に二つ目の分数の逆数を掛ける。	$- \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{n}$
Multiply. 掛ける。	$- \frac{10}{3 n}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.71例題 1.71

Find the quotient:

- \frac{7}{18} \div (- \frac{14}{27}) .

英語のヒント

商を求める：

- \frac{7}{18} \div (- \frac{14}{27})

Solution解答

	$- \frac{7}{18} \div (− \frac{14}{27})$
To divide, multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 割り算では、最初の分数に二つ目の分数の逆数を掛ける。	$- \frac{7}{18} \cdot − \frac{27}{14}$
Determine the sign of the product, and then multiply.. 積の符号を決めてから、掛ける。	$\frac{7 \cdot 27}{18 \cdot 14}$
Rewrite showing common factors. 共通の因数が分かる形に書き直す。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。	$\frac{3}{2 \cdot 2}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{3}{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

There are several ways to remember which steps to take to multiply or divide fractions. One way is to repeat the call outs to yourself. If you do this each time you do an exercise, you will have the steps memorized.

英語のヒント

分数の乗法や除法の手順を覚える方法はいくつかある。一つは、自分で手順を繰り返し唱えることである。問題を解くたびに行えば、手順が身に付く。

“To multiply fractions, multiply the numerators and multiply the denominators.”
英語のヒント
「分数を掛けるには、分子同士と分母同士を掛ける。」
“To divide fractions, multiply the first fraction by the reciprocal of the second.”
英語のヒント
「分数を割るには、最初の分数に二つ目の分数の逆数を掛ける。」

Another way is to keep two examples in mind:

英語のヒント

次の二つの例を覚えておく方法もある。

二列の図。左は「ピザ2枚の4分の1は、ピザ2分の1枚である」。その下に、中央の線で二等分したピザ2枚が並び、各半分に「2分の1」とある。下に2×1/4、2/1×1/4、2/4、1/2と順に示す。右は「2ドルには25セント硬貨8枚が含まれる」。下に25セント硬貨が4枚ずつ2行に並ぶ。その下に2÷1/4、2/1÷1/4、2/1×4/1、答え8と順に示す。

The numerators or denominators of some fractions contain fractions themselves. A fraction in which the numerator or the denominator is a fraction is called a complex fraction.

英語のヒント

分子や分母自体が分数であるものもある。このように、分子または分母が分数である分数を、繁分数という。

Some examples of complex fractions are:

英語のヒント

繁分数の例をいくつか示す。

\frac{\frac{6}{7}}{3} \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} \frac{\frac{x}{2}}{\frac{5}{6}}

To simplify a complex fraction, we remember that the fraction bar means division. For example, the complex fraction

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}

means

\frac{3}{4} \div \frac{5}{8} .

英語のヒント

繁分数を簡単にするには、分数線が割り算を意味することを思い出そう。たとえば、繁分数

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}

は

\frac{3}{4} \div \frac{5}{8}

を意味する。

Example 1.72例題 1.72

Simplify:

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}

Solution解答

	$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}$
Rewrite as division. わり算の形に書き直す。	$\frac{3}{4} \div \frac{5}{8}$
Multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 1つ目の分数に、2つ目の分数の逆数を掛ける。	$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 5}$
Look for common factors. 共通の因数を探す。
Divide out common factors and simplify. 共通の因数を割って取り除き、簡単にする。	$\frac{6}{5}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.73例題 1.73

Simplify:

\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x y}{6}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x y}{6}}

Solution解答

	$\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x y}{6}}$
Rewrite as division. わり算の形に書き直す。	$\frac{x}{2} \div \frac{x y}{6}$
Multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 1つ目の分数に、2つ目の分数の逆数を掛ける。	$\frac{x}{2} \cdot \frac{6}{x y}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{x \cdot 6}{2 \cdot x y}$
Look for common factors. 共通の因数を探す。
Divide out common factors and simplify. 共通の因数を割って取り除き、簡単にする。	$\frac{3}{y}$

Try It (2)確認問題（2題）