第8章有理式と有理方程式

8.9 Use Direct and Inverse Variation8.9　比例と反比例を用いる

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

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この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve direct variation problems
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比例の問題を解く
Solve inverse variation problems
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反比例の問題を解く

Before You Begin (3)準備問題（3題）

When two quantities are related by a proportion, we say they are proportional to each other. Another way to express this relation is to talk about the variation of the two quantities. We will discuss direct variation and inverse variation in this section.

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二つの量が比例式で関連付けられているとき、それらは互いに比例すると言う。この関係を表すもう一つの方法は、二つの量の変化について述べることである。この節では、比例と反比例を扱う。

Solve Direct Variation Problems比例の問題を解く

Lindsay gets paid $15 per hour at her job. If we let s be her salary and h be the number of hours she has worked, we could model this situation with the equation

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リンジーは仕事で時給15ドルを受け取る。給料をs、働いた時間をhとすると、この状況を次の方程式でモデル化できる。

s = 15 h

Lindsay’s salary is the product of a constant, 15, and the number of hours she works. We say that Lindsay’s salary varies directly with the number of hours she works. Two variables vary directly if one is the product of a constant and the other.

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リンジーの給料は、定数15と働いた時間との積である。給料は働いた時間に比例すると言う。一方が定数と他方の積であるとき、二つの変数は比例する。

In applications using direct variation, generally we will know values of one pair of the variables and will be asked to find the equation that relates x and y. Then we can use that equation to find values of y for other values of x.

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比例を使う応用問題では、通常、変数の一組の値が分かっており、xとyを関連付ける方程式を求めるよう問われる。次にその方程式を使って、ほかのxの値に対するyの値を求められる。

Example 8.86例題 8.86

How to Solve Direct Variation Problems比例の問題を解く方法

If y varies directly with x and

y = 20

when

x = 8

, find the equation that relates x and y.

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yはxに比例し、

x = 8

のとき

y = 20

である。xとyを関連付ける方程式を求めよ。

Solution解答

上の図には3列ある。表は比例の問題を解く手順を示している。手順1では比例の公式を書く。比例の公式はy＝kxである。したがってy＝k×xとなる。

手順2では変数に与えられた値を代入する。y＝20、x＝8が与えられているので、20＝k×8となる。

手順3では比例定数について解く。方程式の両辺を8で割り、次に掛ける。20/8＝kを得る。k＝2.5である。

手順4ではxとyを関連付ける方程式を書く。求めたkの値を使って一般式を書き直すと、y＝2.5×xとなる。

Try It (2)確認問題（2題）

We’ll list the steps below.

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手順を以下に示す。

Now we’ll solve a few applications of direct variation.

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次に、比例の応用問題をいくつか解く。

Example 8.87例題 8.87

When Raoul runs on the treadmill at the gym, the number of calories, c, he burns varies directly with the number of minutes, m, he uses the treadmill. He burned 315 calories when he used the treadmill for 18 minutes.

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ラウルがジムのランニングマシンで走るとき、消費カロリーcは使用時間m分に比例する。18分使ったとき315カロリーを消費した。

ⓐ Write the equation that relates c and m.
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ⓐ cとmを関連付ける方程式を書け。
ⓑ How many calories would he burn if he ran on the treadmill for 25 minutes?
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ⓑ ランニングマシンで25分走ると、何カロリー消費するか。

Solution解答

ⓐ

	The number of calories, $c$ , varies directly with the number of minutes, $m$ , on the treadmill, and $c = 315$ when $m = 18$ . カロリー数 $c$ はランニングマシンの使用時間 $m$ 分に比例し、 $m = 18$ のとき $c = 315$ である。
Write the formula for direct variation. 比例の公式を書く。
We will use $c$ in place of $y$ and $m$ in place of $x$ . $y$ の代わりに $c$ を使い、 $x$ の代わりに $m$ を使う。
Substitute the given values for the variables. 変数に与えられた値を代入する。
Solve for the constant of variation. 比例定数を求める。

Write the equation that relates $c$ and $m$ . $c$ と $m$ の関係を表す方程式を書く。
Substitute in the constant of variation. 比例定数を代入する。

ⓑ

	Find $c$ when $m = 25$ . $m = 25$ のとき、 $c$ を求める。
Write the equation that relates $c$ and $m$ . $c$ と $m$ を関連付ける方程式を書く。
Substitute the given value for $m$ . $m$ に与えられた値を代入する。
Simplify. 簡単にする。
	Raoul would burn 437.5 calories if he used the treadmill for 25 minutes. ラウルがランニングマシンを25分使うと、437.5カロリー消費する。

Try It (2)確認問題（2題）

In the previous example, the variables c and m were named in the problem. Usually that is not the case. We will have to name the variables in the next example as part of the solution, just like we do in most applied problems.

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前の例では、変数cとmが問題文で定められていた。通常はそうではない。次の例では、多くの応用問題と同じように、解法の一部として変数を自分で決める必要がある。

Example 8.88例題 8.88

The number of gallons of gas Eunice’s car uses varies directly with the number of miles she drives. Last week she drove 469.8 miles and used 14.5 gallons of gas.

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ユーニスの車が使うガソリンのガロン数は、走るマイル数に比例する。先週は469.8マイル走り、14.5ガロンのガソリンを使った。

ⓐ Write the equation that relates the number of gallons of gas used to the number of miles driven.
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ⓐ 使用するガソリンのガロン数と走行マイル数を関連付ける方程式を書け。
ⓑ How many gallons of gas would Eunice’s car use if she drove 1000 miles?
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ⓑ 1000マイル走ると、ユーニスの車は何ガロンのガソリンを使うか。

Solution解答

	The number of gallons of gas varies directly with the number of miles driven. ガソリンのガロン数は走行マイル数に比例する。
First we will name the variables. まず変数を決める。	Let $g =$ number of gallons of gas. $m =$ number of miles driven $g =$ ガソリンのガロン数、 $m =$ 走行マイル数とする。
Write the formula for direct variation. 比例の公式を書く。
We will use $g$ in place of $y$ and $m$ in place of $x$ . $y$ の代わりに $g$ を使い、 $x$ の代わりに $m$ を使う。
Substitute the given values for the variables. 変数に与えられた値を代入する。

Solve for the constant of variation. 比例定数を求める。
We will round to the nearest thousandth. 小数第3位までに丸める。
Write the equation that relates $g$ and $m$ . $g$ と $m$ の関係を表す方程式を書く。
Substitute in the constant of variation. 比例定数を代入する。

ⓑ

\begin{matrix} Find g when m = 1000 . \\ Write the equation that relates g and m . & g = 0.031 m \\ Substitute the given value for m . & g = 0.031 (1000) \\ Simplify. & g = 31 \\ Eunice’s car would use 31 gallons of gas if she drove it 1,000 miles. \end{matrix}

ⓑ

\begin{matrix} 求める値： g のとき m = 1000 . \\ 次の変数を関連付ける方程式を書く： g および m . & g = 0.031 m \\ 次の変数に与えられた値を代入する： m . & g = 0.031 (1000) \\ 簡単にする。 & g = 31 \\ ユーニスの車は、1,000マイル走ると31ガロンのガソリンを使う。 \end{matrix}

Notice that in this example, the units on the constant of variation are gallons/mile. In everyday life, we usually talk about miles/gallon.

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この例では比例定数の単位がガロン/マイルであることに注意する。日常生活では通常、マイル/ガロンで表す。

Try It (2)確認問題（2題）

In some situations, one variable varies directly with the square of the other variable. When that happens, the equation of direct variation is

y = k x^{2}

. We solve these applications just as we did the previous ones, by substituting the given values into the equation to solve for k.

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状況によっては、一方の変数が他方の変数の平方に比例する。その場合、比例の方程式は

y = k x^{2}

となる。このような応用問題も以前と同じように、与えられた値を方程式に代入してkについて解く。

Example 8.89例題 8.89

The maximum load a beam will support varies directly with the square of the diagonal of the beam’s cross-section. A beam with diagonal 4” will support a maximum load of 75 pounds.

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梁が支えられる最大荷重は、その断面の対角線の長さの平方に比例する。対角線が4インチの梁は、最大75ポンドの荷重を支えられる。

ⓐ Write the equation that relates the maximum load to the cross-section.
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ⓐ 最大荷重と断面を関連付ける方程式を書け。
ⓑ What is the maximum load that can be supported by a beam with diagonal 8”?
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ⓑ 対角線が8インチの梁が支えられる最大荷重はいくらか。

Solution解答

	The maximum load varies directly with the square of the diagonal of the cross-section. 最大荷重は断面の対角線の長さの平方に比例する。
Name the variables. 変数を決める。	Let $L =$ maximum load. $c =$ the diagonal of the cross-section $L =$ 最大荷重、 $c =$ 断面の対角線の長さとする。
Write the formula for direct variation, where $y$ varies directly with the square of $x$ . $y$ が $x$ の平方に比例する場合の比例の公式を書く。
We will use $L$ in place of $y$ and $c$ in place of $x$ . $y$ の代わりに $L$ を使い、 $x$ の代わりに $c$ を使う。
Substitute the given values for the variables. 変数に与えられた値を代入する。

Solve for the constant of variation. 比例定数を求める。

Write the equation that relates $L$ and $c$ . $L$ と $c$ の関係を表す方程式を書く。
Substitute in the constant of variation. 比例定数を代入する。

ⓑ

\begin{matrix} Find L when c = 8 . \\ Write the equation that relates L and c . & L = 4.6875 c^{2} \\ Substitute the given value for c . & L = 4.6875 {(8)}^{2} \\ Simplify. & L = 300 \\ \begin{matrix} A beam with diagonal 8” could support \\ a maximum load of 300 pounds. \end{matrix} \end{matrix}

ⓑ

\begin{matrix} 求める値： L のとき c = 8 . \\ 次の変数を関連付ける方程式を書く： L および c . & L = 4.6875 c^{2} \\ 次の変数に与えられた値を代入する： c . & L = 4.6875 {(8)}^{2} \\ 簡単にする。 & L = 300 \\ \begin{matrix} 対角線が8インチの梁は、 \\ 最大300ポンドの荷重を支えられる。 \end{matrix} \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

第8章有理式と有理方程式

8.9 Use Direct and Inverse Variation8.9 比例と反比例を用いる

Learning Objectives学習目標

Solve Direct Variation Problems比例の問題を解く

How to Solve Direct Variation Problems比例の問題を解く方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

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8.9 Use Direct and Inverse Variation8.9　比例と反比例を用いる