第8章有理式と有理方程式

8.8 Solve Uniform Motion and Work Applications8.8　等速運動と仕事の応用問題を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

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この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve uniform motion applications
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等速運動の応用問題を解く
Solve work applications
英語のヒント
仕事の応用問題を解く

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Before you get started, take this readiness quiz.

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学習を始める前に、準備のための確認問題に取り組む。

If you miss a problem, go back to the section listed and review the material.

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間違えた問題があれば、示された節に戻って内容を復習する。

Question 1問題 1

An express train and a local bus leave Chicago to travel to Champaign. The express bus can make the trip in 2 hours and the local bus takes 5 hours for the trip. The speed of the express bus is 42 miles per hour faster than the speed of the local bus. Find the speed of the local bus.
If you missed this problem, review Example 3.48.

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急行列車と普通バスが、シカゴを出発してシャンペーンへ向かう。急行バスは2時間、普通バスは5時間で到着する。急行バスは普通バスより時速42マイル速い。普通バスの速さを求めよ。この問題を間違えた場合は、例3.48を復習する。

Solution解答

Solution解き方

28 mph

28 マイル/時

Solve Uniform Motion Applications等速運動の応用問題を解く

We have solved uniform motion problems using the formula

D = r t

in previous chapters. We used a table like the one below to organize the information and lead us to the equation.

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これまでの章では、公式

D = r t

を使って等速運動の問題を解いた。下のような表を用いて情報を整理し、方程式を導いた。

上の図は4列3行の表である。1行目は見出しで、2列目には「速さ」、3列目には「時間」、4列目には「距離」とある。残りの欄は空白である。

The formula

D = r t

assumes we know r and t and use them to find D. If we know D and r and need to find t, we would solve the equation for t and get the formula

t = \frac{D}{r}

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公式

D = r t

は、rとtが分かっており、それらを使ってDを求めることを前提としている。Dとrが分かっていてtを求める必要があるなら、方程式をtについて解き、公式

t = \frac{D}{r}

を得る。

We have also explained how flying with or against a current affects the speed of a vehicle. We will revisit that idea in the next example.

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流れに沿って、あるいは逆らって飛ぶことが乗り物の速さにどう影響するかも説明した。次の例でその考え方を再び扱う。

Example 8.81例題 8.81

An airplane can fly 200 miles into a 30 mph headwind in the same amount of time it takes to fly 300 miles with a 30 mph tailwind. What is the speed of the airplane?

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飛行機は、時速30マイルの向かい風に逆らって200マイル飛ぶのと同じ時間で、時速30マイルの追い風に乗って300マイル飛べる。飛行機の速さはいくらか。

Solution解答

This is a uniform motion situation. A diagram will help us visualize the situation.

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これは等速運動の状況である。図にすると状況を思い描きやすくなる。

上の図には平行な矢印が2本ある。最初の矢印は右向きで、その先端の上に「追い風で300マイル、r＋30」とある。その下には波線があり、波線の左には「風、時速30マイル」とある。その下には左向きの矢印があり、さらに下に「向かい風で200マイル、r−30」とある。

We fill in the chart to organize the information.

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表に記入して情報を整理する。

We are looking for the speed of the airplane. 飛行機の速さを求める。	Let $r =$ the speed of the airplane. $r =$ 飛行機の速さとする。
When the plane flies with the wind, the wind increases its speed and the rate is $r + 30$ . 追い風で飛ぶときは風によって速さが増し、速さは $r + 30$ となる。
When the plane flies against the wind, the wind decreases its speed and the rate is $r - 30$ . 向かい風で飛ぶときは風によって速さが減り、速さは $r - 30$ となる。
Write in the rates. Write in the distances. Since $D = r ∙ t$ , we solve for t and get $\frac{D}{r}$ . We divide the distance by the rate in each row, and place the expression in the time column. 速さを記入する。距離を記入する。 $D = r ∙ t$ なので、tについて解くと $\frac{D}{r}$ を得る。各行で距離を速さで割り、その式を時間の列に入れる。
We know the times are equal and so we write our equation. 時間が等しいと分かっているので、方程式を書く。	$\frac{200}{r - 30} = \frac{300}{r + 30}$
We multiply both sides by the LCD. $200 (r + 30) = 300 (r - 30)$ 両辺にLCDを掛ける。 $200 (r + 30) = 300 (r - 30)$	$(r + 30) (r - 30) (\frac{200}{r - 30}) = (r + 30) (r - 30) (\frac{300}{r + 30})$
Simplify. 簡単にする。	$(r + 30) (200) = (r - 30) (300)$
	$200 r + 6000 = 300 r - 9000$
Solve. 解く。	$15000 = 100 r$ $150 = r$
Check. 確かめる。
Is 150 mph a reasonable speed for an airplane? Yes. If the plane is traveling 150 mph and the wind is 30 mph: 時速150マイルは飛行機の速さとして妥当か。妥当である。飛行機が時速150マイル、風が時速30マイルなら、次のようになる。
Tailwind $150 + 30 = 180 mph \frac{300}{180} = \frac{5}{3}$ hours 追い風 $150 + 30 = 180 マイル/時 \frac{300}{180} = \frac{5}{3}$ 時間
Headwind $150 - 30 = 120 mph \frac{200}{120} = \frac{5}{3}$ hours 向かい風 $150 - 30 = 120 マイル/時 \frac{200}{120} = \frac{5}{3}$ 時間
The times are equal, so it checks. 時間が等しいので、確かめられた。	The plane was traveling 150 mph. 飛行機は時速150マイルで飛んでいた。

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example, we will know the total time resulting from travelling different distances at different speeds.

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次の例では、異なる距離を異なる速さで進んだときの合計時間が分かっている。

Example 8.82例題 8.82

Jazmine trained for 3 hours on Saturday. She ran 8 miles and then biked 24 miles. Her biking speed is 4 mph faster than her running speed. What is her running speed?

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ジャズミンは土曜日に3時間トレーニングした。8マイル走った後、自転車で24マイル進んだ。自転車の速さは走る速さより時速4マイル速い。走る速さはいくらか。

Solution解答

This is a uniform motion situation. A diagram will help us visualize the situation.

英語のヒント

これは等速運動の状況である。図にすると状況を思い描きやすくなる。

上の図は右向きの矢じりが二つある直線である。線の左端の上には「走る」、少し進んで最初の矢じりを越えたところには「自転車」とある。線の少し下、最初の矢じりより手前の左端には「8マイル」、最初の矢じりより先の右端には「12マイル」とある。矢印の左端から右端までの範囲が一つにまとめられ、線全体が3時間であることを示している。

We fill in the chart to organize the information.

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表に記入して情報を整理する。

We are looking for Jazmine’s running speed. ジャズミンの走る速さを求める。	Let $r =$ Jazmine’s running speed. $r =$ ジャズミンの走る速さとする。
Her biking speed is 4 miles faster than her running speed. 自転車の速さは走る速さより4マイル速い。	$r + 4 =$ her biking speed $r + 4 =$ 自転車の速さ
The distances are given, enter them into the chart. 距離は与えられているので、表に記入する。
Since $D = r ∙ t$ , we solve for t and get $t = \frac{D}{r}$ . We divide the distance by the rate in each row, and place the expression in the time column. $D = r ∙ t$ なので、tについて解くと $t = \frac{D}{r}$ を得る。各行で距離を速さで割り、その式を時間の列に入れる。
Write a word sentence. 言葉で文を書く。	Her time plus the time biking is 3 hours. 彼女の時間と自転車に乗る時間の合計は3時間である。
Translate the sentence to get the equation. 文を式に直して方程式を得る。	$\frac{8}{r} + \frac{24}{r + 4} = 3$
Solve. 解く。	$\begin{matrix} r (r + 4) (\frac{8}{r} + \frac{24}{r + 4}) & = & 3 ∙ r (r + 4) \\ 8 (r + 4) + 24 r & = & 3 r (r + 4) \\ 8 r + 32 + 24 r & = & 3 r^{2} + 12 r \\ 32 + 32 r & = & 3 r^{2} + 12 r \\ 0 & = & 3 r^{2} - 20 r - 32 \\ 0 & = & (3 r + 4) (r - 8) \end{matrix}$
	$(3 r + 4) = 0 (r - 8) = 0$
	$r = - \frac{4}{3} r = 8$
Check. $r = - \frac{4}{3}$ $r = 8$ 確かめる。 $r = - \frac{4}{3}$ $r = 8$
A negative speed does not make sense in this problem, so $r = 8$ is the solution. この問題では負の速さは意味を持たないので、解は $r = 8$ である。
Is 8 mph a reasonable running speed? Yes. 時速8マイルは走る速さとして妥当か。妥当である。
$\begin{matrix} Run 8 mph & \frac{8 miles}{8 mph} = 1 hour \\ Bike 12 mph & \frac{24 miles}{12 mph} = 2 hours \\ Total 3 hours & Jazmine’s running speed is 8 mph. \end{matrix}$ $\begin{matrix} 走る：時速8マイル & \frac{8 マイル}{8 マイル/時} = 1 時間 \\ 自転車：時速12マイル & \frac{24 マイル}{12 マイル/時} = 2 時間 \\ 合計3時間 & ジャズミンの走る速さは時速8マイルである。 \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Once again, we will use the uniform motion formula solved for the variable t.

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ここでも、変数tについて解いた等速運動の公式を使う。

Example 8.83例題 8.83

Hamilton rode his bike downhill 12 miles on the river trail from his house to the ocean and then rode uphill to return home. His uphill speed was 8 miles per hour slower than his downhill speed. It took him 2 hours longer to get home than it took him to get to the ocean. Find Hamilton’s downhill speed.

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ハミルトンは自宅から海まで、川沿いの道を自転車で12マイル下り、帰りは上って帰宅した。上りの速さは下りより時速8マイル遅かった。帰宅には海へ行くより2時間長くかかった。下りの速さを求めよ。

Solution解答

This is a uniform motion situation. A diagram will help us visualize the situation.

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これは等速運動の状況である。図にすると状況を思い描きやすくなる。

上の図には、反対方向を指す斜めの平行線が2本ある。上の線は右下を指し、その下に「12マイル」とある。下の線は左上を指し、その下に「時速8マイル遅い、2時間長い」とある。

We fill in the chart to organize the information.

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表に記入して情報を整理する。

We are looking for Hamilton’s downhill speed. ハミルトンの下りの速さを求める。	Let $r =$ Hamilton’s downhill speed. $r =$ ハミルトンの下りの速さとする。
His uphill speed is 8 miles per hour slower. Enter the rates into the chart. 上りは時速8マイル遅い。速さを表に記入する。	$r - 8 =$ Hamilton’s uphill speed $r - 8 =$ ハミルトンの上りの速さ
The distance is the same in both directions, 12 miles. Since $D = r ∙ t$ , we solve for t and get $t = \frac{D}{r}$ . We divide the distance by the rate in each row, and place the expression in the time column. 距離は両方向とも同じ12マイルである。 $D = r ∙ t$ なので、tについて解くと $t = \frac{D}{r}$ を得る。各行で距離を速さで割り、その式を時間の列に入れる。
Write a word sentence about the time. 時間について言葉で文を書く。	He took 2 hours longer uphill than downhill. The uphill time is 2 more than the downhill time. 上りは下りより2時間長くかかった。上りの時間は下りの時間より2多い。
Translate the sentence to get the equation. Solve. 文を式に直して方程式を得る。解く。	$\begin{matrix} \frac{12}{r - 8} & = & \frac{12}{r} + 2 \\ r (r - 8) (\frac{12}{r - 8}) & = & r (r - 8) (\frac{12}{r} + 2) \\ 12 r & = & 12 (r - 8) + 2 r (r - 8) \\ 12 r & = & 12 r - 96 + 2 r^{2} - 16 r \\ 0 & = & 2 r^{2} - 16 r - 96 \\ 0 & = & 2 (r^{2} - 8 r - 48) \\ 0 & = & 2 (r - 12) (r + 4) \\ r - 12 & = & 0 r + 4 = 0 \\ r & = & 12 r = −4 \end{matrix}$
Check. Is 12 mph a reasonable speed for biking downhill? Yes. 確かめる。時速12マイルは自転車で下る速さとして妥当か。妥当である。
Downhill $12 mph \frac{12 miles}{12 mph} = 1 hour$ 下り $12 マイル/時 \frac{12 マイル}{12 マイル/時} = 1 時間$
Uphill $12 - 8 = 4 mph \frac{12 miles}{4 mph} = 3 hours$ 上り $12 - 8 = 4 マイル/時 \frac{12 マイル}{4 マイル/時} = 3 時間$
	The uphill time is 2 hours more than the downhill time. Hamilton’s downhill speed is 12 mph. 上りの時間は下りより2時間長い。ハミルトンの下りの速さは時速12マイルである。

Try It (2)確認問題（2題）

第8章有理式と有理方程式

8.8 Solve Uniform Motion and Work Applications8.8 等速運動と仕事の応用問題を解く

Learning Objectives学習目標

Solve Uniform Motion Applications等速運動の応用問題を解く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

8.8 Solve Uniform Motion and Work Applications8.8　等速運動と仕事の応用問題を解く