第8章有理式と有理方程式

Key Concepts重要な概念

To Simplify a Rational Expression by Writing it as Division
英語のヒント
割り算として書いて分数式を簡単にするには
1. Simplify the numerator and denominator.
  英語のヒント
  分子と分母を簡単にする。
2. Rewrite the complex rational expression as a division problem.
  英語のヒント
  繁分数式を割り算の問題に書き直す。
3. Divide the expressions.
  英語のヒント
  式を割る。
To Simplify a Complex Rational Expression by Using the LCD
英語のヒント
LCDを用いて繁分数式を簡単にするには
1. Find the LCD of all fractions in the complex rational expression.
  英語のヒント
  繁分数式に含まれるすべての分数のLCDを求める。
2. Multiply the numerator and denominator by the LCD.
  英語のヒント
  分子と分母に最小公分母を掛ける。
3. Simplify the expression.
  英語のヒント
  式を簡単にする。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 255–270練習問題 255–270

Simplify a Complex Rational Expression by Writing It as Division

英語のヒント

割り算として書いて繁分数式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 255問題 255

\frac{\frac{2 a}{a + 4}}{\frac{4 a^{2}}{a^{2} - 16}}

Solution解き方

\frac{a - 4}{2 a}

Exercise 256問題 256

\frac{\frac{3 b}{b - 5}}{\frac{b^{2}}{b^{2} - 25}}

Exercise 257問題 257

\frac{\frac{5}{c^{2} + 5 c - 14}}{\frac{10}{c + 7}}

Solution解き方

\frac{1}{2 (c - 2)}

Exercise 258問題 258

\frac{\frac{8}{d^{2} + 9 d + 18}}{\frac{12}{d + 6}}

Exercise 259問題 259

\frac{\frac{1}{2} + \frac{5}{6}}{\frac{2}{3} + \frac{7}{9}}

Solution解き方

\frac{12}{13}

Exercise 260問題 260

\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{\frac{3}{5} + \frac{7}{10}}

Exercise 261問題 261

\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{9}}{\frac{3}{4} + \frac{5}{6}}

Solution解き方

\frac{20}{57}

Exercise 262問題 262

\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}}{\frac{2}{3} + \frac{3}{4}}

Exercise 263問題 263

\frac{\frac{n}{m} + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - \frac{n}{m}}

Solution解き方

\frac{n^{2} + m}{m - n^{2}}

Exercise 264問題 264

\frac{\frac{1}{p} + \frac{p}{q}}{\frac{q}{p} - \frac{1}{q}}

Exercise 265問題 265

\frac{\frac{1}{r} + \frac{1}{t}}{\frac{1}{r^{2}} - \frac{1}{t^{2}}}

Solution解き方

\frac{r t}{t - r}

Exercise 266問題 266

\frac{\frac{2}{v} + \frac{2}{w}}{\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{w^{2}}}

Exercise 267問題 267

\frac{x - \frac{2 x}{x + 3}}{\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3}}

Solution解き方

\frac{(x + 1) (x - 3)}{2}

Exercise 268問題 268

\frac{y - \frac{2 y}{y - 4}}{\frac{2}{y - 4} - \frac{2}{y + 4}}

Exercise 269問題 269

\frac{2 - \frac{2}{a + 3}}{\frac{1}{a + 3} + \frac{a}{2}}

Solution解き方

\frac{4}{a + 1}

Exercise 270問題 270

\frac{4 - \frac{4}{b - 5}}{\frac{1}{b - 5} + \frac{b}{4}}

Exercises 271–290練習問題 271–290

Simplify a Complex Rational Expression by Using the LCD

英語のヒント

LCDを用いて繁分数式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 271問題 271

\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{8}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{12}}

Solution解き方

\frac{11}{8}

Exercise 272問題 272

\frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}}{\frac{1}{6} + \frac{1}{12}}

Exercise 273問題 273

\frac{\frac{5}{6} + \frac{2}{9}}{\frac{7}{18} - \frac{1}{3}}

Solution解き方

19

Exercise 274問題 274

\frac{\frac{1}{6} + \frac{4}{15}}{\frac{3}{5} - \frac{1}{2}}

Exercise 275問題 275

\frac{\frac{c}{d} + \frac{1}{d}}{\frac{1}{d} - \frac{d}{c}}

Solution解き方

\frac{c^{2} + c}{c - d^{2}}

Exercise 276問題 276

\frac{\frac{1}{m} + \frac{m}{n}}{\frac{n}{m} - \frac{1}{n}}

Exercise 277問題 277

\frac{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}}{\frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{q^{2}}}

Solution解き方

\frac{p q}{q - p}

Exercise 278問題 278

\frac{\frac{2}{r} + \frac{2}{t}}{\frac{1}{r^{2}} - \frac{1}{t^{2}}}

Exercise 279問題 279

\frac{\frac{2}{x + 5}}{\frac{3}{x - 5} + \frac{1}{x^{2} - 25}}

Solution解き方

\frac{2 x - 10}{3 x + 16}

Exercise 280問題 280

\frac{\frac{5}{y - 4}}{\frac{3}{y + 4} + \frac{2}{y^{2} - 16}}

Exercise 281問題 281

\frac{\frac{5}{z^{2} - 64} + \frac{3}{z + 8}}{\frac{1}{z + 8} + \frac{2}{z - 8}}

Solution解き方

\frac{3 z - 19}{3 z + 8}

Exercise 282問題 282

\frac{\frac{3}{s + 6} + \frac{5}{s - 6}}{\frac{1}{s^{2} - 36} + \frac{4}{s + 6}}

Exercise 283問題 283

\frac{\frac{4}{a^{2} - 2 a - 15}}{\frac{1}{a - 5} + \frac{2}{a + 3}}

Solution解き方

\frac{4}{3 a - 7}

Exercise 284問題 284

\frac{\frac{5}{b^{2} - 6 b - 27}}{\frac{3}{b - 9} + \frac{1}{b + 3}}

Exercise 285問題 285

\frac{\frac{5}{c + 2} - \frac{3}{c + 7}}{\frac{5 c}{c^{2} + 9 c + 14}}

Solution解き方

\frac{2 c + 29}{5 c}

Exercise 286問題 286

\frac{\frac{6}{d - 4} - \frac{2}{d + 7}}{\frac{2 d}{d^{2} + 3 d - 28}}

Exercise 287問題 287

\frac{2 + \frac{1}{p - 3}}{\frac{5}{p - 3}}

Solution解き方

\frac{(2 p - 5)}{5}

Exercise 288問題 288

\frac{\frac{n}{n - 2}}{3 + \frac{5}{n - 2}}

Exercise 289問題 289

\frac{\frac{m}{m + 5}}{4 + \frac{1}{m - 5}}

Solution解き方

\frac{m (m - 5)}{4 m^{2} + m - 95}

Exercise 290問題 290

\frac{7 + \frac{2}{q - 2}}{\frac{1}{q + 2}}

Exercises 291–298練習問題 291–298

Simplify

英語のヒント

簡単にする。

In the following exercises, use either method.

英語のヒント

次の各問で、どちらかの方法を用いよ。

Exercise 291問題 291

\frac{\frac{3}{4} - \frac{2}{7}}{\frac{1}{2} + \frac{5}{14}}

Solution解き方

\frac{13}{24}

Exercise 292問題 292

\frac{\frac{v}{w} + \frac{1}{v}}{\frac{1}{v} - \frac{v}{w}}

Exercise 293問題 293

\frac{\frac{2}{a + 4}}{\frac{1}{a^{2} - 16}}

Solution解き方

2 (a - 4)

Exercise 294問題 294

\frac{\frac{3}{b^{2} - 3 b - 40}}{\frac{5}{b + 5} - \frac{2}{b - 8}}

Exercise 295問題 295

\frac{\frac{3}{m} + \frac{3}{n}}{\frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}}}

Solution解き方

\frac{3 m n}{n - m}

Exercise 296問題 296

\frac{\frac{2}{r - 9}}{\frac{1}{r + 9} + \frac{3}{r^{2} - 81}}

Exercise 297問題 297

\frac{x - \frac{3 x}{x + 2}}{\frac{3}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}}

Solution解き方

\frac{(x - 1) (x - 2)}{6}

Exercise 298問題 298

\frac{\frac{y}{y + 3}}{2 + \frac{1}{y - 3}}

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 299–300練習問題 299–300

Exercise 299問題 299

Electronics The resistance of a circuit formed by connecting two resistors in parallel is

\frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}}

英語のヒント

電子回路二つの抵抗器を並列につないだ回路の抵抗は

\frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}}

である。

ⓐ Simplify the complex fraction $\frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}}$ .
英語のヒント
ⓐ 繁分数 $\frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}}$ を簡単にせよ。
ⓑ Find the resistance of the circuit when $R_{1} = 8$ and $R_{2} = 12$ .
英語のヒント
ⓑ $R_{1} = 8$ かつ $R_{2} = 12$ のとき、回路の抵抗を求めよ。

Solution解き方

ⓐ

\frac{R_{1} R_{2}}{R_{2} + R_{1}}

ⓑ

\frac{24}{5}

Exercise 300問題 300

Ironing Lenore can do the ironing for her family’s business in

h

hours. Her daughter would take

h + 2

hours to get the ironing done. If Lenore and her daughter work together, using 2 irons, the number of hours it would take them to do all the ironing is

\frac{1}{\frac{1}{h} + \frac{1}{h + 2}}

英語のヒント

アイロンがけレノアは家業のアイロンがけを

h

時間で終えられる。娘はそのアイロンがけを終えるのに

h + 2

時間かかる。レノアと娘がアイロンを2台使って一緒に働くと、すべてのアイロンがけにかかる時間は

\frac{1}{\frac{1}{h} + \frac{1}{h + 2}}

となる。

ⓐ Simplify the complex fraction $\frac{1}{\frac{1}{h} + \frac{1}{h + 2}}$ .
英語のヒント
ⓐ 繁分数 $\frac{1}{\frac{1}{h} + \frac{1}{h + 2}}$ を簡単にせよ。
ⓑ Find the number of hours it would take Lenore and her daughter, working together, to get the ironing done if $h = 4$ .
英語のヒント
ⓑ $h = 4$ の場合、レノアと娘が一緒に働いてアイロンがけを終えるまでの時間を求めよ。

Writing Exercises記述問題

Exercises 301–302練習問題 301–302

Exercise 301問題 301

In this section, you learned to simplify the complex fraction

\frac{\frac{3}{x + 2}}{\frac{x}{x^{2} - 4}}

two ways:

英語のヒント

この節では、繁分数

\frac{\frac{3}{x + 2}}{\frac{x}{x^{2} - 4}}

を次の二つの方法で簡単にすることを学んだ。

rewriting it as a division problem

英語のヒント

割り算の問題に書き直す

multiplying the numerator and denominator by the LCD

英語のヒント

分子と分母にLCDを掛ける

Which method do you prefer? Why?

英語のヒント

どちらの方法を好むか。その理由は何か。

Solution解き方

Answers will vary.

英語のヒント

解答は一通りではない。

Exercise 302問題 302

Efraim wants to start simplifying the complex fraction

\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}

by cancelling the variables from the numerator and denominator. Explain what is wrong with Efraim’s plan.

英語のヒント

エフライムは、繁分数

\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}

を簡単にするために、まず分子と分母の変数を消そうとしている。エフライムの方針の何が間違っているか説明せよ。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

上の図は4列3行である。1行目は見出しで、最初の列は「私は…できる」、2列目は「自信を持って」、3列目は「少し助けがあれば」、4列目は「できない、分からない」である。1列目の「私は…できる」の下の行には「割り算として書いて繁分数式を簡単にする」、次の行には「LCDを用いて繁分数式を簡単にする」とある。残りの列は空欄である。

ⓑ After looking at the checklist, do you think you are well-prepared for the next section? Why or why not?

英語のヒント

ⓑ チェックリストを見て、次の節に進む準備が十分にできていると思うか。その理由を述べよ。

complex rational expression

繁分数式

A complex rational expression is a rational expression in which the numerator or denominator contains a rational expression.

英語のヒント

繁分数式とは、分子または分母に分数式を含む分数式である。