第8章有理式と有理方程式

Simplify Rational Expressions有理式を簡単にする

Just like a fraction is considered simplified if there are no common factors, other than 1, in its numerator and denominator, a rational expression is simplified if it has no common factors, other than 1, in its numerator and denominator.

英語のヒント

分数は、分子と分母に1以外の共通因子がなければ簡単な形であるとみなされる。同じように分数式も、分子と分母に1以外の共通因子がなければ簡単な形であるとみなされる。

For example:

英語のヒント

例えば、次のとおりである。

$\frac{2}{3}$ is simplified because there are no common factors of 2 and 3.
英語のヒント
$\frac{2}{3}$ は、2と3に共通因子がないため簡単な形である。
$\frac{2 x}{3 x}$ is not simplified because x is a common factor of 2x and 3x.
英語のヒント
$\frac{2 x}{3 x}$ は、xが2xと3xの共通因子であるため簡単な形ではない。

We use the Equivalent Fractions Property to simplify numerical fractions. We restate it here as we will also use it to simplify rational expressions.

英語のヒント

数値の分数を簡単にするには、分数の同値性を用いる。分数式を簡単にする際にも使うため、ここでもう一度述べる。

Notice that in the Equivalent Fractions Property, the values that would make the denominators zero are specifically disallowed. We see

b \neq 0, c \neq 0

clearly stated. Every time we write a rational expression, we should make a similar statement disallowing values that would make a denominator zero. However, to let us focus on the work at hand, we will omit writing it in the examples.

英語のヒント

分数の同値性では、分母を0にする値が明確に除外されていることに注意する。

b \neq 0, c \neq 0

と明記されている。分数式を書くときは毎回、同じように分母を0にする値を除外することを記す必要がある。ただし、今取り組んでいる計算に集中できるよう、例ではその記述を省略する。

Let’s start by reviewing how we simplify numerical fractions.

英語のヒント

まず、数値の分数を簡単にする方法を復習しよう。

Example 8.5例題 8.5

Simplify:

- \frac{36}{63} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

- \frac{36}{63}

Solution解答


Rewrite the numerator and denominator showing the common factors. 共通因子が分かるように分子と分母を書き直す。
Simplify using the Equivalent Fractions Property. 分数の同値性を用いて簡単にする。

Notice that the fraction

- \frac{4}{7}

is simplified because there are no more common factors.

英語のヒント

分数

- \frac{4}{7}

は、共通因子がもうないため簡単な形であることに注意する。

Try It (2)確認問題（2題）

Throughout this chapter, we will assume that all numerical values that would make the denominator be zero are excluded. We will not write the restrictions for each rational expression, but keep in mind that the denominator can never be zero. So in this next example,

x \neq 0

and

y \neq 0

英語のヒント

この章を通して、分母を0にするすべての数値は除外されていると考える。分数式ごとに制限は書かないが、分母は決して0になれないことを覚えておこう。したがって、次の例では

x \neq 0

かつ

y \neq 0

である。

Example 8.6例題 8.6

Simplify:

\frac{3 x y}{18 x^{2} y^{2}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{3 x y}{18 x^{2} y^{2}}

Solution解答


Rewrite the numerator and denominator showing the common factors. 共通因子が分かるように分子と分母を書き直す。
Simplify using the Equivalent Fractions Property. 分数の同値性を用いて簡単にする。

Did you notice that these are the same steps we took when we divided monomials in Polynomials?

英語のヒント

これが「多項式」で単項式を割ったときと同じ手順であることに気づいただろうか。

Try It (2)確認問題（2題）

To simplify rational expressions we first write the numerator and denominator in factored form. Then we remove the common factors using the Equivalent Fractions Property.

英語のヒント

分数式を簡単にするには、まず分子と分母を因数分解した形で書く。次に、分数の同値性を使って共通因子を取り除く。

Be very careful as you remove common factors. Factors are multiplied to make a product. You can remove a factor from a product. You cannot remove a term from a sum.

英語のヒント

共通因子を取り除くときは十分に注意する。因子を掛け合わせると積になる。積から因子を取り除くことはできるが、和から項を取り除くことはできない。

この図には3列ある。1列目は、分子と分母を因数分解した形で示している。分子は2×3×7、分母は3×5×7で、共通因子の3と7に取り消し線が引かれている。1列目の2行目には、3と7を消した後に残る2/5が分数の形で示されている。1列目の最終行には「共通因子の3と7を取り除いた。これらは積を構成する因子である」とある。中央の列の1行目では、分子に3xと、括弧に入ったx−9が示されている。分母には5と、括弧に入ったx−9が示されている。共通因子のx−9に取り消し線が引かれている。中央の列の2行目には、共通因子を取り除いた後に残る3x/5が分数の形で示されている。中央の列の最終行には「共通因子x−9を取り除いた。これは積を構成する因子である」とある。3列目の1行目では、分子がx＋5、分母がxである。2行目には「共通因子なし」、3行目には「分子と分母の両方にxがあるが、分子のxは和を構成する項である」とある。

Note that removing the x’s from

\frac{x + 5}{x}

would be like cancelling the 2’s in the fraction

\frac{2 + 5}{2}

英語のヒント

\frac{x + 5}{x}

からxを消すことは、分数

\frac{2 + 5}{2}

の2を消すようなものであることに注意しよう。

Example 8.7例題 8.7

How to Simplify Rational Binomials二項式からなる分数式を簡単にする方法

Simplify:

\frac{2 x + 8}{5 x + 20} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{2 x + 8}{5 x + 20}

Solution解答

この図は3列2行の表である。1列目は見出しの列で、各手順の名称と番号を示している。2列目は詳しい説明、3列目は数式である。上の行の最初のセルには「手順1。分子と分母を完全に因数分解する」、2番目のセルには「2x＋8と5x−20を因数分解する」とある。3番目のセルには(2x＋8)/(5x＋20)があり、その下に2(x＋4)/[5(x＋4)]がある。

2行目の最初のセルには「手順2。共通因子で約分して簡単にする」、2番目のセルには「共通因子で約分する」とある。3番目のセルには2(x＋4)/[5(x＋4)]があり、分子と分母のx＋4が消されている。簡単にすると2/5となる。

Try It (2)確認問題（2題）

We now summarize the steps you should follow to simplify rational expressions.

英語のヒント

ここで、分数式を簡単にするときに従う手順をまとめる。

Usually, we leave the simplified rational expression in factored form. This way it is easy to check that we have removed all the common factors!

英語のヒント

通常、簡単にした分数式は因数分解された形のままにしておく。この形なら、すべての共通因子を取り除いたかどうか簡単に確かめられる。

We’ll use the methods we covered in Factoring to factor the polynomials in the numerators and denominators in the following examples.

英語のヒント

以下の例では、「因数分解」で学んだ方法を用いて分子と分母の多項式を因数分解する。

Example 8.8例題 8.8

Simplify:

\frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} + 8 x + 12} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} + 8 x + 12}

Solution解答

\begin{matrix} \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} + 8 x + 12} \\ Factor the numerator and denominator. & \frac{(x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 6)} \\ \begin{matrix} Remove the common factor x + 2 from \\ the numerator and the denominator. \end{matrix} & \frac{(x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 6)} \\ \frac{x + 3}{x + 6} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} + 8 x + 12} \\ 分子と分母を因数分解する。 & \frac{(x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 6)} \\ \begin{matrix} 取り除く共通因子： x + 2 除去する場所： \\ 分子と分母。 \end{matrix} & \frac{(x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 6)} \\ \frac{x + 3}{x + 6} \end{matrix}

Can you tell which values of x must be excluded in this example?

英語のヒント

この例では、xのどの値を除外しなければならないか分かるだろうか。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.9例題 8.9

Simplify:

\frac{y^{2} + y - 42}{y^{2} - 36} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{y^{2} + y - 42}{y^{2} - 36}

Solution解答

\begin{matrix} \frac{y^{2} + y - 42}{y^{2} - 36} \\ Factor the numerator and denominator. & \frac{(y + 7) (y - 6)}{(y + 6) (y - 6)} \\ \begin{matrix} Remove the common factor y - 6 from \\ the numerator and the denominator. \end{matrix} & \frac{(y + 7) (y - 6)}{(y + 6) (y - 6)} \\ \frac{y + 7}{y + 6} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{y^{2} + y - 42}{y^{2} - 36} \\ 分子と分母を因数分解する。 & \frac{(y + 7) (y - 6)}{(y + 6) (y - 6)} \\ \begin{matrix} 取り除く共通因子： y - 6 除去する場所： \\ 分子と分母。 \end{matrix} & \frac{(y + 7) (y - 6)}{(y + 6) (y - 6)} \\ \frac{y + 7}{y + 6} \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.10例題 8.10

Simplify:

\frac{p^{3} - 2 p^{2} + 2 p - 4}{p^{2} - 7 p + 10} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{p^{3} - 2 p^{2} + 2 p - 4}{p^{2} - 7 p + 10}

Solution解答

\begin{matrix} \frac{p^{3} - 2 p^{2} + 2 p - 4}{p^{2} - 7 p + 10} \\ \begin{matrix} Factor the numerator and denominator, \\ using grouping to factor the numerator. \end{matrix} & \frac{p^{2} (p - 2) + 2 (p - 2)}{(p - 5) (p - 2)} \\ \frac{(p^{2} + 2) (p - 2)}{(p - 5) (p - 2)} \\ \begin{matrix} Remove the common factor of p - 2 \\ from the numerator and the denominator. \end{matrix} & \frac{(p^{2} + 2) (p - 2)}{(p - 5) (p - 2)} \\ \frac{p^{2} + 2}{p - 5} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{p^{3} - 2 p^{2} + 2 p - 4}{p^{2} - 7 p + 10} \\ \begin{matrix} 分子と分母を因数分解する。 \\ 分子は項をまとめて因数分解する。 \end{matrix} & \frac{p^{2} (p - 2) + 2 (p - 2)}{(p - 5) (p - 2)} \\ \frac{(p^{2} + 2) (p - 2)}{(p - 5) (p - 2)} \\ \begin{matrix} 取り除く共通因子： p - 2 \\ を分子と分母から取り除く。 \end{matrix} & \frac{(p^{2} + 2) (p - 2)}{(p - 5) (p - 2)} \\ \frac{p^{2} + 2}{p - 5} \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.11例題 8.11

Simplify:

\frac{2 n^{2} - 14 n}{4 n^{2} - 16 n - 48} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{2 n^{2} - 14 n}{4 n^{2} - 16 n - 48}

Solution解答

\begin{matrix} \frac{2 n^{2} - 14 n}{4 n^{2} - 16 n - 48} \\ \begin{matrix} Factor the numerator and denominator, \\ first factoring out the GCF. \end{matrix} & \frac{2 n (n - 7)}{4 (n^{2} - 4 n - 12)} \\ \frac{2 n (n - 7)}{4 (n - 6) (n + 2)} \\ Remove the common factor, 2. & \frac{2 n (n - 7)}{2 \cdot 2 (n - 6) (n + 2)} \\ \frac{n (n - 7)}{2 (n - 6) (n + 2)} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{2 n^{2} - 14 n}{4 n^{2} - 16 n - 48} \\ \begin{matrix} 分子と分母を因数分解する。 \\ まず最大公約因子をくくり出す。 \end{matrix} & \frac{2 n (n - 7)}{4 (n^{2} - 4 n - 12)} \\ \frac{2 n (n - 7)}{4 (n - 6) (n + 2)} \\ 共通因子2を取り除く。 & \frac{2 n (n - 7)}{2 \cdot 2 (n - 6) (n + 2)} \\ \frac{n (n - 7)}{2 (n - 6) (n + 2)} \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.12例題 8.12

Simplify:

\frac{3 b^{2} - 12 b + 12}{6 b^{2} - 24} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{3 b^{2} - 12 b + 12}{6 b^{2} - 24}

Solution解答

\begin{matrix} \frac{3 b^{2} - 12 b + 12}{6 b^{2} - 24} \\ \begin{matrix} Factor the numerator and denominator, \\ first factoring out the GCF. \end{matrix} & \frac{3 (b^{2} - 4 b + 4)}{6 (b^{2} - 4)} \\ \frac{3 (b - 2) (b - 2)}{6 (b + 2) (b - 2)} \\ Remove the common factors of b - 2 and 3 . & \frac{3 (b - 2) (b - 2)}{3 \cdot 2 (b + 2) (b - 2)} \\ \frac{b - 2}{2 (b + 2)} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{3 b^{2} - 12 b + 12}{6 b^{2} - 24} \\ \begin{matrix} 分子と分母を因数分解する。 \\ まず最大公約因子をくくり出す。 \end{matrix} & \frac{3 (b^{2} - 4 b + 4)}{6 (b^{2} - 4)} \\ \frac{3 (b - 2) (b - 2)}{6 (b + 2) (b - 2)} \\ 取り除く共通因子： b - 2 および 3 . & \frac{3 (b - 2) (b - 2)}{3 \cdot 2 (b + 2) (b - 2)} \\ \frac{b - 2}{2 (b + 2)} \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.13例題 8.13

Simplify:

\frac{m^{3} + 8}{m^{2} - 4} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{m^{3} + 8}{m^{2} - 4}

Solution解答

\begin{matrix} \frac{m^{3} + 8}{m^{2} - 4} \\ \begin{matrix} Factor the numerator and denominator, \\ using the formulas for sum of cubes and \\ difference of squares. \end{matrix} & \frac{(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4)}{(m + 2) (m - 2)} \\ Remove the common factor of m + 2 . & \frac{(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4)}{(m + 2) (m - 2)} \\ \frac{m^{2} - 2 m + 4}{m - 2} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{m^{3} + 8}{m^{2} - 4} \\ \begin{matrix} 分子と分母を因数分解する。 \\ 立方の和と \\ 平方の差の公式を用いる。 \end{matrix} & \frac{(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4)}{(m + 2) (m - 2)} \\ 取り除く共通因子： m + 2 . & \frac{(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4)}{(m + 2) (m - 2)} \\ \frac{m^{2} - 2 m + 4}{m - 2} \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify Rational Expressions with Opposite Factors互いに符号が反対の因子を持つ分数式を簡単にする

Now we will see how to simplify a rational expression whose numerator and denominator have opposite factors. Let’s start with a numerical fraction, say

\frac{7}{−7}

. We know this fraction simplifies to

−1

. We also recognize that the numerator and denominator are opposites.

英語のヒント

次に、分子と分母に互いに符号が反対の因子を持つ分数式を簡単にする方法を見ていく。まず数値の分数、例えば

\frac{7}{−7}

から始めよう。この分数を簡単にすると

−1

となることが分かる。また、分子と分母は互いに符号が反対である。

In Foundations, we introduced opposite notation: the opposite of

a

− a

. We remember, too, that

− a = −1 \cdot a

英語のヒント

「基礎」では、符号が反対の数の表記を導入した。

a

の符号を反対にした数は

− a

である。また、

− a = −1 \cdot a

であることも思い出そう。

We simplify the fraction

\frac{a}{− a}

, whose numerator and denominator are opposites, in this way:

英語のヒント

分子と分母の符号が互いに反対の分数

\frac{a}{− a}

は、次のように簡単にする。

\begin{matrix} \frac{a}{− a} \\ We could rewrite this. & \frac{1 \cdot a}{−1 \cdot a} \\ Remove the common factors. & \frac{1}{−1} \\ Simplify. & −1 \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{a}{− a} \\ これは書き直せる。 & \frac{1 \cdot a}{−1 \cdot a} \\ 共通因子を取り除く。 & \frac{1}{−1} \\ 簡単にする。 & −1 \end{matrix}

So, in the same way, we can simplify the fraction

\frac{x - 3}{− (x - 3)}

英語のヒント

したがって、同じように分数

\frac{x - 3}{− (x - 3)}

を簡単にできる。

\begin{matrix} We could rewrite this. & \frac{1 \cdot (x - 3)}{−1 \cdot (x - 3)} \\ Remove the common factors. & \frac{1}{−1} \\ Simplify. & −1 \end{matrix}

\begin{matrix} これは書き直せる。 & \frac{1 \cdot (x - 3)}{−1 \cdot (x - 3)} \\ 共通因子を取り除く。 & \frac{1}{−1} \\ 簡単にする。 & −1 \end{matrix}

But the opposite of

x - 3

could be written differently:

英語のヒント

ところが、

x - 3

の符号を反対にした式は、別の形でも書ける。

\begin{matrix} − (x - 3) \\ Distribute. & − x + 3 \\ Rewrite. & 3 - x \end{matrix}

\begin{matrix} − (x - 3) \\ 分配する。 & − x + 3 \\ 書き直す。 & 3 - x \end{matrix}

This means the fraction

\frac{x - 3}{3 - x}

simplifies to

−1

英語のヒント

これは、分数

\frac{x - 3}{3 - x}

を簡単にすると

−1

になることを意味する。

In general, we could write the opposite of

a - b

b - a

. So the rational expression

\frac{a - b}{b - a}

simplifies to

−1

英語のヒント

一般に、

a - b

の符号を反対にした式は

b - a

と書ける。したがって、分数式

\frac{a - b}{b - a}

を簡単にすると

−1

になる。

We will use this property to simplify rational expressions that contain opposites in their numerators and denominators.

英語のヒント

この性質を使い、分子と分母に互いに符号が反対の式を含む分数式を簡単にする。

Example 8.14例題 8.14

Simplify:

\frac{x - 8}{8 - x} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{x - 8}{8 - x}

Solution解答

\begin{matrix} \frac{x - 8}{8 - x} \\ Recognize that x - 8 and 8 - x are opposites. & −1 \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{x - 8}{8 - x} \\ 次のことに着目する： x - 8 および 8 - x は互いに符号が反対である。 & −1 \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Remember, the first step in simplifying a rational expression is to factor the numerator and denominator completely.

英語のヒント

分数式を簡単にする最初の手順は、分子と分母を完全に因数分解することであると思い出そう。

Example 8.15例題 8.15

Simplify:

\frac{14 - 2 x}{x^{2} - 49} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{14 - 2 x}{x^{2} - 49}

Solution解答


Factor the numerator and denominator. 分子と分母を因数に分解する。
Recognize that $7 - x and x - 7 are opposites$ . $7 - x および x - 7 は互いに符号が反対$ であることに着目する。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.16例題 8.16

Simplify:

\frac{x^{2} - 4 x - 32}{64 - x^{2}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{x^{2} - 4 x - 32}{64 - x^{2}}

Solution解答


Factor the numerator and denominator. 分子と分母を因数に分解する。
Recognize the factors that are opposites. 互いに符号が反対の因子に着目する。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）