第8章有理式と有理方程式

Solve a Rational Equation for a Specific Variable分数方程式を特定の変数について解く

When we solved linear equations, we learned how to solve a formula for a specific variable. Many formulas used in business, science, economics, and other fields use rational equations to model the relation between two or more variables. We will now see how to solve a rational equation for a specific variable.

英語のヒント

一次方程式を解いた際、公式を特定の変数について解く方法を学んだ。ビジネス、科学、経済学などの多くの分野で使われる公式は、分数方程式によって二つ以上の変数の関係をモデル化している。ここでは、分数方程式を特定の変数について解く方法を見ていく。

We’ll start with a formula relating distance, rate, and time. We have used it many times before, but not usually in this form.

英語のヒント

まず、距離、速さ、時間を関連付ける公式から始める。これまでも何度も使ってきたが、通常はこの形では使わなかった。

Example 8.68例題 8.68

Solve:

\frac{D}{T} = R for T .

英語のヒント

解け：

\frac{D}{T} = R について T

Solution解答


Note any value of the variable that would make any denominator zero. いずれかの分母が0になる変数の値を確認する。
Clear the fractions by multiplying both sides of the equations by the LCD, T. 方程式の両辺にLCDであるTを掛け、分数をなくす。
Simplify. 簡単にする。
Divide both sides by R to isolate T. Tを単独にするため、両辺をRで割る。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.69 uses the formula for slope that we used to get the point-slope form of an equation of a line.

英語のヒント

例8.69では、直線の方程式の点・傾き形式を得る際に使った傾きの公式を用いる。

Example 8.69例題 8.69

Solve:

m = \frac{x - 2}{y - 3} for y .

英語のヒント

解け：

m = \frac{x - 2}{y - 3} について y

Solution解答


Note any value of the variable that would make any denominator zero. いずれかの分母が0になる変数の値を確認する。
Clear the fractions by multiplying both sides of the equations by the LCD, $y - 3$ . 方程式の両辺にLCDである $y - 3$ を掛け、分数をなくす。
Simplify. 簡単にする。
Isolate the term with y. yを含む項を一方にまとめる。
Divide both sides by m to isolate y. yを単独にするため、両辺をmで割る。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Be sure to follow all the steps in Example 8.70. It may look like a very simple formula, but we cannot solve it instantly for either denominator.

英語のヒント

例8.70では、必ずすべての手順をたどろう。とても単純な公式に見えても、どちらの分母についても即座に解くことはできない。

Example 8.70例題 8.70

Solve

\frac{1}{c} + \frac{1}{m} = 1 for c .

英語のヒント

\frac{1}{c} + \frac{1}{m} = 1 について c

を解け。

Solution解答


Note any value of the variable that would make any denominator zero. いずれかの分母が0になる変数の値を確認する。
Clear the fractions by multiplying both sides of the equations by the LCD, $c m$ . 方程式の両辺にLCDである $c m$ を掛け、分数をなくす。
Distribute. 分配法則を使う。
Simplify. 簡単にする。
Collect the terms with c to the right. cを含む項を右辺にまとめる。
Factor the expression on the right. 右辺の式を因数分解する。
To isolate c, divide both sides by $m - 1$ . cを単独にするため、両辺を $m - 1$ で割る。
Simplify by removing common factors. 共通因子を約分して簡単にする。

Notice that even though we excluded

c = 0 and m = 0

from the original equation, we must also now state that

m \neq 1

英語のヒント

元の方程式から

c = 0 および m = 0

を除外したが、ここではさらに

m \neq 1

とも記す必要があることに注意する。

Try It (2)確認問題（2題）

Key Concepts重要な概念

Strategy to Solve Equations with Rational Expressions
英語のヒント
分数式を含む方程式を解く方針
1. Note any value of the variable that would make any denominator zero.
  英語のヒント
  いずれかの分母が0になる変数の値を確認する。
2. Find the least common denominator of all denominators in the equation.
  英語のヒント
  方程式のすべての分母の最小公分母を求める。
3. Clear the fractions by multiplying both sides of the equation by the LCD.
  英語のヒント
  方程式の両辺に最小公分母を掛けて分数をなくす。
4. Solve the resulting equation.
  英語のヒント
  得られた方程式を解く。
5. Check.
  英語のヒント
  確かめる。
- If any values found in Step 1 are algebraic solutions, discard them.
  英語のヒント
  手順1で見つけた値が代数的に得た解に含まれる場合は、それを捨てる。
- Check any remaining solutions in the original equation.
  英語のヒント
  残りの解を元の方程式で確かめる。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 303–342練習問題 303–342

Solve Rational Equations

英語のヒント

有理方程式を解く

In the following exercises, solve.

英語のヒント

次の練習問題では、方程式を解く。

Exercise 303問題 303

\frac{1}{a} + \frac{2}{5} = \frac{1}{2}

Solution解き方

10

Exercise 304問題 304

\frac{5}{6} + \frac{3}{b} = \frac{1}{3}

Exercise 305問題 305

\frac{5}{2} - \frac{1}{c} = \frac{3}{4}

Solution解き方

\frac{4}{7}

Exercise 306問題 306

\frac{6}{3} - \frac{2}{d} = \frac{4}{9}

Exercise 307問題 307

\frac{4}{5} + \frac{1}{4} = \frac{2}{v}

Solution解き方

\frac{40}{21}

Exercise 308問題 308

\frac{3}{7} + \frac{2}{3} = \frac{1}{w}

Exercise 309問題 309

\frac{7}{9} + \frac{1}{x} = \frac{2}{3}

Solution解き方

−9

Exercise 310問題 310

\frac{3}{8} + \frac{2}{y} = \frac{1}{4}

Exercise 311問題 311

1 - \frac{2}{m} = \frac{8}{m^{2}}

Solution解き方

−2, 4

Exercise 312問題 312

1 + \frac{4}{n} = \frac{21}{n^{2}}

Exercise 313問題 313

1 + \frac{9}{p} = \frac{−20}{p^{2}}

Solution解き方

−5, −4

Exercise 314問題 314

1 - \frac{7}{q} = \frac{−6}{q^{2}}

Exercise 315問題 315

\frac{1}{r + 3} = \frac{4}{2 r}

Solution解き方

−6

Exercise 316問題 316

\frac{3}{t - 6} = \frac{1}{t}

Exercise 317問題 317

\frac{5}{3 v - 2} = \frac{7}{4 v}

Solution解き方

14

Exercise 318問題 318

\frac{8}{2 w + 1} = \frac{3}{w}

Exercise 319問題 319

\frac{3}{x + 4} + \frac{7}{x - 4} = \frac{8}{x^{2} - 16}

Solution解き方

\frac{−4}{5}

Exercise 320問題 320

\frac{5}{y - 9} + \frac{1}{y + 9} = \frac{18}{y^{2} - 81}

Exercise 321問題 321

\frac{8}{z - 10} + \frac{7}{z + 10} = \frac{5}{z^{2} - 100}

Solution解き方

- \frac{1}{3}

Exercise 322問題 322

\frac{9}{a + 11} + \frac{6}{a - 11} = \frac{7}{a^{2} - 121}

Exercise 323問題 323

\frac{1}{q + 4} - \frac{2}{q - 2} = 1

Solution解き方

- 2, - 1

Exercise 324問題 324

\frac{3}{r + 10} - \frac{4}{r - 4} = 1

Exercise 325問題 325

\frac{1}{t + 7} - \frac{5}{t - 5} = 1

Solution解き方

−5, −1

Exercise 326問題 326

\frac{2}{s + 7} - \frac{3}{s - 3} = 1

Exercise 327問題 327

\frac{v - 10}{v^{2} - 5 v + 4} = \frac{3}{v - 1} - \frac{6}{v - 4}

Solution解き方

no solution

解なし

Exercise 328問題 328

\frac{w + 8}{w^{2} - 11 w + 28} = \frac{5}{w - 7} + \frac{2}{w - 4}

Exercise 329問題 329

\frac{x - 10}{x^{2} + 8 x + 12} = \frac{3}{x + 2} + \frac{4}{x + 6}

Solution解き方

no solution

解なし

Exercise 330問題 330

\frac{y - 3}{y^{2} - 4 y - 5} = \frac{1}{y + 1} + \frac{8}{y - 5}

Exercise 331問題 331

\frac{z}{16} + \frac{z + 2}{4 z} = \frac{1}{2 z}

Solution解き方

−4

Exercise 332問題 332

\frac{a}{9} + \frac{a + 3}{3 a} = \frac{1}{a}

Exercise 333問題 333

\frac{b + 3}{3 b} + \frac{b}{24} = \frac{1}{b}

Solution解き方

−8

Exercise 334問題 334

\frac{c + 3}{12 c} + \frac{c}{36} = \frac{1}{4 c}

Exercise 335問題 335

\frac{d}{d + 3} = \frac{18}{d^{2} - 9} + 4

Solution解き方

2

Exercise 336問題 336

\frac{m}{m + 5} = \frac{50}{m^{2} - 25} + 6

Exercise 337問題 337

\frac{n}{n + 2} = \frac{8}{n^{2} - 4} + 3

Solution解き方

1

Exercise 338問題 338

\frac{p}{p + 7} = \frac{98}{p^{2} - 49} + 8

Exercise 339問題 339

\frac{q}{3 q - 9} - \frac{3}{4 q + 12}

= \frac{7 q^{2} + 6 q + 63}{24 q^{2} - 216}

Solution解き方

no solution

解なし

Exercise 340問題 340

\frac{r}{3 r - 15} - \frac{1}{4 r + 20}

= \frac{3 r^{2} + 17 r + 40}{12 r^{2} - 300}

Exercise 341問題 341

\frac{s}{2 s + 6} - \frac{2}{5 s + 5}

= \frac{5 s^{2} - s - 18}{10 s^{2} + 40 s + 30}

Solution解き方

no solution

解なし

Exercise 342問題 342

\frac{t}{6 t - 12} - \frac{5}{2 t + 10}

= \frac{t^{2} - 23 t + 70}{12 t^{2} + 36 t - 120}

Exercises 343–360練習問題 343–360

Solve a Rational Equation for a Specific Variable

英語のヒント

分数方程式を特定の変数について解く

In the following exercises, solve.

英語のヒント

次の練習問題では、方程式を解く。

Exercise 343問題 343

\frac{C}{r} = 2 π for r

\frac{C}{r} = 2 π について r

Solution解き方

r = \frac{C}{2 π}

Exercise 344問題 344

\frac{I}{r} = P for r

\frac{I}{r} = P について r

Exercise 345問題 345

\frac{V}{h} = l w for h

\frac{V}{h} = l w について h

Solution解き方

h = \frac{v}{l w}

Exercise 346問題 346

\frac{2 A}{b} = h for b

\frac{2 A}{b} = h について b

Exercise 347問題 347

\frac{v + 3}{w - 1} = \frac{1}{2} for w

\frac{v + 3}{w - 1} = \frac{1}{2} について w

Solution解き方

w = 2 v + 7

Exercise 348問題 348

\frac{x + 5}{2 - y} = \frac{4}{3} for y

\frac{x + 5}{2 - y} = \frac{4}{3} について y

Exercise 349問題 349

a = \frac{b + 3}{c - 2} for c

a = \frac{b + 3}{c - 2} について c

Solution解き方

c = \frac{b + 3 + 2 a}{a}

Exercise 350問題 350

m = \frac{n}{2 - n} for n

m = \frac{n}{2 - n} について n

Exercise 351問題 351

\frac{1}{p} + \frac{2}{q} = 4 for p

\frac{1}{p} + \frac{2}{q} = 4 について p

Solution解き方

p = \frac{q}{4 q - 2}

Exercise 352問題 352

\frac{3}{s} + \frac{1}{t} = 2 for s

\frac{3}{s} + \frac{1}{t} = 2 について s

Exercise 353問題 353

\frac{2}{v} + \frac{1}{5} = \frac{3}{w} for w

\frac{2}{v} + \frac{1}{5} = \frac{3}{w} について w

Solution解き方

w = \frac{15 v}{10 + v}

Exercise 354問題 354

\frac{6}{x} + \frac{2}{3} = \frac{1}{y} for y

\frac{6}{x} + \frac{2}{3} = \frac{1}{y} について y

Exercise 355問題 355

\frac{m + 3}{n - 2} = \frac{4}{5} for n

\frac{m + 3}{n - 2} = \frac{4}{5} について n

Solution解き方

n = \frac{5 m + 23}{4}

Exercise 356問題 356

\frac{E}{c} = m^{2} for c

\frac{E}{c} = m^{2} について c

Exercise 357問題 357

\frac{3}{x} - \frac{5}{y} = \frac{1}{4} for y

\frac{3}{x} - \frac{5}{y} = \frac{1}{4} について y

Solution解き方

y = \frac{20 x}{12 - x}

Exercise 358問題 358

\frac{R}{T} = W for T

\frac{R}{T} = W について T

Exercise 359問題 359

r = \frac{s}{3 - t} for t

r = \frac{s}{3 - t} について t

Solution解き方

t = \frac{3 r - s}{r}

Exercise 360問題 360

c = \frac{2}{a} + \frac{b}{5} for a

c = \frac{2}{a} + \frac{b}{5} について a

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 361–362練習問題 361–362

Exercise 361問題 361

House Painting Alain can paint a house in 4 days. Spiro would take 7 days to paint the same house. Solve the equation

\frac{1}{4} + \frac{1}{7} = \frac{1}{t}

for t to find the number of days it would take them to paint the house if they worked together.

英語のヒント

家の塗装アランは家を4日で塗装できる。スピロは同じ家を塗装するのに7日かかる。二人が一緒に働いた場合に家の塗装にかかる日数を求めるため、方程式

\frac{1}{4} + \frac{1}{7} = \frac{1}{t}

をtについて解け。

Solution解き方

2 \frac{6}{11}

days

英語のヒント

2 \frac{6}{11}

日

Exercise 362問題 362

Boating Ari can drive his boat 18 miles with the current in the same amount of time it takes to drive 10 miles against the current. If the speed of the boat is 7 knots, solve the equation

\frac{18}{7 + c} = \frac{10}{7 - c}

for c to find the speed of the current.

英語のヒント

ボートアリは、流れに逆らって10マイル進むのと同じ時間で、流れに沿って18マイル進める。ボートの速さが7ノットなら、方程式

\frac{18}{7 + c} = \frac{10}{7 - c}

をcについて解いて流れの速さを求めよ。

Writing Exercises記述問題

Exercises 363–364練習問題 363–364

Exercise 363問題 363

Why is there no solution to the equation

\frac{3}{x - 2} = \frac{5}{x - 2}

英語のヒント

方程式

\frac{3}{x - 2} = \frac{5}{x - 2}

に解がないのはなぜか。

Solution解き方

Answers will vary.

英語のヒント

解答は一通りではない。

Exercise 364問題 364

Pete thinks the equation

\frac{y}{y + 6} = \frac{72}{y^{2} - 36} + 4

has two solutions,

y = −6 and y = 4

. Explain why Pete is wrong.

英語のヒント

ピートは、方程式

\frac{y}{y + 6} = \frac{72}{y^{2} - 36} + 4

には

y = −6 および y = 4

という二つの解があると考えている。ピートが間違っている理由を説明せよ。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

この表は3行4列である。1行目は各列の見出しで、最初の列は「私は…できる」、2列目は「自信を持って」、3列目は「少し助けがあれば」、最後の列は「できない、分からない」である。「私は…できる」の列の次の行には「分数方程式を解く」、その次の行には「分数方程式を特定の変数について解く」とある。残りの列は空欄である。

ⓑ After reviewing this checklist, what will you do to become confident for all objectives?

英語のヒント

ⓑ このチェックリストを確認して、すべての学習目標に自信を持てるようにするには何をするか。

rational equation

分数方程式

A rational equation is two rational expressions connected by an equal sign.

英語のヒント

分数方程式とは、二つの分数式を等号で結んだものである。

extraneous solution to a rational equation

分数方程式の無縁解

An extraneous solution to a rational equation is an algebraic solution that would cause any of the expressions in the original equation to be undefined.

英語のヒント

分数方程式の無縁解とは、代数的に求めた解のうち、元の方程式に含まれるいずれかの式を定義できなくするものである。