第8章有理式と有理方程式

8.1 Simplify Rational Expressions8.1　有理式を簡単にする

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

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この節を終えると、次のことができるようになる。

Determine the values for which a rational expression is undefined
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分数式が定義されない値を求める
Evaluate rational expressions
英語のヒント
分数式の値を求める
Simplify rational expressions
英語のヒント
分数式を簡単にする
Simplify rational expressions with opposite factors
英語のヒント
互いに符号が反対の因子を持つ分数式を簡単にする

Before You Begin (3)準備問題（3題）

In Chapter 1, we reviewed the properties of fractions and their operations. We introduced rational numbers, which are just fractions where the numerators and denominators are integers, and the denominator is not zero.

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第1章では、分数の性質と計算を復習した。有理数を導入したが、これは分子と分母が整数で、分母が0ではない分数のことである。

In this chapter, we will work with fractions whose numerators and denominators are polynomials. We call these rational expressions.

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この章では、分子と分母が多項式である分数を扱う。これらを分数式と呼ぶ。

Remember, division by 0 is undefined.

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0で割ることは定義されていないことを思い出そう。

Here are some examples of rational expressions:

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分数式の例をいくつか示す。

- \frac{13}{42} \frac{7 y}{8 z} \frac{5 x + 2}{x^{2} - 7} \frac{4 x^{2} + 3 x - 1}{2 x - 8}

Notice that the first rational expression listed above,

- \frac{13}{42},

is just a fraction. Since a constant is a polynomial with degree zero, the ratio of two constants is a rational expression, provided the denominator is not zero.

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上に挙げた最初の分数式

- \frac{13}{42}

は、単なる分数であることに注意する。定数は次数が0の多項式なので、二つの定数の比は、分母が0でない限り分数式となる。

We will perform the same operations with rational expressions that we do with fractions. We will simplify, add, subtract, multiply, divide, and use them in applications.

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分数式に対しても、分数と同じ計算を行う。簡単にする、足す、引く、掛ける、割るという操作を行い、応用問題にも用いる。

Determine the Values for Which a Rational Expression is Undefined有理式が定義されない値を求める

When we work with a numerical fraction, it is easy to avoid dividing by zero, because we can see the number in the denominator. In order to avoid dividing by zero in a rational expression, we must not allow values of the variable that will make the denominator be zero.

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数値の分数では分母の数が見えるため、0で割ることを簡単に避けられる。分数式で0による割り算を避けるには、分母を0にする変数の値を認めてはならない。

If the denominator is zero, the rational expression is undefined. The numerator of a rational expression may be 0—but not the denominator.

英語のヒント

分母が0なら、その分数式は定義されない。分数式の分子は0でもよいが、分母は0ではいけない。

So before we begin any operation with a rational expression, we examine it first to find the values that would make the denominator zero. That way, when we solve a rational equation for example, we will know whether the algebraic solutions we find are allowed or not.

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そこで、分数式の計算を始める前に、まず分母を0にする値を調べる。そうすれば、例えば分数方程式を解く際に、代数的に得た解が認められるかどうかが分かる。

Example 8.1例題 8.1

Determine the values for which the rational expression is undefined:

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次の分数式が定義されない値を求めよ。

ⓐ

\frac{9 y}{x}

ⓑ

\frac{4 b - 3}{2 b + 5}

ⓒ

\frac{x + 4}{x^{2} + 5 x + 6}

Solution解答

The expression will be undefined when the denominator is zero.

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分母が0のとき、この式は定義されない。

ⓐ

	$\frac{9 y}{x}$
Set the denominator equal to zero. Solve for the variable. 分母を0に等しいと置く。変数について解く。	$x = 0$
	$\frac{9 y}{x} is undefined for x = 0 .$ $\frac{9 y}{x} は次のとき定義されない： x = 0$

ⓑ

	$\frac{4 b - 3}{2 b + 5}$
Set the denominator equal to zero. Solve for the variable. 分母を0に等しいと置く。変数について解く。	$\begin{matrix} 2 b + 5 & = & 0 \\ 2 b & = & −5 \\ b & = & - \frac{5}{2} \end{matrix}$
	$\frac{4 b - 3}{2 b + 5}$ is undefined for $b = - \frac{5}{2} .$ $b = - \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{4 b - 3}{2 b + 5}$ は定義されない。

ⓒ

	$\frac{x + 4}{x^{2} + 5 x + 6}$
Set the denominator equal to zero. Solve for the variable. 分母を0に等しいと置く。変数について解く。	$\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 & = & 0 \\ (x + 2) (x + 3) & = & 0 \\ x + 2 = 0 or x + 3 & = & 0 \\ x = −2 or x & = & −3 \end{matrix}$ $\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 & = & 0 \\ (x + 2) (x + 3) & = & 0 \\ x + 2 = 0 または x + 3 & = & 0 \\ x = −2 または x & = & −3 \end{matrix}$
	$\frac{x + 4}{x^{2} + 5 x + 6}$ is undefined for $x = −2 or x = −3 .$ $x = −2 または x = −3$ のとき、 $\frac{x + 4}{x^{2} + 5 x + 6}$ は定義されない。

Saying that the rational expression

\frac{x + 4}{x^{2} + 5 x + 6}

is undefined for

x = −2 or x = −3

is similar to writing the phrase “void where prohibited” in contest rules.

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分数式

\frac{x + 4}{x^{2} + 5 x + 6}

が

x = −2 または x = −3

のとき定義されないということは、コンテストの規約に「禁止されている地域では無効」と書くことに似ている。

Try It (2)確認問題（2題）

Evaluate Rational Expressions分数式の値を求める

To evaluate a rational expression, we substitute values of the variables into the expression and simplify, just as we have for many other expressions in this book.

英語のヒント

分数式の値を求めるには、この本でほかの多くの式に対して行ってきたのと同じように、変数の値を式に代入して簡単にする。

Example 8.2例題 8.2

Evaluate

\frac{2 x + 3}{3 x - 5}

for each value:

英語のヒント

それぞれの値について

\frac{2 x + 3}{3 x - 5}

の値を求めよ：

ⓐ

x = 0

ⓑ

x = 2

ⓒ

x = −3

Solution解答

ⓐ



Simplify. 簡単にする。

ⓑ



Simplify. 簡単にする。

ⓒ



Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.3例題 8.3

Evaluate

\frac{x^{2} + 8 x + 7}{x^{2} - 4}

for each value:

英語のヒント

それぞれの値について

\frac{x^{2} + 8 x + 7}{x^{2} - 4}

の値を求めよ：

ⓐ

x = 0

ⓑ

x = 2

ⓒ

x = −1

Solution解答

ⓐ



Simplify. 簡単にする。

ⓑ



Simplify. 簡単にする。

This rational expression is undefined for x = 2. この分数式はx = 2のとき定義されない。

ⓒ



Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Remember that a fraction is simplified when it has no common factors, other than 1, in its numerator and denominator. When we evaluate a rational expression, we make sure to simplify the resulting fraction.

英語のヒント

分数は、分子と分母に1以外の共通因子がないとき、簡単な形になっていることを思い出そう。分数式の値を求めるときは、得られた分数を必ず簡単にする。

Example 8.4例題 8.4

Evaluate

\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{3 a b^{2}}

for each value:

英語のヒント

それぞれの値について

\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{3 a b^{2}}

の値を求めよ：

ⓐ

a = 1, b = 2

ⓑ

a = −2, b = −1

ⓒ

a = \frac{1}{3}, b = 0

Solution解答

ⓐ

	$\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{3 a b^{2}}$ when $a = 1, b = 2$ . $a = 1, b = 2$ のとき、 $\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{3 a b^{2}}$ となる。

Simplify. 簡単にする。

ⓑ

	$\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{3 a b^{2}}$ when $a = −2, b = −1$ . $a = −2, b = −1$ のとき、 $\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{3 a b^{2}}$ となる。

Simplify. 簡単にする。

ⓒ

	$\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{3 a b^{2}}$ when $a = \frac{1}{3}, b = 0$ . $a = \frac{1}{3}, b = 0$ のとき、 $\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{3 a b^{2}}$ となる。

Simplify. 簡単にする。

	The expression is undefined. この式は定義されない。

Try It (2)確認問題（2題）

第8章有理式と有理方程式

8.1 Simplify Rational Expressions8.1 有理式を簡単にする

Learning Objectives学習目標

Determine the Values for Which a Rational Expression is Undefined有理式が定義されない値を求める

Solution解答

Evaluate Rational Expressions分数式の値を求める

Solution解答

Solution解答

Solution解答

8.1 Simplify Rational Expressions8.1　有理式を簡単にする