第8章有理式と有理方程式

Key Concepts重要な概念

Multiplication of Rational Expressions
英語のヒント
分数式の乗法
- If $p, q, r, s$ are polynomials where $q \neq 0, s \neq 0$ , then $\frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{p r}{q s}$ .
  英語のヒント
  $p, q, r, s$ が $q \neq 0, s \neq 0$ を満たす多項式なら、 $\frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{p r}{q s}$ である。
- To multiply rational expressions, multiply the numerators and multiply the denominators
  英語のヒント
  分数式を掛けるには、分子どうしと分母どうしを掛ける
Multiply a Rational Expression
英語のヒント
分数式を掛ける
1. Factor each numerator and denominator completely.
  英語のヒント
  各分子と分母を完全に因数分解する。
2. Multiply the numerators and denominators.
  英語のヒント
  分子どうし、分母どうしを掛ける。
3. Simplify by dividing out common factors.
  英語のヒント
  共通因子を約分して簡単にする。
Division of Rational Expressions
英語のヒント
分数式の除法
- If $p, q, r, s$ are polynomials where $q \neq 0, r \neq 0, s \neq 0$ , then $\frac{p}{q} \div \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{r}$ .
  英語のヒント
  $p, q, r, s$ が $q \neq 0, r \neq 0, s \neq 0$ を満たす多項式なら、 $\frac{p}{q} \div \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{r}$ である。
- To divide rational expressions multiply the first fraction by the reciprocal of the second.
  英語のヒント
  分数式を割るには、最初の分数に2番目の分数の逆数を掛ける。
Divide Rational Expressions
英語のヒント
有理式の割り算
1. Rewrite the division as the product of the first rational expression and the reciprocal of the second.
  英語のヒント
  割り算を、最初の分数式と2番目の分数式の逆数の積に書き直す。
2. Factor the numerators and denominators completely.
  英語のヒント
  分子と分母を完全に因数分解する。
3. Multiply the numerators and denominators together.
  
  英語のヒント
  分子どうしと分母どうしをそれぞれ掛け合わせる。
4. Simplify by dividing out common factors.
  英語のヒント
  共通因子を約分して簡単にする。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 73–96練習問題 73–96

Multiply Rational Expressions

英語のヒント

分数式を掛ける

In the following exercises, multiply.

英語のヒント

次の各問で、掛け算をせよ。

Exercise 73問題 73

\frac{12}{16} \cdot \frac{4}{10}

Solution解き方

\frac{3}{10}

Exercise 74問題 74

\frac{32}{5} \cdot \frac{16}{24}

Exercise 75問題 75

\frac{18}{10} \cdot \frac{4}{30}

Solution解き方

\frac{6}{25}

Exercise 76問題 76

\frac{21}{36} \cdot \frac{45}{24}

Exercise 77問題 77

\frac{5 x^{2} y^{4}}{12 x y^{3}} \cdot \frac{6 x^{2}}{20 y^{2}}

Solution解き方

\frac{x^{3}}{8 y}

Exercise 78問題 78

\frac{8 w^{3} y}{9 y^{2}} \cdot \frac{3 y}{4 w^{4}}

Exercise 79問題 79

\frac{12 a^{3} b}{b^{2}} \cdot \frac{2 a b^{2}}{9 b^{3}}

Solution解き方

\frac{8 a^{4}}{3 b^{2}}

Exercise 80問題 80

\frac{4 m n^{2}}{5 n^{3}} \cdot \frac{m n^{3}}{8 m^{2} n^{2}}

Exercise 81問題 81

\frac{5 p^{2}}{p^{2} - 5 p - 36} \cdot \frac{p^{2} - 16}{10 p}

Solution解き方

\frac{p (p - 4)}{2 (p - 9)}

Exercise 82問題 82

\frac{3 q^{2}}{q^{2} + q - 6} \cdot \frac{q^{2} - 9}{9 q}

Exercise 83問題 83

\frac{4 r}{r^{2} - 3 r - 10} \cdot \frac{r^{2} - 25}{8 r^{2}}

Solution解き方

\frac{r + 5}{2 r (r + 2)}

Exercise 84問題 84

\frac{s}{s^{2} - 9 s + 14} \cdot \frac{s^{2} - 49}{7 s^{2}}

Exercise 85問題 85

\frac{x^{2} - 7 x}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{x + 3}{4 x}

Solution解き方

\frac{x - 7}{4 (x + 3)}

Exercise 86問題 86

\frac{2 y^{2} - 10 y}{y^{2} + 10 y + 25} \cdot \frac{y + 5}{6 y}

Exercise 87問題 87

\frac{z^{2} + 3 z}{z^{2} - 3 z - 4} \cdot \frac{z - 4}{z^{2}}

Solution解き方

\frac{z + 3}{z (z + 1)}

Exercise 88問題 88

\frac{2 a^{2} + 8 a}{a^{2} - 9 a + 20} \cdot \frac{a - 5}{a^{2}}

Exercise 89問題 89

\frac{28 - 4 b}{3 b - 3} \cdot \frac{b^{2} + 8 b - 9}{b^{2} - 49}

Solution解き方

- \frac{4 (b + 9)}{3 (b + 7)}

Exercise 90問題 90

\frac{18 c - 2 c^{2}}{6 c + 30} \cdot \frac{c^{2} + 7 c + 10}{c^{2} - 81}

Exercise 91問題 91

\frac{35 d - 7 d^{2}}{d^{2} + 7 d} \cdot \frac{d^{2} + 12 d + 35}{d^{2} - 25}

Solution解き方

−7

Exercise 92問題 92

\frac{72 m - 12 m^{2}}{8 m + 32} \cdot \frac{m^{2} + 10 m + 24}{m^{2} - 36}

Exercise 93問題 93

\frac{4 n + 20}{n^{2} + n - 20} \cdot \frac{n^{2} - 16}{4 n + 16}

Solution解き方

1

Exercise 94問題 94

\frac{6 p^{2} - 6 p}{p^{2} + 7 p - 18} \cdot \frac{p^{2} - 81}{3 p^{2} - 27 p}

Exercise 95問題 95

\frac{q^{2} - 2 q}{q^{2} + 6 q - 16} \cdot \frac{q^{2} - 64}{q^{2} - 8 q}

Solution解き方

1

Exercise 96問題 96

\frac{2 r^{2} - 2 r}{r^{2} + 4 r - 5} \cdot \frac{r^{2} - 25}{2 r^{2} - 10 r}

Exercises 97–124練習問題 97–124

Divide Rational Expressions

英語のヒント

有理式の割り算

In the following exercises, divide.

英語のヒント

次の各問で、割り算をせよ。

Exercise 97問題 97

\frac{t - 6}{3 - t} \div \frac{t - 5}{t^{2} - 9}

Solution解き方

\frac{(6 - t) (t + 3)}{t - 5}

Exercise 98問題 98

\frac{v - 5}{11 - v} \div \frac{v^{2} - 25}{v - 11}

Exercise 99問題 99

\frac{10 + w}{w - 8} \div \frac{100 - w^{2}}{8 - w}

Solution解き方

- \frac{1}{10 - w}

Exercise 100問題 100

\frac{7 + x}{x - 6} \div {\frac{49 - x}{x + 6}}^{2}

Exercise 101問題 101

\frac{27 y^{2}}{3 y - 21} \div \frac{3 y^{2} + 18}{y^{2} + 13 y + 42}

Solution解き方

\frac{3 y^{2} (y + 6) (y + 7)}{(y - 7) (y^{2} + 6)}

Exercise 102問題 102

\frac{24 z^{2}}{2 z - 8} \div \frac{4 z - 28}{z^{2} - 11 z + 28}

Exercise 103問題 103

\frac{16 a^{2}}{4 a + 36} \div \frac{4 a^{2} - 24 a}{a^{2} + 4 a - 45}

Solution解き方

\frac{a (a - 5)}{a - 6}

Exercise 104問題 104

\frac{24 b^{2}}{2 b - 4} \div \frac{12 b^{2} + 36 b}{b^{2} - 11 b + 18}

Exercise 105問題 105

\frac{5 c^{2} + 9 c - 2}{c^{2} - 4} \div \frac{5 c^{2} - 16 c + 3}{c^{2} + 4 c + 4}

Solution解き方

\frac{(c + 2) (c + 2)}{(c - 2) (c - 3)}

Exercise 106問題 106

\frac{2 d^{2} + d - 3}{d^{2} - 16} \div \frac{2 d^{2} - 9 d - 18}{d^{2} - 8 d + 16}

Exercise 107問題 107

\frac{6 m^{2} - 11 m - 2}{9 - m^{2}} \div \frac{6 m^{2} + 25 m + 4}{m^{2} - 6 m + 9}

Solution解き方

- \frac{(m - 2) (m - 3)}{(3 + m) (m + 4)}

Exercise 108問題 108

\frac{2 n^{2} - 3 n - 14}{25 - n^{2}} \div \frac{2 n^{2} - 13 n + 21}{n^{2} - 10 n + 25}

Exercise 109問題 109

\frac{3 s^{2}}{s^{2} - 16} \div \frac{s^{3} + 4 s^{2} + 16 s}{s^{3} - 64}

Solution解き方

\frac{3 s}{s + 4}

Exercise 110問題 110

\frac{r^{2} - 9}{15} \div \frac{r^{3} - 27}{5 r^{2} + 15 r + 45}

Exercise 111問題 111

\frac{p^{3} + q^{3}}{3 p^{2} + 3 p q + 3 q^{2}} \div \frac{p^{2} - q^{2}}{12}

Solution解き方

\frac{4 (p^{2} - p q + q^{2})}{(p - q) (p^{2} + p q + q^{2})}

Exercise 112問題 112

\frac{v^{3} - 8 w^{3}}{2 v^{2} + 4 v w + 8 w^{2}} \div \frac{v^{2} - 4 w^{2}}{4}

Exercise 113問題 113

\frac{t^{2} - 9}{2 t} \div (t^{2} - 6 t + 9)

Solution解き方

\frac{t + 3}{2 t (t - 3)}

Exercise 114問題 114

\frac{x^{2} + 3 x - 10}{4 x} \div (2 x^{2} + 20 x + 50)

Exercise 115問題 115

\frac{2 y^{2} - 10 y z - 48 z^{2}}{2 y - 1} \div (4 y^{2} - 32 y z)

Solution解き方

\frac{y + 3 z}{2 y (2 y - 1)}

Exercise 116問題 116

\frac{2 m^{2} - 98 n^{2}}{2 m + 6} \div (m^{2} - 7 m n)

Exercise 117問題 117

\frac{\frac{2 a^{2} - a - 21}{5 a + 20}}{\frac{a^{2} + 7 a + 12}{a^{2} + 8 a + 16}}

Solution解き方

\frac{2 a - 7}{5}

Exercise 118問題 118

\frac{\frac{3 b^{2} + 2 b - 8}{12 b + 18}}{\frac{3 b^{2} + 2 b - 8}{2 b^{2} - 7 b - 15}}

Exercise 119問題 119

\frac{\frac{12 c^{2} - 12}{2 c^{2} - 3 c + 1}}{\frac{4 c + 4}{6 c^{2} - 13 c + 5}}

Solution解き方

3 (3 c - 5)

Exercise 120問題 120

\frac{\frac{4 d^{2} + 7 d - 2}{35 d + 10}}{\frac{d^{2} - 4}{7 d^{2} - 12 d - 4}}

Exercise 121問題 121

\frac{10 m^{2} + 80 m}{3 m - 9} \cdot \frac{m^{2} + 4 m - 21}{m^{2} - 9 m + 20}

\div \frac{5 m^{2} + 10 m}{2 m - 10}

Solution解き方

\frac{4 (m + 8) (m + 7)}{3 (m - 4) (m + 2)}

Exercise 122問題 122

\frac{4 n^{2} + 32 n}{3 n + 2} \cdot \frac{3 n^{2} - n - 2}{n^{2} + n - 30}

\div \frac{108 n^{2} - 24 n}{n + 6}

Exercise 123問題 123

\frac{12 p^{2} + 3 p}{p + 3} \div \frac{p^{2} + 2 p - 63}{p^{2} - p - 12}

\cdot \frac{p - 7}{9 p^{3} - 9 p^{2}}

Solution解き方

\frac{(4 p + 1) (p - 4)}{3 p (p + 9) (p - 1)}

Exercise 124問題 124

\frac{6 q + 3}{9 q^{2} - 9 q} \div \frac{q^{2} + 14 q + 33}{q^{2} + 4 q - 5}

\cdot \frac{4 q^{2} + 12 q}{12 q + 6}

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 125–126練習問題 125–126

Exercise 125問題 125

Probability The director of large company is interviewing applicants for two identical jobs. If

w =

the number of women applicants and

m =

the number of men applicants, then the probability that two women are selected for the jobs is

\frac{w}{w + m} \cdot \frac{w - 1}{w + m - 1} .

英語のヒント

確率大企業の責任者が、同じ仕事内容の二つの求人について応募者の面接を行っている。

w =

女性応募者の人数、

m =

男性応募者の人数とすると、女性二人が採用される確率は

\frac{w}{w + m} \cdot \frac{w - 1}{w + m - 1}

ⓐ Simplify the probability by multiplying the two rational expressions.
英語のヒント
ⓐ 二つの分数式を掛けて、確率の式を簡単にせよ。
ⓑ Find the probability that two women are selected when $w = 5$ and $m = 10$ .
英語のヒント
ⓑ $w = 5$ かつ $m = 10$ のとき、女性二人が選ばれる確率を求めよ。

Solution解き方

ⓐ

\frac{w (w - 1)}{(w + m) (w + m - 1)}

ⓑ

\frac{2}{21}

Exercise 126問題 126

Area of a triangle The area of a triangle with base b and height h is

\frac{b h}{2} .

If the triangle is stretched to make a new triangle with base and height three times as much as in the original triangle, the area is

\frac{9 b h}{2} .

Calculate how the area of the new triangle compares to the area of the original triangle by dividing

\frac{9 b h}{2}

\frac{b h}{2}

英語のヒント

三角形の面積底辺b、高さhの三角形の面積は

\frac{b h}{2}

三角形を引き伸ばし、底辺と高さがどちらも元の3倍の三角形にすると、その面積は

\frac{9 b h}{2}

\frac{9 b h}{2}

を

\frac{b h}{2}

で割り、新しい三角形の面積が元の三角形の面積と比べてどうなるか計算せよ。

Writing Exercises記述問題

Exercises 127–128練習問題 127–128

Exercise 127問題 127

ⓐ Multiply $\frac{7}{4} \cdot \frac{9}{10}$ and explain all your steps.
英語のヒント
ⓐ $\frac{7}{4} \cdot \frac{9}{10}$ を計算し、すべての手順を説明せよ。
ⓑ Multiply $\frac{n}{n - 3} \cdot \frac{9}{n + 3}$ and explain all your steps.
英語のヒント
ⓑ $\frac{n}{n - 3} \cdot \frac{9}{n + 3}$ を計算し、すべての手順を説明せよ。
ⓒ Evaluate your answer to part (b) when $n = 7 .$ Did you get the same answer you got in part (a)? Why or why not?
英語のヒント
ⓒ $n = 7$ のとき、(b)の答えの値を求めよ。(a)と同じ答えになったか。その理由を述べよ。

Solution解き方

Answers will vary.

英語のヒント

解答は一通りではない。

Exercise 128問題 128

ⓐ Divide $\frac{24}{5} \div 6$ and explain all your steps.
英語のヒント
ⓐ $\frac{24}{5} \div 6$ の割り算を行い、すべての手順を説明せよ。
ⓑ Divide $\frac{x^{2} - 1}{x} \div (x + 1)$ and explain all your steps.
英語のヒント
ⓑ $\frac{x^{2} - 1}{x} \div (x + 1)$ の割り算を行い、すべての手順を説明せよ。
ⓒ Evaluate your answer to part (b) when $x = 5 .$ Did you get the same answer you got in part (a)? Why or why not?
英語のヒント
ⓒ $x = 5$ のとき、(b)の答えの値を求めよ。(a)と同じ答えになったか。その理由を述べよ。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

上の図は4列4行の表である。1行目は見出しで、最初の列は「私は…できる」、2列目は「自信を持って」、3列目は「少し助けがあれば」、4列目は「できない、分からない」である。1列目の「私は…できる」の下の行には「分数式を掛ける」、次の行には「分数式を割る」、最後の行には「このチェックリストを振り返り、すべての目標について自信を持つために何をするか」とある。残りの列は空欄である。

ⓑ After reviewing this checklist, what will you do to become confident for all objectives?

英語のヒント

ⓑ このチェックリストを確認して、すべての学習目標に自信を持てるようにするには何をするか。